多元函数极值解法

多元函数极值解法 ----------------------------精品word文档 值得下载 值得拥有---------------------------------------------- 多元函数极值解法 摘 要:科学生产实际中,存在着很多极值问题需要去解决.有些问题可以用初 等的方法可以解决,但是有些问题用初等的方法去解决，有时显得麻烦， 有时根本无法解决。鉴于此，本文从一下几方面作了介绍:二元函数极 值的定义及存在条件、二元函数极值的一阶偏导判别法;条件极值的求 解方法及应用;n元函数极值的定义及存在条件及存在问题、n元函数的 累次极值、向量法求解一类多元函数极值。通过以上方法的介绍，旨在 为以后的学习和实际工作带给一定的方便。 关键词:多元函数;极值;充要条件 ;方向导数;偏导数;矩阵;驻点; 1 绪论 1.1研究多元函数极值的意义 科学生产实际中,存在着很多极值问题需要去解决.有些问题可以用初等的方 法可以解决,目前最有效的方法是应用微分法求极值. 函数的极值一直是数学研究的重要内容之一，由于它的应用广泛，加之函数 本身变化纷繁，所以人们对其方法的研究较多，像不等式法，导数法，从矩阵的角度解决函数极值，利用拉格朗日乘数法解决函数的极值等等。这些理论的提出并得到应用，与诸多数学家在这方面的努力是分不开的，他们给出了许多好的解决函数极值的方法，且将诸理论与实际有机的结合起来，这不仅为科研打下了良好的基础，也为诸多领域的实际工作提供了便捷，如在经济，管理，金融，科研----------------------------精品word文档 值得下载 值得拥有---------------------------------------------- ----------------------------精品word文档 值得下载 值得拥有---------------------------------------------- 等方面提供了便捷的方法，使得许多问题很便利的得以解决。 不等式的证明是数学的学习过程中我们经常遇到，其证明具有很强的技巧性, 方法灵活多变,同时对综合能力和分析能力的要求都很高。目前有多种形式的方法来证明不等式.但在本文中给出了应用多元函数条件极值的解法来证明不等式的方法,即在不等式证明中,适当变换目标函数和相应的限制条件,结合实际问题的提法来证明不等式。在本文中就以用拉格朗日乘数法来证明不等式的方法以举例的形式略作了介绍。 1.一元函数极值 我们先来讨论函数的极值，且总假定在上是连续的。若对于一点 fx()[,]ab ，存在的某一邻域(，使对于此邻域中的任意点，都xx(,)xx,，,,x,,0)0000 有，则称在有一极大值，称为极大值点，同样我们fxfx()(),xfx()xfx()0000 的极小值。若在上述的中等号不成立，我们就称可以定义函数fxfx()(),fx()0 为是严格极大值.同样可以定义严格极小值。 '定理1(极值的必要条件) 若是的极值，那么只可能是的零点或xxfx()fx()00 的不可导点。 fx() 定理2(极值判别法之一) 设在和(可导，那么 (,)xx,,(,)xx，,fx(),,0)0000 ''?若在(,)xx,,内，而在(,)xx，,内，则x为极小值点。 fx()0,fx()0,00000 ''?若在(,)xx,,内，而在(,)xx，,内，则x为极大值点。 fx()0,fx()0,00000定理3(极值判别法之二) '设， fx()0,0 ''fx()?若，则是极大值。 fx()0,00 ''fx()?若，则是极小值。 fx()0,00 2二元函数极值 2.1二元函数极值的定义及存在条件 ----------------------------精品word文档 值得下载 值得拥有---------------------------------------------- ----------------------------精品word文档 值得下载 值得拥有---------------------------------------------- 科学生产实际中,存在着很多极值问题需要去解决.有些问题可以用初等的方 法可以解决,目前最有效的方法是应用微分法求极值。 2.1.1 二元函数极值的定义 2定义1:设，函数:DR,点D,如果存在一个邻域, DR,popD(,),,,fp,000 使得(p)() ((p) ())对一切成立,那么称为的一个(严fffffpppD,p,,000格)极小值点,而()称为函数的一个(严格)极小值。 fpf0 同样定义(严格)极大值点和(严格)极大值.极小值和极大值统称极值。 2.1.2 二元函数取得极值的条件 定理1(必要条件) 设函数在点具有偏导数，且在点处有极值，则它在 (,)xy(,)xyfxy(,)0000 点的偏导数必然为零; fxyfxy(,)0,(,)0,,xy0000 证明: 不妨设在点处有极大值，则对于的某邻域 (,)xy(,)xyzfxy,(,)0000任意都有 , (,)(,)xyxy,fxy(,)fxy(,)0000 yyxx,,故当时，有fxyfxy(,)(,), 0,0000 说明一元函数fxy(,)在xx,处有最大值，必有fxy(,)0,; 00x00 fxy(,)0,类似地可证。 y00 ff,,0D中使的一切内点称为函数的驻点，由上面的定理知道，极值点 xy 一定是驻点，但是驻点未必是极值点。 定理2(充分条件) (,)xy设函数在点的某邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数，又fxy(,)00 fxyfxy(,)0,(,)0,,fxyB(,),fxyC(,),fxyA(,),，令,, xy00xy0000yy00xx00 (,)xy则fxy(,)在点处是否取得极值的条件如下: 00 2A,0ACB,,0?时具有极值，当时有极大值，当A,0时有极小值; 2ACB,,0?时没有极值; ----------------------------精品word文档 值得下载 值得拥有---------------------------------------------- ----------------------------精品word文档 值得下载 值得拥有---------------------------------------------- 2 ?时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论; ACB,,0 22x 例 1 :求函数 的极值。 zexyy,，，(2) ,f,22x(2241)0,，，，,exyy1,,x,,x,,02, 解:令 ,,,f2xy,,1,,0,(22)0,，,ey,y,, 1 在驻点，有 (,1),2 22x2x ，， Aexyye,，，，,,,4(21)20Bey,，,,4(1)011,,(,1)(,1)22 2x 。 Cee,,,221,(,1)2 e2211 而(,1),f(,1),,,ACBe,,,40，故在点取得极小值，。 fxy(,)222 2.2二元函数极值的一阶偏导判定方法 对二元函数极值的判定，不仅可以借助于二阶导数进行判定，还可以借助于使用范围更广泛的一阶导数进行判定。 2.2.1 判别方法 定理1:设二元函数在凸区域D上有定义，在opD(),上连续，点 fxy(,)0 0pxyD(,),，在上可导: op()0000 ,,ff0?若p ，则在取得极小()()0,xxyy,，,,,,pxyop(,)()fxy(,)0000,,xy 值。 ,,ff0p?若()()0,xxyy,，,, ，则在取得极大,,pxyop(,)()fxy(,)0000,,xy 值。 0证明:,,pxyop(,)()，引入辅助函数: 0 ,()((),()),tfxtxxytyy,，,，, 其中t,[0,1]。 0000 [,]ab由条件知,()t,,(0,1)在上满足拉格朗日中值定理的条件，于是存在，使得 ----------------------------精品word文档 值得下载 值得拥有---------------------------------------------- ----------------------------精品word文档 值得下载 值得拥有---------------------------------------------- '，即 ,,,,(1)(0)(),, fxyfxyfxxxyyyxxfxxxyyyyy(,)(,)((),())()((),())(),,，,，,,，，,，,,,,,,000000000000xy 0注意到D为凸区域，从而. ((),())()xxxyyyop，,，,,,,00000 0由条件?可知:， fxyfxy(,)(,),,,pxyop(,)()000 由的任意性以及极值的定义，可知，函数在取得极小值。同ppxy(,)fxy(,)0以上证明方法可以得到，在条件?下，函数在取得极大值。结论?pfxy(,)0 证毕。 ,,ff2考虑到条件?，?的结构，若记， 引入Rppxxyy,,,(,),,f(,)000,,xy ,,ff中的内积则可将定理写成更简洁的形式。 ,,,,，,fppxxyy()(),000,,xy 2.2.2 推广 在引入上述记号后，我们可以将问题推广到n维情形: n0定理2:设为凸区域，，若，在连续，在DR,pD,op()fDR:,op()000可导， 0?若，，则函数在处取得极小值。 ,,,fpp0pf,,pop()000 0?若，，则函数在处取得极大值。 ,,,fpp0pf,,pop()000 证明同定理1，此处不再赘述。 2.2.3 应用 与一元函数相同，由于二元函数极值的一阶偏导数准则比利用二阶偏导的判别法要求的条件弱，从而一阶偏导数判别准则的应用更为广泛。 22fxyxy(,)1,,， 例1:试研究函数在原点(0，0)是否达到极值。 ,,fxfy 解:由于 ,,,,,2222,,xyxyxy，， 在原点处无定义，不能利用二阶判别法 。可利用定理1，，,,(,)(0,0)xy 因为 22,,ffxy(,)(0,0)0,,,,,,,xy 成立，从而，可知fxy(,)2222,,xyxyxy，， f(0,0)1,在原点(0，0)处可以取得极大值 ----------------------------精品word文档 值得下载 值得拥有---------------------------------------------- ----------------------------精品word文档 值得下载 值得拥有---------------------------------------------- 3 条件极值 3.1 求条件极值的常用解法 我们在解题的过程当中常常会遇到一些具有某些条件限制的多元函数极值 的求解，在本节我们以例析的形式给出其一些常用解题方法。 3.1.1利用二次方程判别式的符号求某些条件极值 222例2:若,试求的极值. fxyz,,，22xyz，，,1 1222解 因为yxzf,，,(2),代入得 xyz，，,12 1222 xxzfz，，,，,,(2)104 222即 ? 5(42)(844)0xzfxzfzf，,，，,,, 这个关于的二次方程要有实数解, 必须: x 222 ,,,,，,,,(42)20(844)0zfzfzf 22即 fzfz,，,,4950 解关于的二次不等式,得: f 2225(1)25(1)11zzfzzz,,,,，,,,, 显然,求函数的极值, 相当于求 f 2fzzz,，,,,,25(1)11 ? 或 2fzzz,,,,,,25(1)11 ? 的极值. 22由(2)得 ? 9450zfzf,，,, 这个关于的二次方程要有实数解,必须 z 222, 即 ,,,,,1636(5)0ff90,,f ----------------------------精品word文档 值得下载 值得拥有---------------------------------------------- ----------------------------精品word文档 值得下载 值得拥有---------------------------------------------- 解此关于的二次不等式,得. f,,,33f 所以 ff,,,3,3.maxmin 221把代入(4)得z,,再把,z,代入(1),得x,,最后把f,3f,3333 2112,z,,x,代入,得. yxzf,，,(2)y,,f,33323 122x,z,所以,当,,时,函数达到极大值3. y,,f333 122x,z,,同理可得,当,y,,时,函数达到极小值-3. f333 也可以从(3)作类似讨论得出的极大值3和极小值-3. f 3.1.2利用标准量代换法求函数极值 求某些有多个变量的条件极值时,我们可以选取某个与这些变量有关的量作为标准量,称其余各量为比较量,然后将比较量用标准量与另外选取的辅助量 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示出来,这样就将其变为研究标准量与辅助量间的关系了. 如果给定条件是几个变量之和的形式,一般设这几个量的算术平均数为标准量. 222xyza，，,例3:设,求的最小值. uxyz,，， xyza，，aaa,zxy,,,,,,,,，，,,解:取为标准量, 令,则(为任意,,,33333 实数),从而有 2aaaa22222u,,，,，，，,，，，()()()222,,,,,,,, 3333 22aaa222xyz,,,,，，，，,(),,,, (等号当且仅当即时成立). ,,,,0333 2au所以的最小值为. 3 3.2拉格朗日乘数法 在讨论极值问题时，往往会遇到这样一种情形，那就是函数的自变量要受到 ----------------------------精品word文档 值得下载 值得拥有---------------------------------------------- ----------------------------精品word文档 值得下载 值得拥有---------------------------------------------- 某些条件的限制，例如，决定一给定点到一曲面的最短距(,,)xyzGxyz(,,)0,000 离的问题，就是这种情形，我们知道点到点的距离的平方为(,,)xyz(,,)xyz000 222，现在的问题，就是要求出曲面Fxyzxxyyzz(,,)()()(),,，,，,000 上的点使得最小。因此，问题可以归结为求函数FGxyz(,,)0,(,,)xyzFxyz(,,)在条件限制下的最小值问题。这类问题叫做条件极值问题， Gxyz(,,)0, 现在先来讨论以下情况: 设函数具有对各个变元的连续偏导数，而这些变元之间又 xyzu,,,fxyuv(,,,) 受到以下条件的限制: gxyuv(,,,)0, (*) {hxyuv(,,,)0, h其中函数和都具有对各个变元的连续偏导数，并且它们的雅可比式 g Dgh(,) ,0Duv(,) 我们要求函数在限制条件(*)下的极值。 fxyuv(,,,) 先来考虑极值的必要条件。 若函数在某点达到极值，这里xyzu,,,满足限制条件，fxyuv(,,,)Mxyuv(,,,) 设想从方程组(*)中将uv,解出来，亦即 uuxy,(,) {vvxy,(,) 那么问题就转化为考察函数的直接极值问题，而它的fxyuxyvxy(,,(,),(,)) 必要条件为在极值点处函数的全微分为零，再由一阶微分形式的不变性，得必f 要条件为: ,,,,ffff dfdxdydudv,，，，,0 ? ,,,,xyuv xyzu,,,但要注意，在这里变元之间并非相互独立变化的，而是受到条件限制，因此，它们的微分之间也将满足一定的关系，这个关系只要将限制条件(*)求微分，得 ,,,,ggggdgdxdydudv,，，，,0 ? ,,,,xyuv ----------------------------精品word文档 值得下载 值得拥有---------------------------------------------- ----------------------------精品word文档 值得下载 值得拥有---------------------------------------------- ,,,,hhhh ? dhdxdydudv,，，，,0,,,,xyuv 这样我们就得到，若函数在某点达到条件极值，那么在这一点MMxyuv(,,,) 上应同时满足三个微分关系?，?，?。 很自然的会想到这样一个办法，那就是从两个限制条件中解出两个变量，例如解出 ，代入中，称为两个变量的函数，然后xy,uuxy,(,)vvxy,(,)fxyuv(,,,) 用求偏导数的办法来确定函数的稳定点，后求得极值，这样虽然在理论上说得通，但实际做起来却往往较为复杂甚至是做不到的，因此，一般采用以下的方法，叫做乘数法(也叫拉格朗日乘数法) 以分别乘?，?，?式再相加，得 1,,,, ,,,,,,fghfgh()()，，，，，,,,,dxdy,,,,,,xxxyyy ,,,,,,fghfgh，，，，，，()()dudv ? ,,,,,,,,,,uuuvvv ,0 称为拉格朗日乘数，也称为待定乘数。由于 ,,, Dgh(,) ,0Duv(,) 总能求得不全为零的 使 ,,, fgh,,,,,0，，, ? uuu,,, ,,,fgh,,，， =0 ? ,,,vvv 这时，(4)式化为 fghfgh,,,,,, ()()0,,,,dxdy ，，，，，,xxxyyy,,,,,, dx由于和dy是相互独立的，要是上式成立，必须 fgh,,,,,0，，, ? xxx,,, fgh,,,,,0 ，，, ? yyy,,, ----------------------------精品word文档 值得下载 值得拥有---------------------------------------------- ----------------------------精品word文档 值得下载 值得拥有---------------------------------------------- 可见，如果函数在某点达到条件极值，则在该点处应fxyuv(,,,)Mxyuv(,,,) 满足关系式?，?，?，?及(*)。 现在引入函数，它称为拉格朗日函数: L Lxyuvfxyuvgxyuvhxyuv(,,,)(,,,)(,,,)(,,,),，，,, 我们知道，函数的直接极值的必要条件为: L LLLL,,,,0,0,0,0xyuv 这正好就是方程?，?，?，?。从这四个方程再加上(*)，可解出函数的f可能条件极值点及待定乘数，这里可以看到，利用拉格朗日乘Mxyuv(,,,),,, L数法，就将求函数的条件极值问题化为求函数的直接极值问题，这就是说，f L为了找出的所有可能的极值点，首先作出拉格朗日函数，再由fMxyuv(,,,) 连同限制条件(*)解出和，这里LLLL,,,,0,0,0,0xyuv,,,,,,(,,,)xyuvxyuv 就是使可能达到极值的点。 f 下面进一步讨论充分条件，设从方程组 gxyuv(,,,)0, {hxyuv(,,,)0, L中确定了唯一一组函数，，把它们代入拉格朗日函数中得: uuxy,(,)vvxy,(,) LxyuvLxyuxyvxy(,,,)(,,(,),(,)), 注意到，，于是 gxyuxyvxy(,,(,),(,))0,hxyuxyvxy(,,(,),(,))0, LxyuvfxyuxyvxyFxy(,,,)(,,(,),(,))(,),, 由一阶微分形式的不变性，有 dFdLLdxLdyLduLdv,,，，， xyuv F 从而的二阶微分有 222dFddLdLdxdLdydLduLdudLdvLdv,,，，，，，()()()()() xyuuvv LL,,0,0但因为在极值点满足必要条件，所以 uv 22dFdLdxdLdydLdudLdvdLxyuv,，，，,()()()()(,,,) xyuv 2LdLxyuv,,, 等式右端的，使将变量视为互相独立时函数的二阶全微分。 22dFdL充分性要讨论的符号，也就是要讨论的符号，这正像将所有变量xyuv,,,视为相互独立时讨论函数Lxyuv(,,,)的直接极值的充分条件那样，这也正是我们刚才多次提起的拉格朗日乘数法的精神所在，但是注意的是，这时在2dLdxdydudv,,,中所出现的应该受到条件?，?的限制。 ----------------------------精品word文档 值得下载 值得拥有---------------------------------------------- ----------------------------精品word文档 值得下载 值得拥有---------------------------------------------- 从这里可以看出，由于引进了拉格朗日函数，从而把条件极值的问题化为L 讨论函数的直接极值问题。 L 一般说来，设有个变元的函数具有对各个变元的连续偏fxxx(,,...,)nm，12nm， 导数，又假定这些变元之间还满足m个联系方程: ,(,,...,)0(1,2,...,)xxxim,, inm12， 这里 具有对各个变元的连续偏导数，并且它们其中某m个,(1,2,...,)im, i 变元的雅可比式不等于0，可以用这样的方法来讨论函数在限制条件下,,0fi的极值问题。 “ 3.3 拉格朗日乘数法在证明不等式中的应用 不等式证明具有很强的技巧性,方法灵活多变,是对知识的综合性灵活运用。我们已经接触了很多证明不等式的方法，如用已知不等式、用函数的单调性、用函数最值来证明不等式，还有分析综合法、比较法、归纳法等。根据不同的问题的提法，采用适当可行的方法，使问题能得以解决。本节以举例说明的方式给出应用多元函数条件极值的解法来解决不等式证明的思想,即在不等式证明中,适当变换目标函数和相应的限制条件,把问题转化为求多元函数极值的问题，而本文讨论的正是关于多元函数极值求解的问题，从而为该问题得以顺利解决奠定了良好的基础。 nnxy，xy，n，，y例1:证明不等式,其中n1,0, 0. x,,,,22 nnxy，xyc，,xy,证明:设函数()= ,在求条件下的最小值. f2 根据拉格朗日的乘数法,做辅助函数 nnxy，(,,)(),,Lxyxyc,，，,，则 2 ,Lnnn,1n,1,x,，,,x0, 即=- ? 22,x n,Lnn,1n,1,y,，,,y0,即=- ? 22,y ----------------------------精品word文档 值得下载 值得拥有---------------------------------------------- ----------------------------精品word文档 值得下载 值得拥有---------------------------------------------- ,L=0 ? ,xyc，,,, 由?和?解得，将代入?解得: xy,xy, c xy,,2 nnxy，?函数()= 存在最小值,而无最大值. xy,f2 cc所以函数在(,)处取得最小值. 22 nnnxy，1ccxy，cnnn，，，，故【+】==，，, ，，,n222222 当n=1时等式成立. 4.2.3极值存在的充要条件 定理3:设函数在稳定点的某邻域内存在二阶连续偏导数，则 afX() ?是的极大值点，当且仅当在处局部半负定; aaHa()fX() ?是的极小值点，当且仅当在处局部半正定; aaHa()fX() ?不是的极值点，当且仅当在处局部不定; aaHa()fX() 下面我们就定理3给出其证明如下: 证明:由泰勒公式 1TTfahfafahhHahh，,，,，，,,,1)()()()(),(其中是实数，且。 2 因为是的稳定点，所以由泰勒公式得 af,,fa()0, 1TfahfahHahh，,,，,()()() 2 因为a在的某邻域内存在二阶连续偏导数，所以 fX() ， HahHaA()()，,，, hh,,()aaa,0其中A,是n阶对称矩阵，是的函数，当时，，于ijnijij 是 1111TTTTfahfahHahh，,,，,hHaAh，hHahhAh，().(())()()(),, 2222 TTh,,hAhhha由引理知，当则当时，是高于的无穷小量，所以，在的一 ----------------------------精品word文档 值得下载 值得拥有---------------------------------------------- ----------------------------精品word文档 值得下载 值得拥有---------------------------------------------- 11TT个充分小的邻域内，的右边的符号完全fahfahHahhAh，,,，()()().22 T由决定。 hHah() T,0?，当且仅当; fahfa()()0，,,hHah() T,0?，当且仅当; fahfa()()0，,,hHah() T?符号不定，当且仅当符号不定。 fahfa()()，,hHah() 因而有 ?是的极大值点，当且仅当在处局部半负定; aafX()Ha() ?是的极小值点，当且仅当在处局部半正定; aafX()Ha() ?不是的极值点，当且仅当在处局部不定; aafX()Ha() 。 4.3二重积分 我们把一元函数定积分的概念及基本性质推广到二元函数的定积分，即二重积分。 1.二重积分的基本概念。 定义,设f(x,y)是定义在有界闭区域D上的二元函数,将D任意分为n个小区域D1、D2、D3........,Dn在每个小区域Di中任取一点,ξi,ηi),做积分和?=f,ξi,ηi)Λi当n无限大,各小区域中的最大直径d=max{di }趋于0时,如果积分和?的极限存在,且与小区域的分割及点,ξi,ηi)的选取无关,则称此极限为函数f(x,y)在区域D上的二重积分。记作 ??f(x,y)dσ 性质一,常数因子可提到积分号外面,即 ??kf(x,y)dσ =k??f(x,y)dσ (k为常数, 性质二,函数代数和的积分等于各个函数积分的代数和, ??[f(x,y)+g(x,y)]dσ=??f(x,y)dσ+??g(x,y)dσ 一曲线分成D性质三,二重积分的可加性,如果积分区域D被1,D2两个区域,则 ----------------------------精品word文档 值得下载 值得拥有---------------------------------------------- ----------------------------精品word文档 值得下载 值得拥有---------------------------------------------- ??f(x,y)dσ=??f(x,y)dσ+??f(x,y)dσ 性质四,如果在区域D上有f(x,y)?g(x,y),则 ??f(x,y)dσ???g(x,y)dσ 性质五,如果在区域D上有f(x,y)=1,A是D的面积,则 ??dσ=A 性质六,设M与m分别是函数z=f(x,y)在D上最大值与最小值,A是D的面积,则 mA???f(x,y)dσ?MA 性质七,二重积分的中值定理,如果f(x,y)在闭区域D上连续,A是D的面积,则在D内至少存在一点,ξ,η),使得 ??f(x,y)dσ=f,ξ,η)A 2.二重积分的计算 ,1,在直角坐标系下二重积分的计算 设函数z=f(x,y)在区域D上连续,且当,x,y)?D时,f(x,y)?0.如果区域D是有直线x=a,y=b与曲线y=ψ1(x),y=ψ(x)所围成,即 D={(x,y)|a?x?b,ψ1(x)?y?ψ(x)} 则二重积分 ??f(x,y)dσ 是区域D上曲面z=f(x,y)为顶的曲顶柱体的体积。 例题见P355——357 结束语 多元函数只是一元函数的一种延伸，细心观察便会发现其中的奥妙。在这里感谢王老师的辛苦讲解，以及在背后支持我的同学们，你们就是我的小老师，谢谢你们～ 参考文献 (1)微积分(第三版) ----------------------------精品word文档 值得下载 值得拥有---------------------------------------------- ----------------------------精品word文档 值得下载 值得拥有---------------------------------------------- (2)微积分(第三版)同步辅导及习题全解 ----------------------------精品word文档 值得下载 值得拥有----------------------------------------------