中考压轴题

RevisedbyChenZhenin2021中考压轴题1·由于受甲型H1N1流感(起初叫猪流感)的影响，4月初某地猪肉价格大幅度下调，下调后每斤猪肉价格是原价格的，原来用60元买到的猪肉下调后可多买2斤．(1)求4月初猪肉价格下调后每斤多少元？(2)4月中旬，经专家研究证实，猪流感不是由猪传染，很快更名为甲型H1N1流感．因此，猪肉价格4月底开始回升，经过两个月后，猪肉价格上调为每斤14.4元．求5、6月份猪肉价格的月平均增长率解析(1)【思路分析】设4月初猪肉价格下调后每斤x元，由“下调后每斤猪肉价格是原价格的”可得原价格为每斤x元．根据“原来用60元买到的猪肉下调后可以多买2斤”列方程解答．解：设4月初猪肉价格下调后每斤x元，则原价格为每斤x元．(1分)根据题意得：－＝2，(3分)解得：x＝10，经检验，x＝10是原方程的解．(4分)答：4月初猪肉价格下调后每斤10元．(5分)(2)【思路分析】由(1)题可知，猪肉的原价格是10元，设月平均增长率为y，则第一个月上调后的价格为10(1＋y)，第二个月上调后的价格为10(1＋y)2，根据题意可列方程．解：设5、6月份猪肉价格的月平均增长率为y，根据题意得，10(1＋y)2＝14.4，(6分)解得：y1＝0.2＝20%，y2＝－2.2(不合题意舍去)，答：5、6月份猪肉价格的月平均增长率为20%.(8分)2·如图①，抛物线y＝ax2＋bx＋4(a≠0)的图象过A(－1，0)，B(4，0)两点，与y轴交于点C，作直线BC，动点P从点C出发，以每秒个单位长度的速度沿CB向点B运动，运动时间为t秒，当点P与点B重合时停止运动．(1)求抛物线的解析式；(2)如图②，当t＝1时，求△ACP的面积；(3)如图③，过点P向x轴作垂线分别交x轴、抛物线于E、F两点．①求PF的长度关于t的函数解析式，并求出PF的长度的最大值；②连接CF，将△PCF沿CF折叠得到△P′CF，当t为何值时，四边形PFP′C是菱形？解析(1)【思路分析】将A、B两点的坐标代入抛物线解析式中，即可得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可．解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋4(a≠0)的图象过A(－1，0)，B(4，0)两点，∴，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝－x2＋3x＋4或y＝－(x＋1)(x－4)．(3分)(2)【思路分析】要求△ACP的面积，可用△ACB的面积减去△APB的面积．本题关键是如何求解△APB的面积．过点P作PQ⊥AB于点Q，则PQ是△APB的高．在△APB中根据PB的长度及∠PBA的度数，利用三角函数求出PQ，该题即可得到解决．第2题解图①解：当t＝1时，CP＝.∵抛物线y＝－(x＋1)(x－4)的图象与y轴交于点C，∴C(0，4)．∴CO＝4.(4分)∵∠COB＝90°，CO＝OB＝4，∴∠CBO＝45°，∴CB＝＝＝4，BP＝CB－CP＝3，(5分)过点P作PQ⊥AB于点Q，如解图①，PQ＝PB·sin∠CBA＝3×＝3.(6分)S△ACP＝S△ACB－S△ABP＝AB·OC－AB·PQ＝×5×4－×5×3＝.(8分)(3)【思路分析】①求出直线BC的解析式，根据∠CBA的度数以及CP的长度与t的关系式，可得到OE的长度与t的关系式，设出点P、F的坐标，由点F的纵坐标减去点P的纵坐标即可得出PF的长度关于t的函数表达式，结合二次函数的性质即可求出最值；②由翻转特性可知PC＝P′C，PF＝P′F，若四边形PFP′C是菱形，则有PC＝PF，由此得出关于t的一元二次方程，解方程确定t值．解：①设直线BC的解析式为y＝kx＋m(k≠0)，∵直线BC过B(4，0)，C(0，4)两点，∴，解得：.∴直线BC解析式为y＝－x＋4.(9分)∵CP＝t，∠CBA＝45°，∴OE＝t，∵点P在直线BC上，点F在抛物线上，∴设P(t，－t＋4)，F(t，－t2＋3t＋4)，(0≤t≤4)PF＝－t2＋3t＋4－(－t＋4)＝－t2＋4t，(0≤t≤4)当t＝－＝2时，PF最大＝4.(10分)第2题解图②②∵△PCF沿CF折叠得到△P′CF，如解图②，∴PC＝P′C，PF＝P′F，当四边形PFP′C是菱形时，只需PC＝PF.∴t＝－t2＋4t，解得：t1＝0(舍去)，t2＝4－.∴当t＝4－时，四边形PFP′C是菱形．(12分)3·商场为了促销某件商品，设置了如图的一个转盘，它被分成了3个相同的扇形，各扇形分别标有数字2、3、4，指针的位置固定，该商品的价格由顾客自由转动此转盘两次来获取，每次转动后让其自由停止，记下指针所指的数字(指针指向两个扇形的交线时，当作右边的扇形)，先记的数字作为价格的十位数字，后记的数字作为价格的个位数字．(1)请用列表或树状图的方法(只选其中一种)，表示出两次所得数字可能出现的所有结果；(2)求出顾客购买商品的价格不超过30元的概率．第3题图解析解：(1)列表如下：第一次结果第二次234222324232333434243444(4分)或画树状图如解图：第3题解图(4分)∴共有9种等可能的结果．(2)如(1)的列表法或树状图法所示，在一共9种等可能的事件中，其中两次指针指向的两个数字组成的价格不超过30元的有3种情况．∴顾客购买商品的价格不超过30元的概率为：P＝＝.(7分)4·如图，在平面直角坐标系中，O为顶点，平行四边形ABCD的边BC在x轴上，D点在y轴上，C点坐标为(2，0)，BC＝6，∠BCD＝60°，点E是AB边上一点，AE＝3EB，⊙P过D、O、C三点，抛物线y＝ax2＋bx＋c过点D、B、C三点．(1)求抛物线的解析式；(2)求证：ED是⊙P的切线；(3)若将△ADE绕点D逆时针旋转90°，E点的对应点E′会落在抛物线y＝ax2＋bx＋c上吗？请说明理由；(4)若点M为此抛物线的顶点，平面上是否存在点N，使得以点B、D、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由．第4题图解析(1)【思路分析】根据题意先确定D、B、C三点的坐标，然后用待定系数法可得抛物线的解析式．解：由题意得D、B、C三点的坐标分别是(0，2)、(－4，0)、(2，0)，分别代入y＝ax2＋bx＋c中得，，解得，所以抛物线的解析式为y＝－x2－x＋2.(2分)(2)【思路分析】延长DE交x轴于点F，构造△BFE∽△ADE，利用相似三角形的性质求得BF的长；在Rt△DOF中，利用锐角三角函数得到∠FDO的度数，进而求出∠CDE＝90°.解：延长DE交x轴于点F，如解图①所示，∵AD∥BC，∴△ADE∽△BFE，第4题解图①∴＝，即＝，∴BF＝2，∵B(－4，0)，∴OB＝4，∴OF＝6.(3分)∵D(0，2)，∴OD＝2.在Rt△DOF中，∵tan∠FDO＝＝＝，∴∠FDO＝60°.(4分)∵∠BCD＝60°，∴∠CDO＝30°，∴∠CDE＝90°，∴CD⊥DE，∴ED是⊙P的切线．(5分)(3)【思路分析】根据旋转的性质求得E′点的坐标，代入抛物线的解析式验证即可．解：点E′不会落在抛物线y＝－x2－x＋2上．理由如下：第4题解图②将△ADE绕点D逆时针旋转90°，E点的对应点是E′，A点的对应点是A′，如解图②所示，则DA′＝DA＝6，∵AD∥BC，∠EDO＝60°，∴∠ADE＝30°，A′E′＝AE＝AD＝3，∵∠A＝∠BCD＝60°，∴∠DEA＝90°，(6分)过点E′作E′G⊥y轴于点G，则∠A′E′G＝30°，∴A′G＝，∴OG＝6－－2＝－2，在Rt△A′E′G中，E′G＝＝＝，∴E′(，－＋2)，(7分)当x＝时，y＝－×()2－×＋2，＝－≠－＋2.所以点E′不会落在抛物线y＝－x2－x＋2上．(8分)(4)【思路分析】先求得M点的坐标，然后分别以MB、DM、BD为平行四边形的对角线，通过平移的性质确定N点的坐标．解：存在点N，使得以点B、D、M、N为顶点的四边形为平行四边形，理由如下：∵y＝－x2－x＋2＝－(x＋1)2＋，∴M(－1，)，且B(－4，0)，D(0，2)，如解图③所示：第4题解图③①当BM为平行四边形BDNM的对角线时，点D向左平移4个单位，再向下平移2个单位得到点B，则点M(－1，)向左平移4个单位，再向下平移2个单位得到点N1(－5，);(9分)②当DM为平行四边形BNDM的对角线时，点B向右平移3个单位，再向上平移个单位得到点M，则点D(0，2)向右平移3个单位，再向上平移个单位得到点N2(3，)；(10分)③当BD为平行四边形BDMN的对角线时，点M向左平移3个单位，再向下平移个单位得到点B，则点D(0，2)向左平移3个单位，再向下平移个单位得到点N3(－3，－)，(11分)综上所述，点N的坐标为(－5，)、(3，)、(－3，－)．(12分)5·如图，在△ABC中，AB＝BC，D是AC的中点，BE平分∠ABD交AC于点E，点O是AB上一点，⊙O过B、E两点，交BD于点G，交AB于点F.(1)判断直线AC与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)当BD＝6，AB＝10时，求⊙O的半径．第5题图解析(1)【思路分析】连接OE，如解图，由BE平分∠ABD和OE＝OB，可得OE∥BD，由等腰三角形的性质得BD⊥AC，所以OE⊥AC，根据切线的判定定理可得AC与⊙O相切．解：连接OE，如解图，(1分)第5题解图∵BE平分∠ABD，∴∠OBE＝∠DBE，(2分)∵OE＝OB，∴∠OBE＝∠OEB，∴∠OEB＝∠DBE，∴OE∥BD，(3分)∵AB＝BC，D是AC中点，∴BD⊥AC，∴OE⊥AC，∴AC与⊙O相切；(4分)(2)【思路分析】设⊙O半径为r，易证△AOE∽△ABD，利用相似三角形对应边成比例，建立关于r的方程，然后解方程求出r.解：设⊙O半径为r，则AO＝10－r，(5分)由(1)知，OE∥BD，∴△AOE∽△ABD，∴＝，即＝，(6分)∴r＝，即⊙O半径为.(8分)6·如图，直线l：y＝3x＋3与x轴交于点A，与y轴交于点B，把△AOB沿y轴翻折，使得点A落到点C，抛物线过点B、C和D(3，0)．(1)求直线BD和抛物线的解析式；(2)若BD与抛物线的对称轴交于点M，点N在坐标轴上，以点N、B、D为顶点的三角形与△MCD相似，求所有满足条件的点N的坐标；(3)在抛物线上是否存在点P，使S△PBD＝6？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．第6题图解析(1)【思路分析】由待定系数法求出直线BD和抛物线的解析式．解：∵直线l：y＝3x＋3与x轴交于点A，与y轴交于点B.∴A(－1，0)，B(0，3)；∵把△AOB沿y轴翻折，使点A落到点C，∴C(1，0)．设直线BD的解析式为：y＝kx＋b，∵点B(0，3)，D(3，0)在直线BD上，∴，解得k＝－1，b＝3；∴直线BD的解析式为：y＝－x＋3.(1分)由于点D(3，0)，点C(1，0)均在抛物线上，故可设抛物线的解析式为：y＝a(x－1)(x－3)，∵点B(0，3)也在抛物线上，∴3＝a×(－1)×(－3)，解得：a＝1，∴抛物线的解析式为：y＝(x－1)(x－3)＝x2－4x＋3.(3分)(2)【思路分析】解题关键首先确定△MCD为等腰直角三角形，因为△BND与△MCD相似，所以△BND也是等腰直角三角形．如解图①所示，符合条件的点N有3个．解：抛物线的解析式为：y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，∴抛物线的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为(2，－1)．第6题解图①∵直线y＝－x＋3与抛物线的对称轴交于点M，∴M(2，1)．设对称轴与x轴交点为点F，则CF＝FD＝MF＝1，∴△MCD为等腰直角三角形．∵以点N、B、D为顶点的三角形与△MCD相似，∴△BND为等腰直角三角形．如解图①所示：(Ⅰ)若BD为斜边，则易知此时直角顶点为原点O，∴N1(0，0)；(5分)(Ⅱ)若BD为直角边，B为直角顶点，则点N在x轴负半轴上，∵OB＝OD＝ON2＝3，∴N2(－3，0)；(6分)(Ⅲ)若BD为直角边，D为直角顶点，则点N在y轴负半轴上，∵OB＝OD＝ON3＝3，∴N3(0，－3)．(7分)∴满足条件的点N坐标为：(0，0)，(－3，0)或(0，－3)．(8分)(3)【思路分析】解题关键是求出△PBD面积的表达式，然后根据S△PBD＝6的已知条件，列出方程求解即可．第6题解图②解：假设存在点P，使S△PBD＝6，设点P坐标为(m，n)．(Ⅰ)当点P位于直线BD上方时，如解图②所示：过点P作PE⊥x轴于点E，连接PD、PB，则PE＝n，DE＝m－3.S△PBD＝S梯形PEOB－S△BOD－S△PDE＝(3＋n)·m－×3×3－·(m－3)·n＝6，化简得：m＋n＝7①，∵P(m，n)在抛物线上，∴n＝m2－4m＋3，代入①式整理得：m2－3m－4＝0，解得：m1＝4，m2＝－1，∴n1＝3，n2＝8，∴P1(4，3)，P2(－1，8)；(10分)第6题解图③(Ⅱ)当点P位于直线BD下方时，如解图③所示：过点P作PE⊥y轴于点E，连接PD、PB，则PE＝m，OE＝－n，BE＝3－n.S△PBD＝S梯形PEOD＋S△BOD－S△PBE＝·(3＋m)·(－n)＋×3×3－·(3－n)·m＝6，化简得：m＋n＝－1②，∵P(m，n)在抛物线上，∴n＝m2－4m＋3，代入②式整理得：m2－3m＋4＝0，Δ＝－7＜0，此方程无解．故此时点P不存在．(11分)综上所述，在抛物线上存在点P，使S△PBD＝6，且点P的坐标为(4，3)或(－1，8)．(12分)第6题解图④一题多解：假设存在点P，使S△PBD＝6，如解图④所示，过点P作直线l′平行BD，l′与BD的距离为d，l′与y轴交点为B′，∵BD＝＝3，∴S△PBD＝BD×d＝6，∴d＝2，∵BD与y轴夹角为45°，∴BB′＝4，∴将BD上移或下移4个单位，①上移4个单位，l′解析式为：y＝－x＋7，联立l′解析式与抛物线解析式得：x2－3x－4＝0，∴x1＝4，x2＝－1，∴此时点P′坐标为(4，3)或(－1，8)；②下移4个单位，l′解析式为y＝－x－1，联立l′解析式与抛物线解析式可得：x2－3x＋4＝0，∵Δ＜0，∴此方程无解，∴此时点P不存在．综上所述，点P的坐标为(4，3)或(－1，8)．7·如图①，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°.(1)求证：BD＝CE，BD⊥CE；(2)将图①中的△ADE绕点A顺时针旋转α角(0°<α<90°)，如图②，(1)的结论还成立吗？请说明理由．第7题图解析(1)【思路分析】要证BD＝CE，可先证BD、CE所在的两个三角形即△ABD、△ACE全等，根据题意可用SAS证全等；要证BD⊥CE，可先延长BD，交CE于点F，证∠BFE(或∠BFC)为90°即可；而要证∠BFE＝90°，可先证∠ABD＋∠BEF＝90°，由△ABD≌△ACE可得∠ABD＝∠ACE，而∠ACE＋∠BEF＝90°，问题就得到解决了．第7题解图①解：延长BD交CE于点F，如解图①，(1分)在△ABD和△ACE中，∵，∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，(3分)在Rt△AEC中，∠ACE＋∠BEF＝90°，∴∠ABD＋∠BEF＝90°，∴∠BFE＝180°－90°＝90°，∴BD⊥CE.(4分)(2)【思路分析】结论仍然成立，要证BD＝CE，还是先证△ABD≌△ACE；要证三角形全等，可先证∠BAD＝∠EAC，然后仍用SAS证全等；要证BD⊥CE，可先延长BD交CE于点F，证∠BFC＝90°；而要证∠BFC＝90°只需证出∠CBF＋∠BCF＝90°即可．第7题解图②解：(1)的结论仍成立．延长BD交CE于点F，如解图②，(5分)∵∠BAD＋∠CAD＝90°，∠EAC＋∠CAD＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，(6分)在△DAB和△EAC中，，∴△DAB≌△EAC(SAS)，∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，(8分)∵∠ABC＋∠ACB＝90°，∴∠CBF＋∠BCF＝∠ABC－∠ABD＋∠ACB＋∠ACE＝90°，∴∠BFC＝180°－∠CBF－∠BCF＝180°－90°＝90°，∴EC⊥BD.(9分)8·如图，已知抛物线与x轴交于A(－1，0)，B两点，与y轴交于点C(0，3)，点D为抛物线的顶点且对称轴为x＝1.(1)求抛物线的解析式；(2)直线CD与x轴交于点E，过线段OB的中点N作NF⊥x轴，交直线CD于点F，求EF的长；(3)在第(2)问的条件下，直线NF上是否存在点M，使得以点M为圆心，OM为半径的圆与直线CD相切？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．第8题图解析(1)【思路分析】设抛物线解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，把点A(－1，0)，点C(0，3)分别代入式中，再由对称轴公式x＝－＝1，列出三元一次方程组求解．解：设抛物线解析式为y＝ax2＋bx＋c，由题意可得：，解得，(2分)∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3.(3分)(2)【思路分析】要求EF的长，可放到Rt△ENF中，用勾股定理求解，这就需要知道EN、FN的长；而要求EN、FN的长，需知道点E、F的坐标，这就需要先求出直线CD的解析式；设直线CD解析式为y＝kx＋b，将C、D两点代入，用待定系数法求出直线CD的解析式．解：∵点D为抛物线的顶点，∴D(1，4)，设CD的解析式为y＝kx＋b，把C(0，3)，D(1，4)代入，得，解得k＝1，b＝3，∴直线CD解析式为y＝x＋3，(4分)∴E(－3，0)，∴OE＝OC＝3，∴∠AEC＝45°，令抛物线y＝－x2＋2x＋3中y＝0，解得x1＝－1，x2＝3，∴OB＝3，(5分)∵点N是OB的中点，∴ON＝，NE＝，(6分)∵FN⊥x轴，∴∠AEC＝∠EFN＝45°，∴EN＝FN＝，∴EF＝EN＝.(7分)(3)【思路分析】假设存在符合条件的点M，设M(，y)，过点M作MQ⊥CD于点Q，根据题意得MQ＝MO，再证出Rt△FQM∽Rt△FNE，根据相似三角形对应边成比例列出关于y的方程求解．解：直线NF上存在点M.过点M作MQ⊥CD于点Q，如解图，(8分)第8题解图∵⊙M与CD相切，∴MQ＝OM，设M(，y)，∴MQ2＝OM2＝＋y2，(9分)∵∠MFQ＝∠NFE，∠FQM＝∠FNE＝90°，∴△FQM∽△FNE，∴＝，∴＝，即＝，整理得：4y2＋36y－63＝0，解得：y1＝，y2＝－.(11分)∴点M的坐标为：M1(，)、M2(，－)．(12分)9·如图①，边长为4的正方形ABCD的边AD∥y轴，点P(0，－1)是CD的中点，以P为顶点的抛物线经过点B，连接BD.(1)求抛物线和直线BD的解析式；(2)如图②，若点M是抛物线上一动点(点M不与点A、B重合)，过点M作y轴的平行线FM与直线AB交于点F，与直线BD交于点E，当线段ME＝2EF时，求点M的坐标；(3)如图③，平移抛物线，使平移后的抛物线顶点N在直线PB上，抛物线与直线PB的另一个交点为Q，点H在y轴正半轴上，当以H、N、Q三点为顶点的三角形为等腰直角三角形时，求出所有符合条件的H点的坐标．第9题图解析(1)【思路分析】由点P(0，－1)是抛物线的顶点，可设抛物线的解析式为y＝ax2－1，抛物线经过点B，故可求出a值，进而得抛物线的解析式；设直线BD解析式为：y＝kx＋b，用待定系数法即可求出直线解析式．解：由正方形ABCD边长为4及点P(0，－1)可得，B(2，3)、D(－2，－1)，设抛物线的解析式为y＝ax2－1，把B(2，3)代入得，3＝4a－1，解得a＝1,∴抛物线的解析式为y＝x2－1；(2分)设直线BD的解析式为y＝kx＋b，把B(2，3)、D(－2，－1)代入得，，解得k＝1，b＝1，(3分)∴直线BD的解析式为y＝x＋1.(4分)(2)【思路分析】设点M(x，x2－1)，进而表示出E，F点坐标，再根据ME＝2EF列方程，便可求出M点坐标．解：设点M(x，x2－1)，则E(x，x＋1)，F(x，3)，∴ME＝x＋1－(x2－1)＝－x2＋x＋2，EF＝3－(x＋1)＝2－x，(5分)当ME＝2EF时，可列方程－x2＋x＋2＝2(2－x)，(6分)解得x＝2或x＝1，(7分)∵点M不与点A、B重合，∴x＝1，∴M(1，0)．(8分)(3)【思路分析】由平移性质可知：NQ＝PB，设PB与y轴的夹角为α，由正方形可得sinα；以点H、N、Q为顶点的三角形如果是等腰直角三角形，可分三种情况解答，即∠HQN＝90°、∠HNQ＝90°或∠NHQ＝90°三种情况．解：由平移性质可知，NQ＝PB＝＝＝2，设PB与y轴的夹角为α，由正方形可得sinα＝＝.①当∠HQN＝90°时，如解图①，HQ＝NQ＝2，在Rt△PHQ中，sinα＝＝，解得HP＝10，∴H(0，9)．(9分)第9题解图①　　　第9题解图②②当∠HNQ＝90°时，如解图②，HN＝NQ＝2，在Rt△PHN中，sinα＝＝，解得HP＝10，∴H(0，9)．(10分)③当∠NHQ＝90°时，如解图③，NQ＝2，过点H作HG⊥PB于点G，由等腰三角形三线合一的性质及直角三角形性质可得，HG＝NQ＝，在Rt△PHG中，sinα＝＝，解得HP＝5，∴H(0，4)．(11分)综上，所有符合条件的H点的坐标为：(0，9)和(0，4)．(12分)第9题解图③