柯西极限存在准则

柯西极限存在准则TheStandardizationOfficewasrevisedontheafternoonofDecember13,2020柯西极限存在准则柯西极限存在准则极限存在准则又叫柯西收敛原理，给出了收敛的充分必要条件。数列{Xn}收敛的充分必要条件是：对于任意给定的ε，存在着这样的N，使得当m>N,n>N时就有|Xn-Xm|N，有Ia(n)-a(N+1)I0，都存在N,使得m、n>N时有|a(m)-a(n)|N,使得|aj(k)-A|=k>N,所以凡是n>N时，我们有|a(n)-A|<=|a(n)-aj(k)|+|...

TheStandardizationOfficewasrevisedontheafternoonofDecember13,2020柯西极限存在准则柯西极限存在准则极限存在准则又叫柯西收敛原理，给出了收敛的充分必要条件。数列{Xn}收敛的充分必要条件是：对于任意给定的ε，存在着这样的N，使得当m>N,n>N时就有|Xn-Xm|<ε这个准则的几何意义表示，数列{Xn}收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数ε，在上一切具有足够大号码的点Xn中，任意两点间的距离小于ε.充分性证明：(1)、首先证明Cauchy列有界取ε=1,根据Cauchy列定义，存在自然数N，对一切n>N，有Ia(n)-a(N+1)I<1。令M=max{|a(1)|,|a(2)|，…，|a(N)|，|a(N+1)|+1}则对一切n，成立|a(n)|≤M。所以Cauchy列有界。（2)、其次在证明收敛因为Cauchy列有界，所以根据Bolzano-Weierstrass定理（有界数列有收敛子列）存在一个子列aj(n)以A为极限。那么下面就是要证明这个极限A也就是是Cauchy列的极限。（注意这种证明方法是实数中常用的方法：先取点性质，然后根据实数稠密性，考虑点领域的性质，然后就可以证明整个实数域的性质了）因为Cauchy列{a(n)}的定义，对于任意的ε>0，都存在N,使得m、n>N时有|a(m)-a(n)|<ε/2取子列{aj(n)}中一个j(k),其中k>N,使得|aj(k)-A|<ε/2因为j(k)>=k>N,所以凡是n>N时，我们有|a(n)-A|<=|a(n)-aj(k)|+|aj(k)-A|<ε/2+ε/2=ε这样就证明了Cauchy列收敛于A.即得结果：Cauchy列收敛

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