Lastrevisiondate:13December2020.造桥选址问题的拓展造桥选址问题的拓展利用平移变换进行造桥选址，是平移变换的一个重要应用。下面就课本中一道习题，加以拓展探究，我们可发现其一般规律。一、原题再现如图1，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN。桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）。（人教课标七年级
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2007年第二版37页第7题）分析：由于河岸宽度是固定的，造的桥要与河垂直，因此路径AMNB中的MN的长度是固定的。我们可以将点A沿与河垂直的方向平移MN的距离到A1，那么为了使AMNB最短，只需A1B最短。根据两点之间距离最短，连接A1B，交河岸于点N，在此处造桥MN，所得路径AMNB就是最短路径。如图2。证明：如图3，如果在不同于MN的位置造桥M1N1。由于M1N1=MN=AA1；又根据“两点之间，线段最短”。可知，AN1+N1B＞A1N+NB。所以，路径AMNB要短于AM1N1B。二、拓展应用拓展1：如图4，如果A、B两地之间有两条平行的河，我们要建的桥都是与河岸垂直的。我们如何找到这个最短的距离呢？
方法
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1：仿照上例，可以将点A沿与河垂直的方向平移两个河宽分别到到A1、A2，路径中两座桥的长度是固定的。为了使路径最短，只要A2B最短。连接A2B，交河流2河岸于N，在此处造桥MN；连接A1M，交河流1河岸于P，在此处造桥PQ。所得路径AQPMNB最短。方法2：此题还可以用以下方法来确定建桥位置。如图6，将点A沿与第一条河流垂直的方向平移一个河宽到A1，将B沿与第二条河垂直的方向平移一个河宽到B1，连接A1B1与两条河分别相交于N、P，在N、P两处，分别建桥MN、PQ，所得路径AQPMNB最短。拓展2：如图7，如果A、B之间有三条平行的河流呢？方法1：仿照拓展二方法1，将点A沿与河垂直的方向平移S三个河宽分别到到A1、A2、A3，路径中三座桥的长度是固定的。为了使路径最短，只要A3B最短。连接A3B，交河流3于N，在此处造桥MN；连接A2N，交河流2于P，在此处造桥PQ；连接A1Q，交河流1于R，在此处造桥RS。所得路径ASRQPMNB最短。方法2：此处还可以先将A沿与河流1河岸垂直的方向平移两个单位到A1、A2，再将B沿与河流3河岸垂直的方向平移一个河宽到B1；或先将A沿与河岸垂直的方向平移1个单位到A1，再将B沿与河岸平移2一个河宽到B1、B2，来选择修桥位置。（请同学们自己画出图形。）拓展3：如图9，如果在上述条件不变的情况下，两条河不平行，又该如何建桥？方法1：如图10，先将点A沿与河流1河岸垂直的方向平移一个河宽到A1，再沿与河流2河岸垂直的方向平移一河宽到A2，连接A2B，交河流2河岸于N，此处建桥MN；连接A1M，交河流1于P，在此处建桥PQ。所得路径AQPMNB最短。方法2：也可以将A沿与河流1垂直的方向平移1个河宽，得到A1，再将B沿与河流2河岸垂直的方向平移1个河宽得到B1，连接A1B1与河流1、河流2分别相交于N、P，分别作桥MN、PQ。所得路径AQPNMB最短。由以上拓展，我们不难体会到，造桥选址问题，要使所得到的路径最短，就是要通过平移变换，使除桥长不变外所得到的其他路径经平移后在一条直线上。
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