圖解一般常見之乘法公式（二項展開式）
及其運用-----開方法
國科會 補助研究計劃
中華技術學院 主持人 ： 秘書室 楊禮義老師
協同主持人： 饒文娟老師
壹、 巴斯卡（Pascal）三角形（楊輝三角形）
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
(a＋b)222 332 23 ＝a＋2ab＋b(a＋b)＝a＋3ab＋3ab＋b
2 322＝a＋b（2a＋b）＝a＋b（3a＋3ab＋b）
33322 例如：15＝（10＋5）＝10＋5（3×10＋3×10×5＋5）
＝1000＋2375＝3375
貳、
3 2 邊長（a+b）之立方體乃為一個邊長為a之立方體 a ， 三個長方體ab ， 三個長方
23 體 ab ，以及一個邊長為b之立方體 b所組成
3 b
32a 3ab 2 3a b
1
b a a a b b
2 b b
ab b
a 2a a
ab
222332 23 (a＋b)＝a＋2ab＋b (a＋b)＝a＋3ab＋3ab＋b
22233223（a＋b）＝a＋2ab＋b ＝20＋3×20×5＋3×20×5＋5 25 2 ＝a＋b（2a＋b） ＝8000＋6000＋1500＋125 222218＝（10+8）＝10＋2×10×8＋8 ＝15625
＝100＋8（2×10＋8）
＝100＋224＝324
＝100＋224＝324 3參、若有個數學題： x＝8100 求解x＝？ 2 或化學題：由CaF之Ksp（溶解度積）求溶解度 －311 由4X＝1.7×10求解x＝？ 相信絕大多數人都會求助於計算器來處理，可是在沒有計算器之前， 人們是如何求解呢？其實只要利用國中之乘法公式之逆運算即可順利 完成，茲介紹開方法如下。
2
開方法
開平方
，若要將324開平方即是利用二次方乘法公式的逆運算，先判知324之平方根
22是二位數，依序求出其方根中之十位數『1』（10＝100，即是a），再由剩餘的224，經由 b（2a＋b）之關係，試除可得到個位數『8』，8（2×10＋8）＝224，結果得到平方根是18。
開立方
，同理若求15625之立方根，先判知15625之立方根是二位數，也是先求出其
332立方根中之十位數『2』（20＝8000，即是a），再由剩餘的7625，經由b（3a
222＋3ab＋b）之關係，由3a＝3×20＝1200，試除7625，可得到個位數『5』，得到立方根是25。
肆、兩數和差問題
22 b b b
a
a－b
a b a
a22－b＝(a＋b)(a－b)
a
3
b
b
a
a
22例如： 112×88＝（100＋12）×（100－12）＝100－12＝10000－144＝9856
伍、結論：
3藉由（a+b）之立體模型製作展示，每一個人均可輕易地了解數
222學上二項式展開如：（a+b）， a－b＝（a+b）（a－b），以及（a+b）3等的幾何意義。
更重要的是不用一味地依賴計算器（五、六十年前根本沒有計算器），
可以藉由立體模型及講解，很容易地學會課業及生活上經常需要處理
的開平方（求解平方根）、開立方（求解立方根）。真正地達到學以致
用的樂趣，筆者也製作（a+b）3的精美立體模型如同樂高（lego）玩具，除了可作為學校外，既可提高教學成效，也可以組成各
式各樣的造型，，兼做益智遊戲及多重組合的家庭擺飾品。 參考資料：
科學月刊 Vol.374， p148 2001年 2月
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