一、函数变化率----边际函数二、成本三、收益四、函数的相关变化率----函数的弹性4.8变化率及相对变化率在经济中的应用-----边际分析与弹性分析介绍1、边际函数设函数可导，导函数也称为边际函数。称为在内的平均变化率，它
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示在内的平均变化速度。在点处的导数称为在点处的变化率，也称为在点处的边际函数值。它表示在点处的变化速度。在点处，从改变一个单位，相应改变的真值应为。但当x改变的“单位”很小时，或x的“一个单位”与值相对来比很小时，则有当时，标志着由减少一个单位这说明在点处，当产生一个单位的改变时，近似改变个单位。在应用问题中解释边际函数值的具体意义时我们略去“近似”二字例1函数，在点处的边际函数值，它表示当时,改变一个单位，（近似）改变20个单位。例2设某产品成本函数C=C(Q)(C为总成本，Q为产量），其变化率称为边际成本。称为当产量达到时的边际成本。西方经济学家对它的解释是：当产量达到时，生产前最后一个单位产品所增添的成本。2、成本某产品的总成本是指生产一定数量的产品所需的全部经济资源投入（劳力、原料、设备等）的价格或费用总额。它由固定成本与可变成本组成。平均成本是生产一定量产品，平均每单位产品的成本。边际成本是总成本的变化率，即总成本函数的导数设C为总成本,为固定成本,为可变成本，为平均成本，为边际成本，Q为产量，则有总成本函数平均成本函数边际成本函数例1已知某产品的成本函数为求：当Q=10时的总成本、平均成本及边际成本。例2例1中的商品，当产量Q为多少时，平均成本最小？3、收益总收益是生产者出售一定量产品所得到的全部收入。平均收益是生产者出售一定量的产品，平均每单位产品所得到的收入。即单位商品的售价。边际收益为总收益的变化率。总收益，平均收益，边际收益均为产量的函数设P为商品价格，Q为商品量，R为总收益，为边际收益。则有需求函数P=P(Q)总收益函数R=R(Q)平均收益函数边际收益函数需求与收益的关系有：总收益与平均收益的关系为：总收益与边际收益的关系为：例1设某产品的价格与销售量的关系为P=10-Q/5，求销售量为30时的总收益、平均收益与边际收益。下面讨论最大利润原则：设总利润为L，则L=L(Q)=R(Q)-C(Q)L(Q)取得最大值的必要条件为：，即于是可取得最大利润的必要条件是：边际收益等于边际成本。L(Q)取得最大值的充分条件为：即于是可取得最大利润的充分条件是：边际收益的变化率小于边际成本的变化率。例2已知某产品的需求函数为P=10-Q/5，成本函数为C=50+2Q,求产量为多少时总利润L最大？并验证是否符合最大利润原则。例3某工厂生产某产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元。已知总收益R是年产量Q的函数问每年生产多少产品时，总利润最大？此时总利润是多少？4、函数的相关变化率----函数的弹性前面所谈的函数改变量与函数变化率是绝对改变量与绝对变化率，但是从实践中可看到，仅仅研究此是不够的。比如，商品a每单位价格10元，涨价1元；商品b每单位价格是1000元，也涨价1元，两种商品价格的绝对改变量都是1元，但各自与其原价相比，两者涨价的百分比却有很大的不同，商品a涨了10%，而商品b涨了0.1%。因此有必要研究函数的相对改变量与相对变化率。从到两点间的相对变化定义4.5设函数在点处可导，函数的相对改变量，与自变量的相对改变量之比，称为函数率，或称为两点间的弹性。当时，的极限称为在处的相对变化率，也就是相对导数，或称弹性。即=记作，或对一般的x，若f(x)可导，则有是x的函数，称为f(x)的弹性函数。函数f(x)在点x的弹性反映随x的变化f(x)变化幅度的大小，也就是f(x)对x变化反应的强烈程度或灵敏度。表示在点处，当x产生1%的改变时，f(x)近似改变%。在应用问题中解释弹性的具体意义时，我们也略去“近似”二字。注意：两点间的弹性是有方向性的，因为“相对性”是对初始值而言的。例1求函数在处的弹性。例2求函数的弹性函数及例3求幂函数（为常数）的弹性函数。（该函数称为不变弹性函数）5、需求函数与供给函数“需求”指在一定价格条件下，消费者愿意购买并且有支付能力购买的商品量。消费者对某种商品的需求是多种因素决定的,商品的价格是影响需求的一个主要因素,但还有许多其他因素,如消费者收入的增减,其它代用品的价格等都会影响需求。我们现在不考虑价格以外的其它因素（把其它因素对需求的影响看作不变的），只研究需求与价格的关系。（1）需求函数设P表示商品价格，Q表示需求量，那么有Q=f(P)(P为自变量，Q为因变量)称为需求函数一般说来，商品价格低，需求大；商品价高，需求小。因此需求函数Q=f(P)是单调减少函数。因Q=f(P)单调减少，所以有反函数，也称为需求函数。用D来表示需求曲线需求函数的边际函数称为边际需求。例若已知需求函数为则边际需求函数为当P=4时，称为P=4时的边际需求，它的经济含义表示：当价格P=4时，价格上涨（或下跌）1个单位时，需求将减少（或增加）4个单位。（2）供给函数“供给”指在一定条价格条件下，生产者愿意出售并且有可供出售的商品量。供给也是由多种因素决定的，这里略去价格以外的其它因素，只讨论供给与价格的关系。设P表示商品价格,Q表示供给量,那么有(P为自变量,Q为因变量)称为供给函数.一般说来,商品价格低，生产者不愿意生产，供给少；商品价格高，供给多。因此一般供给函数为单调增加函数。所以有反函数，也称为供给函数。（1）均衡价格均衡价格是市场上需求量与供给量相等时的价格，此时需求量与供给量称为均衡商品量。当时，此时消费者购买的商品量会大于生产者愿意出卖的商品量，市场上出现“供不应求”，商品短缺，会形成抢购、黑市等情况，这种状况不会持久，必然导致价格上涨。当时，此时消费者购买的商品量会小于生产者愿意出卖的商品量，市场上出现“供过于求”，商品滞销。这种状况不会持久，必然导致价格下跌。总之，市场上的商品价格将围绕均衡价格摆动。6、需求弹性与供给弹性定义4.6某商品需求函数在处可导，称为该商品在与两点间的需求弹性。记作称为该商品在处的需求弹性。记作例1已知某商品需求函数，求（1）从P=30到P=20，50各点间的需求弹性；（2）P=30时的需求弹性，并指出其经济含义。例2设某商品需求函数为，求（1）需求弹性函数；（2）P=3，P=5，P=6时的需求弹性，并指出其经济含义。定义4.7某商品供给函数在处可导，称为该商品在与两点间的供给弹性。记作称为该商品在处的供给弹性。记作7、用需求弹性分析总收益（或市场销售总额）的变化总收益R是商品价格P与销售量Q的乘积，即（1）若，需求变动的幅度小于价格变动的幅度，此时，，递增。即价格上涨，总收益增加；价格下跌，总收益减少。（2）若，需求变动的幅度大于价格变动的幅度，此时，，递减。即价格上涨，总收益减少；价格下跌，总收益增加。（3）若，需求变动的幅度等于价格变动的幅度，此时，取得最大值。由上所述，总收益的变化受需求弹性的制约，随商品需求弹性的变化而变化，其关系如下图所示例设某商品需求函数为(1)求需求弹性函数;(2)求P=6时的需求弹性;(3)在P=6时,若价格上涨1%,总收益增加还是减少?将变化百分之几?(4)P为何值时,总收益最大?最大的总收益是多少?
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