年高考数学试题知识分类汇编导数

ItwaslastrevisedonJanuary2,2021年高考数学试题知识分类汇编导数2007年高考数学试题分类汇编（导数）（福建理11文）已知对任意实数，有，且时，，则时（B）A．B．C．D．（海南理10）曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（D）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．（海南文10）曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（D）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．（江苏9）已知二次函数的导数为，，对于任意实数都有，则的最小值为（C）A．B．C．D．（江西理9）12．设在内单调递增，，则是的（　B　）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件（江西理5）5．若，则下列命题中正确的是（　D　）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．（江西文8）若，则下列命题正确的是（B）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．（辽宁理12）已知与是定义在上的连续函数，如果与仅当时的函数值为0，且，那么下列情形不可能出现的是（）A．0是的极大值，也是的极大值B．0是的极小值，也是的极小值C．0是的极大值，但不是的极值D．0是的极小值，但不是的极值（全国一文11）曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（A）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．（全国二文8）已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（A）A．1B．2C．3D．4（浙江理8）设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（D）(北京文9)是的导函数，则的值是＿＿＿＿．3（广东文12）函数的单调递增区间是＿＿＿＿．（江苏13）已知函数在区间上的最大值与最小值分别为，则＿＿．32（湖北文13）已知函数的图象在点处的切线方程是，则＿＿＿＿．3（湖南理13）函数在区间上的最小值是＿＿＿＿．（浙江文15）曲线在点处的切线方程是＿＿＿＿．（安徽理18）设a≥0，f(x)=x－1－ln2x＋2alnx（x>0）.（Ⅰ）令F（x）＝xf＇（x），讨论F（x）在（0.＋∞）内的单调性并求极值；（Ⅱ）求证：当x>1时，恒有x>ln2x－2alnx＋1.本小题主要考查函数导数的概念与计算，利用导数研究函数的单调性、极值和 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 不等式的方法，考查综合运用有关知识解决问题的能力．本小题满分14分．（Ⅰ）解：根据求导法则有，故，于是，列 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 如下：20极小值故知在内是减函数，在内是增函数，所以，在处取得极小值．（Ⅱ）证明：由知，的极小值．于是由上表知，对一切，恒有．从而当时，恒有，故在内单调增加．所以当时，，即．故当时，恒有．(安徽文20)设函数f（x）=-cos2x-4tsincos+4t2+t2-3t+4,x∈R,其中≤1，将f(x)的最小值记为g(t).(Ⅰ)求g(t)的表达式；(Ⅱ)诗论g(t)在区间（-1,1）内的单调性并求极值.本小题主要考查同角三角函数的基本关系，倍角的正弦公式，正弦函数的值域，多项式函数的导数，函数的单调性，考查应用导数 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 解决多项式函数的单调区间，极值与最值等问题的综合能力．解：（=1\*ROMANI）我们有．由于，，故当时，达到其最小值，即．（=2\*ROMANII）我们有．列表如下：极大值极小值由此可见，在区间和单调增加，在区间单调减小，极小值为，极大值为．（北京理19）如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为，短半轴长为，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底是半椭圆的短轴，上底的端点在椭圆上，记，梯形面积为．（=1\*ROMANI）求面积以为自变量的函数式，并写出其定义域；（=2\*ROMANII）求面积的最大值．解：（=1\*ROMANI）依题意，以的中点为原点建立直角坐标系（如图），则点的横坐标为．点的纵坐标满足方程，解得　，其定义域为．（=2\*ROMANII）记，则．令，得．因为当时，；当时，，所以是的最大值．因此，当时，也取得最大值，最大值为．即梯形面积的最大值为．（福建理22）已知函数（Ⅰ）若，试确定函数的单调区间；（Ⅱ）若，且对于任意，恒成立，试确定实数的取值范围；（Ⅲ）设函数，求证：．本小题主要考查函数的单调性、极值、导数、不等式等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法，考查分析问题、解决问题的能力．满分14分．解：（Ⅰ）由得，所以．由得，故的单调递增区间是，由得，故的单调递减区间是．（Ⅱ）由可知是偶函数．于是对任意成立等价于对任意成立．由得．①当时，．此时在上单调递增．故，符合题意．②当时，．当变化时的变化情况如下表：单调递减极小值单调递增由此可得，在上，．依题意，，又．综合①，②得，实数的取值范围是．（Ⅲ），，，由此得，故．（福建文20）设函数．（Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）若对恒成立，求实数的取值范围．本题主要考查函数的单调性、极值以及函数导数的应用，考查运用数学知识分析问题解决问题的能力．满分12分．解：（Ⅰ），当时，取最小值，即．（Ⅱ）令，由得，（不合题意，舍去）．当变化时，的变化情况如下表：递增极大值递减在内有最大值．在内恒成立等价于在内恒成立，即等价于，所以的取值范围为．(广东理、文20)已知是实数，函数．如果函数在区间上有零点，求的取值范围．解:若,,显然在上没有零点,所以令得当时,恰有一个零点在上;当即时,也恰有一个零点在上;当在上有两个零点时,则或解得或因此的取值范围是或;（海南理21）设函数（=1\*ROMANI）若当时，取得极值，求的值，并讨论的单调性；（=2\*ROMANII）若存在极值，求的取值范围，并证明所有极值之和大于．解：（Ⅰ），依题意有，故．从而．的定义域为，当时，；当时，；当时，．从而，分别在区间单调增加，在区间单调减少．（Ⅱ）的定义域为，．方程的判别式．（ⅰ）若，即，在的定义域内，故的极值．（ⅱ）若，则或．若，，．当时，，当时，，所以无极值．若，，，也无极值．（ⅲ）若，即或，则有两个不同的实根，．当时，，从而有的定义域内没有零点，故无极值．当时，，，在的定义域内有两个不同的零点，由根值判别方法知在取得极值．综上，存在极值时，的取值范围为．的极值之和为．（海南文19）设函数（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）求在区间的最大值和最小值．解：的定义域为．（Ⅰ）．当时，；当时，；当时，．从而，分别在区间，单调增加，在区间单调减少．（Ⅱ）由（Ⅰ）知在区间的最小值为．又．所以在区间的最大值为．（湖北理20）已知定义在正实数集上的函数，，其中．设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同．（I）用表示，并求的最大值；（II）求证：（）．本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力．解：（Ⅰ）设与在公共点处的切线相同．，，由题意，．即由得：，或（舍去）．即有．令，则．于是当，即时，；当，即时，．故在为增函数，在为减函数，于是在的最大值为．（Ⅱ）设，则．故在为减函数，在为增函数，于是函数在上的最小值是．故当时，有，即当时，．（湖北文19）设二次函数，方程的两根和满足．（I）求实数的取值范围；（II）试比较与的大小．并说明理由．本小题主要考查二次函数、二次方程的基本性质及二次不等式的解法，考查推理和运算能力．解法1：（Ⅰ）令，则由题意可得．故所求实数的取值范围是．（II），令．当时，单调增加，当时，，即．解法2：（I）同解法1．（II），由（I）知，．又于是，即，故．解法3：（I）方程，由韦达定理得，，于是．故所求实数的取值范围是．（II）依题意可设，则由，得，故．（湖南理19）如图4，某地为了开发旅游资源，欲修建一条连接风景点和居民区的公路，点所在的山坡面与山脚所在水平面所成的二面角为（），且，点到平面的距离（km）．沿山脚原有一段笔直的公路可供利用．从点到山脚修路的造价为万元/km，原有公路改建费用为万元/km．当山坡上公路长度为km（）时，其造价为万元．已知，，，．（I）在上求一点，使沿折线修建公路的总造价最小；（II）对于（I）中得到的点，在上求一点，使沿折线修建公路的总造价最小．（III）在上是否存在两个不同的点，，使沿折线修建公路的总造价小于（II）中得到的最小总造价，证明你的结论．ＯAEDBHP解：（I）如图，，，，由三垂线定理逆定理知，，所以是山坡与所成二面角的平面角，则，．设，．则．记总造价为万元，据题设有当，即时，总造价最小．（II）设，，总造价为万元，根据题设有．则，由，得．当时，，在内是减函数；当时，，在内是增函数．故当，即（km）时总造价最小，且最小总造价为万元．（III）解法一：不存在这样的点，．事实上，在上任取不同的两点，．为使总造价最小，显然不能位于与之间．故可设位于与之间，且=，，，总造价为万元，则．类似于（I）、（II）讨论知，，，当且仅当，同时成立时，上述两个不等式等号同时成立，此时，，取得最小值，点分别与点重合，所以不存在这样的点，使沿折线修建公路的总造价小于（II）中得到的最小总造价．解法二：同解法一得．当且仅当且，即同时成立时，取得最小值，以上同解法一．（湖南文21）已知函数在区间，内各有一个极值点．（I）求的最大值；（II）当时，设函数在点处的切线为，若在点处穿过函数的图象（即动点在点附近沿曲线运动，经过点时，从的一侧进入另一侧），求函数的表达式．解：（I）因为函数在区间，内分别有一个极值点，所以在，内分别有一个实根，设两实根为（），则，且．于是，，且当，即，时等号成立．故的最大值是16．（II）解法一：由知在点处的切线的方程是，即，因为切线在点处空过的图象，所以在两边附近的函数值异号，则不是的极值点．而，且．若，则和都是的极值点．所以，即，又由，得，故．解法二：同解法一得．因为切线在点处穿过的图象，所以在两边附近的函数值异号，于是存在（）．当时，，当时，；或当时，，当时，．设，则当时，，当时，；或当时，，当时，．由知是的一个极值点，则，所以，又由，得，故．（辽宁理22）已知函数，．（I）证明：当时，在上是增函数；（II）对于给定的闭区间，试说明存在实数，当时，在闭区间上是减函数；（III）证明：．（辽宁文22）已知函数，，且对任意的实数均有，．（I）求函数的解析式；（II）若对任意的，恒有，求的取值范围．（全国一理20）设函数．（Ⅰ）证明：的导数；（Ⅱ）若对所有都有，求的取值范围．解：（Ⅰ）的导数．由于，故．（当且仅当时，等号成立）．（Ⅱ）令，则，（ⅰ）若，当时，，故在上为增函数，所以，时，，即．（ⅱ）若，方程的正根为，此时，若，则，故在该区间为减函数．所以，时，，即，与题设相矛盾．综上，满足条件的的取值范围是．（全国一文20）设函数在及时取得极值．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）若对于任意的，都有成立，求c的取值范围．解：（Ⅰ），因为函数在及取得极值，则有，．即解得，．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，．当时，；当时，；当时，．所以，当时，取得极大值，又，．则当时，的最大值为．因为对于任意的，有恒成立，所以　，解得　或，因此的取值范围为．（全国二理22）已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）设，如果过点可作曲线的三条切线，证明：．解：（1）求函数的导数；．曲线在点处的切线方程为：，即．（2）如果有一条切线过点，则存在，使．于是，若过点可作曲线的三条切线，则方程有三个相异的实数根．记，则．当变化时，变化情况如下表：000极大值极小值由的单调性，当极大值或极小值时，方程最多有一个实数根；当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根；当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根．综上，如果过可作曲线三条切线，即有三个相异的实数根，则即．（全国二文22）已知函数在处取得极大值，在处取得极小值，且．（1）证明；（2）若z=a+2b,求z的取值范围。解：求函数的导数．（Ⅰ）由函数在处取得极大值，在处取得极小值，知是的两个根．所以当时，为增函数，，由，得．（Ⅱ）在题设下，等价于　即．化简得．此不等式组表示的区域为平面上三条直线：．所围成的的内部，其三个顶点分别为：．ba2124O在这三点的值依次为．所以的取值范围为．（山东理22）设函数，其中．（Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性；（Ⅱ）求函数的极值点；（Ⅲ）证明对任意的正整数，不等式都成立．解：（Ⅰ）由题意知，的定义域为，设，其图象的对称轴为，．当时，，即在上恒成立，当时，，当时，函数在定义域上单调递增．（Ⅱ）①由（Ⅰ）得，当时，函数无极值点．②时，有两个相同的解，时，，时，，时，函数在上无极值点．③当时，有两个不同解，，，时，，，即，．时，，随的变化情况如下表：极小值由此表可知：时，有惟一极小值点，当时，，，此时，，随的变化情况如下表：极大值极小值由此表可知：时，有一个极大值和一个极小值点；综上所述：时，有惟一最小值点；时，有一个极大值点和一个极小值点；时，无极值点．（Ⅲ）当时，函数，令函数，则．当时，，所以函数在上单调递增，又．时，恒有，即恒成立．故当时，有．对任意正整数取，则有．所以结论成立．（山东文21）设函数，其中．证明：当时，函数没有极值点；当时，函数有且只有一个极值点，并求出极值．证明：因为，所以的定义域为．．当时，如果在上单调递增；如果在上单调递减．所以当，函数没有极值点．当时，令，将（舍去），，当时，随的变化情况如下表：0极小值从上表可看出，函数有且只有一个极小值点，极小值为．当时，随的变化情况如下表：0极大值从上表可看出，函数有且只有一个极大值点，极大值为．综上所述，当时，函数没有极值点；当时，若时，函数有且只有一个极小值点，极小值为．若时，函数有且只有一个极大值点，极大值为．（陕西理20）设函数f(x)=其中a为实数.(Ⅰ)若f(x)的定义域为R,求a的取值范围;(Ⅱ)当f(x)的定义域为R时，求f(x)的单减区间.解：（Ⅰ）的定义域为，恒成立，，，即当时的定义域为．（Ⅱ），令，得．由，得或，又，时，由得；当时，；当时，由得，即当时，的单调减区间为；当时，的单调减区间为．(陕西文21)已知在区间[0,1]上是增函数,在区间上是减函数,又(Ⅰ)求的解析式;(Ⅱ)若在区间(m＞0)上恒有≤x成立,求m的取值范围.解：（Ⅰ），由已知，即解得，，，．（Ⅱ）令，即，，或．又在区间上恒成立，．(上海理科19)已知函数，常数．（1）讨论函数的奇偶性，并说明理由；（2）若函数在上为增函数，求的取值范围．解：（1）当时，，对任意，，为偶函数．当时，，取，得，，函数既不是奇函数，也不是偶函数．（2）解法一：设，，要使函数在上为增函数，必须恒成立．，即恒成立．又，．的取值范围是．解法二：当时，，显然在为增函数．当时，反比例函数在为增函数，在为增函数．当时，同解法一．(上海文科19)已知函数，常数．（1）当时，解不等式；（2）讨论函数的奇偶性，并说明理由．解：（1），，．原不等式的解为．（2）当时，，对任意，，为偶函数．当时，，取，得，，函数既不是奇函数，也不是偶函数．(四川理22)设函数.(Ⅰ)当x=6时,求的展开式中二项式系数最大的项;(Ⅱ)对任意的实数x,证明＞(Ⅲ)是否存在,使得an＜＜恒成立若存在,试证明你的结论并求出a的值;若不存在,请说明理由.本题考察函数、不等式、导数、二项式定理、组合数计算公式等内容和数学思想方法。考查综合推理论证与分析解决问题的能力及创新意识。（Ⅰ）解：展开式中二项式系数最大的项是第4项，这项是（Ⅱ）证法一：因证法二：因而故只需对和进行比较。令，有由，得因为当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以在处有极小值故当时，，从而有，亦即故有恒成立。所以，原不等式成立。（Ⅲ）对，且有又因，故∵，从而有成立，即存在，使得恒成立。（四川文20）设函数为奇函数，其图象在点处的切线与直线垂直，导函数的最小值为．（Ⅰ）求，，的值；（Ⅱ）求函数的单调递增区间，并求函数在上的最大值和最小值．解析：本题考查函数的奇偶性、单调性、二次函数的最值、导数的应用等基础知识，以及推理能力和运算能力．（Ⅰ）∵为奇函数，∴即∴∵的最小值为∴又直线的斜率为因此，∴，，．（Ⅱ）．　　　，列表如下：极大极小　　　所以函数的单调增区间是和∵，，∴在上的最大值是，最小值是．（天津理20）已知函数，其中．（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）当时，求函数的单调区间与极值．本小题考查导数的几何意义，两个函数的和、差、积、商的导数，利用导数研究函数的单调性和极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法．满分12分．（Ⅰ）解：当时，，，又，．所以，曲线在点处的切线方程为，即．（Ⅱ）解：．由于，以下分两种情况讨论．（1）当时，令，得到，．当变化时，的变化情况如下表：00极小值极大值所以在区间，内为减函数，在区间内为增函数．函数在处取得极小值，且，函数在处取得极大值，且．（2）当时，令，得到，当变化时，的变化情况如下表：00极大值极小值所以在区间，内为增函数，在区间内为减函数．函数在处取得极大值，且．函数在处取得极小值，且．（天津文21）设函数（），其中．（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）当时，求函数的极大值和极小值；（Ⅲ）当时，证明存在，使得不等式对任意的恒成立．本小题主要考查运用导数研究函数的性质、曲线的切线方程，函数的极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法．满分14分．（Ⅰ）解：当时，，得，且，．所以，曲线在点处的切线方程是，整理得．（Ⅱ）解：．令，解得或．由于，以下分两种情况讨论．（1）若，当变化时，的正负如下表：因此，函数在处取得极小值，且；函数在处取得极大值，且．（2）若，当变化时，的正负如下表：因此，函数在处取得极小值，且；函数在处取得极大值，且．（Ⅲ）证明：由，得，当时，，．由（Ⅱ）知，在上是减函数，要使，只要即　　　　　　　　①设，则函数在上的最大值为．要使①式恒成立，必须，即或．所以，在区间上存在，使得对任意的恒成立．（浙江理22）设，对任意实数，记．（=1\*ROMANI）求函数的单调区间；（=2\*ROMANII）求证：（ⅰ）当时，对任意正实数成立；（ⅱ）有且仅有一个正实数，使得对任意正实数成立．本题主要考查函数的基本性质，导数的应用及不等式的证明等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力．满分15分．（I）解：．由，得．因为当时，，当时，，当时，，故所求函数的单调递增区间是，，单调递减区间是．（II）证明：（i）方法一：令，则，当时，由，得，当时，，所以在内的最小值是．故当时，对任意正实数成立．方法二：对任意固定的，令，则，由，得．当时，．当时，，所以当时，取得最大值．因此当时，对任意正实数成立．（ii）方法一：．由（i）得，对任意正实数成立．即存在正实数，使得对任意正实数成立．下面证明的唯一性：当，，时，，，由（i）得，，再取，得，所以，即时，不满足对任意都成立．故有且仅有一个正实数，使得对任意正实数成立．方法二：对任意，，因为关于的最大值是，所以要使对任意正实数成立的充分必要条件是：，即，①又因为，不等式①成立的充分必要条件是，所以有且仅有一个正实数，使得对任意正实数成立．(重庆理20)已知函数(x>0)在x=1处取得极值--3--c，其中a,b,c为常数。（1）试确定a,b的值；（2）讨论函数f(x)的单调区间；（3）若对任意x>0，不等式恒成立，求c的取值范围。解：（I）由题意知，因此，从而．又对求导得．由题意，因此，解得．（II）由（I）知（），令，解得．当时，，此时为减函数；当时，，此时为增函数．因此的单调递减区间为，而的单调递增区间为．（III）由（II）知，在处取得极小值，此极小值也是最小值，要使（）恒成立，只需．即，从而，解得或．所以的取值范围为．（重庆文20）用长为18cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？（20）（本小题12分）解：设长方体的宽为x（m），则长为2x(m)，高为.故长方体的体积为从而令V′（x）＝0，解得x=0（舍去）或x=1，因此x=1.当0＜x＜1时，V′（x）＞0；当1＜x＜时，V′（x）＜0，故在x=1处V（x）取得极大值，并且这个极大值就是V（x）的最大值。从而最大体积V＝V′（x）＝9×12-6×13（m3），此时长方体的长为2m，高为m.答：当长方体的长为2m时，宽为1m，高为m时，体积最大，最大体积为3m3。