用复摆法测量刚体的转动惯量

Dec. 2003 2003 年 9 月 J OU RNAL O F XI’AN U N IV ERSI T Y O F SCI ENCE AND T ECHNOL O GY () 文章编号 : 1671 - 1912 200304 - 0478 - 03 Ξ用复摆法测量刚体的转动惯量 孟泉水 , 班丽瑛 , 朱金山 ()西安科技大学 基础课部 ,陕西 西安 710054 摘 要 : 利用复摆原理 , 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 了一种新型的转动惯量测定仪 。经过实验 ,其测量数据不理论计算值相 吻合 ,相对误差小于 4 %. 该实验装置操作简单 ,结构灵活 ,不理论教学内容紧密相结合 。该仪器还可 验证平行轴定理 ,使学生通过实验能够深刻掌握刚体力学所 要求 对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗 的内容 。 关键词 : 复摆 ; 刚体 ; 转动惯量 ; 平行轴定理 中图分类号 : O 313 . 3 文献标识码 : A 引言0 ( ) 转动惯量 代号为 J 是刚体转动中惯性大小的量度 ,是刚体力学中一个非常重要的物理量 ,因而 ,转动惯量 的测量一直是大学物理实验中一个必不可少的内容 。目前国内工科院校所采用的测量仪器大体可分为两类: 一 1 ,2 3 ,4 类是三线摆法,一类是塔轮法。这 2 种方法西安科技大学物理实验室先后都采用过 。实验 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 明 : 前者误 差虽小 ,但实验方法及测量手段均较陈旧 ,学生从中很难接受多少现代测量技术信息 ,且实验原理不理论课中关于转动惯量的计算联系幵不紧密 ;后者误差很大 ,学生实验时相对误差常超过 70 % ,教师仔细测量 ,也很难把相 对误差控制在 20 %以内 ,原因在于该仪器在设计思路上就有许多先天不足 ,在实验中略去了塔轮转动时的摩擦 力矩和砝码的加速度 ,而实验时这两个因素都明显存在 ,因此对实验结果影响很大 。 1 理论基础 51 . 1 复摆 质量为 m 的任意形状物体可绕垂直于图面的光滑水平轴 O 自由转动 , 将它由 θ自然下垂的静止状态拉离平衡位置一个微小角度后释放 , 忽略空气阻力 , 物体将 绕轴 O 作自由摆动 , 这样的装置叫复摆 , 如图 1 所示 。 设复摆的质心在 C , C 到 O 的距离为 h , 复摆对 O 轴的转动惯量为J , 由于它受 2 θd 图 1 复摆 θθ 到重力矩 M= - m ghsin? - m gh, 由转动定律 M = J 得 2d t Fig. 1 Co mpound pendulum 2 θ πd m gh m gh 2θ +ω = 0== 2 J J T d t m gh 2 ( )1 ?J = T 2π 4 ω式中 为复摆摆动的角频率 ; T 为摆动周期 。 [ 6 ]. 2 1 质心 质心是不质点系统质量分布有关的一个代表点 , 它的位置在平均意义上代表着物体质量分布的中心 。其位 矢 r的计算公式为r= r d m / M c c ? 对于质量为 M , 长为 L 的匀质杆 , 其质心 C 距其一端的距离 h 为 Ξ 收稿日期 : 2002 - 04 - 23 ( ) 作者简介 : 孟泉水 1962 - ,男 ,陕西汉中人 ,副教授 ,主要从事普通物理的教学研究工作. L 2 1 1 1 L M L )( 2 h = x d m = d x ?x = ? =??2 2 L L M M 0[ 7 ]. 3 平行轴定理 1 如图 2 所示 , Z为通过刚体质心的轴 , 刚体对 Z轴的转动惯量为J , Z 轴不 Z轴平行 , 二轴相距 d , 刚体的质 c c c c 量为 m , 则刚体对 Z 轴的转动惯量为 2 )( 3 J = J+ m d c 2 设计思路 l ( ) 取长为 l 的匀质细杆 , 由 2式知 , h = , 用米尺量取其中点 , 确定质心 C 的 2 位置 ; 为尽量减小摩擦力矩 , 在其一端镶上优质轴承作为转轴 , 用支架悬挂 , 作成 复摆 , 如图 3 所示 。为了准确测量复摆摆动周期 , 采用电脑计时器 , 为此在棒的另一 ( ) 端安装遮光棒 。测出 T 后 , 代入 1式 , 即可求出杆对 O 轴的转动惯量 , 再不匀质细 杆对通过其一端且垂直于杆的轴的转动惯量的理论值图 2 平行轴定理 Fig. 2 Theorem of paralell axis 1 2 ( )= m l 4 J 10 3 比较 , 即可求出测量结果的相对误差 | J - J | 10 )( E = ×100 %5 J 10 为了验证平行轴定理 , 制作了一个直径为 D , 质量为 M 的匀质金属囿盘 , 它对垂直于盘面 、穿过盘中心的轴 的转动惯量的理论值为 1 1 D 1 2 2 2 ) ( ( )J M R = M = M D= 6 20 2 2 8 2 ( ) 将盘装在杆上 B 点 , 量得 OB =d , 由 3式知 , 该系统对 O 轴的转动惯量的理论值为 2( )J = J + J + M d 7 0 10 20 另一方面 , 系统受到的转动力矩为 θθ θ( ) M′= - m ghsin- M gdsin= - m h + M dg 设该系统对 O 轴的转动惯量为 J′, 由转动定律有 2 θd θ ( ) β - m h + M dg= J′= J′ 2dt 2 θ ( )d M d + m hθ 即+ g= 0 2′ Jd t ( ) πM d + m hg 2ω?′= = J′ T′ ( ) M d + m hg 2)( 故J′= 8 T′ 2 π 4 ( ) 测出 M , d , m , h 及 T,′ 代入 8式 , 即得系统对 O 轴转动惯量的实验值 。测量 图 3 实验模型 | J-′ J | Fig. 3 Experimental model 0 的相对误差E′= ×100 %( ) 9 J 0 3 实验数据 ( )3 . 1 原始数据 为节省篇幅 , 仅列出各量 5 次测量的平均值 l ( m = 0 . 213 2 kg ; M = 0 . 586 5 kg ; l = 0 . 800 m ; h = = 0 . 400 m ; D = 0 . 100 m ; d = 0 . 780 m 另一次 1 2 ) 实验时 , d= 0 . 061 m; T = 1 . 49 s , T′= 1 . 73 s , T′= 1 . 26 s. 2 1 2 理论值. 2 3 1 1 2 2 - 2 2( ) 由 4式 ( ) J = m l = ×0 . 213 2 ×0 . 800= 4 . 55 ×10 kg ?m 杆 3 3 480 西 安 科 技 学 院 学 报 2003 年 1 1 2 2 - 4 2( ) ( ) 由 6式J = M D= ×0 . 586 5 ×0 . 100= 7 . 33 ×10 kg ?m 盘 8 8 - 2 - 4 22 ( ) 由 7式 ( ) = J + J + M d= 4 . 55 ×10 + 7 . 33 ×10 + 0 . 586 5 ×0 . 780 J 杆 盘 1 01 2 = 0 . 403 kg ?m - 2 - 4 22 ( ) J = J + J + M d= 4 . 55 ×10 + 7 . 33 ×10 + 0 . 586 5 ×0 . 061 02杆 盘 2 - 2 2 = 4 . 84 ×10 kg ?m 3 . 3 实验值 m gh 0 . 213 2 ×9 . 80 ×0 . 400 - 2 22 2( ) 由 1式 = 4 . 70 ×10 kg ?m J =T= ×1 . 49 杆 22π4 4 ×3 . 14 ( ) M d+ m hg( ) 0 . 586 5 ×0 . 780 + 0 . 213 2 ×0 . 400×9 . 8 1 2 2 ( )由 8J = T′ = ×1 . 73 ( ) 杆 +盘221 π4 ×3 . 14 4 2= 0 . 404 kg ?m ( )0 . 586 5 ×0 . 061 + 0 . 213 2 ×0 . 400 2 - 2 2 ×9 . 8 ×1 . 26 = 4 . 77 ×10 kg ?mJ = ( )杆 +盘 22 4 ×3 . 14 相对误差3 . 4 4 . 70 - 4 . 55 || ( ) 杆 :由 5式E = ×100 % = 3 . 3 % 4 . 70 | 0 . 403 - 0 . 404 | ( ) 杆不盘系统 :当 d = 0 . 780 m 时 , 由 9式E=×100 % = 0 . 25 % 1 0 . 403 4 . 84 - 4 . 77 ×100 % = 1 . 4 % ( ) 当 d = 0 . 061 m 时 , 由 9式E= 2 4 . 84 这种方法在各种实验教材中均无记载 , 也无现成仪器 , 属于创新 。实验表明 , 用复摆法测量转动惯量 , 思路正 确 , 方法可行 , 误差较小 。在进一步改进仪器后 , 相对误差还可进一步减小 。该方法的实验原理紧密结合理论课教 学内容 , 对学生加深对理论课学习内容的理解很有帮助 , 而平行轴定理的验证 , 更是同类实验中所没有的 , 在测 量手段上 , 使用了电脑计时装置 , 可使学生更多地接触到现代化测量技术 。 参考文献 1 黄国良 ,王树林. 物理实验 M . 西安 :陕西科技出版社 ,1997 . 42 . 2 赵 渤. 大学物理实验 M . 西安 :陕西科技出版社 ,1997 . 65 . 崔亚量 ,梁为民. 大学物理实验 M . 西安 :电子科技大学出版社 ,1999 . 66 .3 4 廖少俊. 大学物理实验 M . 西安 :陕西科技出版社 ,1993 . 93 . () 5 马文蔚. 物理学 下M . 北京 :高等教育出版社 ,1993 . 93 . () 程守洙 ,江之水. 普通物理学 1M . 北京 :高等教育出版社 ,1998 .6 () 7 马文蔚. 物理学 上M . 北京 :高等教育出版社 ,1993 . 167 . Mea suring the rotat ional inert ia of rigid body with the method of compoun d pen dul um M EN G Q uan2shui , BAN Li2ying , ZHU J in2shan ( ) Dept . of B asic Cou rses , X i ’a n U ni versi t y of S cience a n d Tech nology , X i ’a n 710054 , Chi naAbstract : A new inst rument fo r measuring rotatio nal inertia has been devised by t he p rinciple of co mpo und pendulum. It s p rinciple of experiment is clo se in to uch wit h t he related teaching co ntent s of mechanic of rigid bo dy o n bot h college p hysics and t heo retical mechanics. It s measuring data agree wit h t he result s of t heo retical calculatio n t hro ugh experiment . It s relative erro r is less t han 4 %. This inst rument is simple and smart , and be clo se in to uch wit h t he teaching co ntent s of t heo ry , and can also test t he t heo rem of paralell axis. It can make st udent s deeply understand t he co ntent s of mechanic of rigit bo dy t hro ugh t he experiment . Key words : co mpo und pendulum ; rigid bo dy ; rotatio nal inertia ; t heo rem of paralell axis