第二章 分解因式 全章导学案

第二章 分解因式 2．1分解因式 【学习目标】 1．经历从分解因数到分解因式的过程． 2．了解分解因式的意义，以及与整式乘法的关系． 3．感受分解因式在解决相关问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 中的作用． 【预习设计】 1．把一个多项式化成几个 的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式． 2．把993-99化为几个整数的积的形式． 3．连一连，并回答． x2-y2 (x+1)2 9-25x2 y(x-y) x2+2x+1 (3-5x)(3+5x) xy-y2 (x+y)(x-y) 从左到右的变形是 ，从右到左的变形是 ． 【学习探究】 一、学前准备 1．知识回顾 单项式乘以多项式的法则 a(b+c)= ． 多项式乘以多项式的法则 (m+n)(a+b)= ． 2．自学教材2．1，分解因式，弄清下列问题． ①什么叫分解因式？ ②分解因式与整式乘法的关系． 二、师生互动 例1：下列由左边到右边的变形，是分解因式吗？为什么？ (1)(a+3)(a-3)=a2-9 (2)m2-4=(m+2)(m-2) (3)a2-b2+1=(a+b)(a-b)2 (4)2mR+2mr=2m(R+r) (5)x2+x=x2(1+ ) 小结：1．分解因式的结果是 的形式． 2．分解后的每个因式必须是 式． 3．分解因式必须分解到每个因式都不能再分为止． 练习教材2．1节知识与技能1、2 例2：计算左边的四个算式，并由算出的结果在右边填空． （1）（m+4)(m-4)= (5)m2-16= (2)(y-3)2= (6)y2-6x+9= (3)3x(x-1)= (7)3x2-3x= (4)m(a+b+c)= (8)ma+mb+mc= 小结：分解因式和整式的乘法互为逆运算． 两边的结果应是相等的，只是形式不同而已． 例2：已知x2-3x+m可以分解为(x+2)(x-5),求出m的值． 练习①已知x2-x+n可以分解为(x+3)(x-4),求出n的值． ②已知关于x的二次三项式3x2+mx-n=(x+3)(3x-5)，求m、n的值． 例3：19992+1999能被1999整除吗？能被2000整除吗？ 【训练测评】 1．下列由左边到右边的变形，属于分解因式的是（ ） A．x2-y2=(x+y)(x-y) B．(x+2)(x+3)=x2+5x+6 C．x2+3x+5=x(x+3)+5 D． 2．下列各式，分解因式正确的是（ ） A．a3+b2=(a+b)2 B．xy+xz+x=x(y+z) C．x2+x3=x3·( +1) D．a2-2ab+b2=(a-b)2 3．多项式x2-3x-10分解因式的结果是（ ） 4．①20072+2007能被2007整除吗？能被2008整除吗？ ② ×98．2-48．2× 能被14整除吗？ 四、拓展延伸 关于x的多项式6x2-11x+m分解因式后有一个因式是2x-3，试求m的值． 【课后反思】 2．2提公因式法 【学习目标】 1．能确定多项式各项的公因式． 2．会用提公因式法把多项式分解因式． 【预习设计】 1． 叫多项式各项的公因式． 2．多项式2x2+6x3中各项的公因式是 ． 3．如果一个多项式的各项含有 ，那么就可以把这个 提出来，从而将多项式化成 积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． 4．分解因式 （1）ma+mb= (2)4kx-8ky= (3)5y2+2y2= (4)a2b-2ab2+ab= 【学习探究】 一、学前准备 1．分解因式：把一个多项式化成几个整式积的形式，这种变化叫做把这个多项式分解因式． 2．公约数：n个数公共的约数． 3．最大公约数：n个数最大的公共的约数，叫做这n个数的最大公约数． 二、师生互动 1．什么叫多项式的公因式？ 2．公因式的确定方法： ①各项系数的最大公约数是公因式的系数． ②各项都会有的字母，其指数取最低作为公因式的字母及指数． （3）什么叫提公因式法？ 口诀： 公因式，要提取，公约数，取大值 公有字母提出来，字母次数要最低 原式除以公因式，商式写在括号里 例1：指出下列各组式子的公因式． （1）5a3,4a2b,12abc (2)3x2y3,6x3y2z5,-12x2yz2 (3)2a(a+b)2,ab(a+b),5a(a+b) (4)2xn+1,3xn-1,xn(n>1的整数） 例2：分解因式 （1）9x2-6xy+3xz (2)-10x2y-5xy2+15xy (3)4a2+6ab+2a (4)-8amb3+12am+1b2+16am+2b 练习：教材2．2节相应随堂练习与知识技能． 例3：分解因式： （1）2x(y+z)-3(y+z) (2)6(x-y)3-9y(x-y)2 (3)x(x-y)+y(y-x) (4)x(x-y)(a-b)-y(y-x)(b-a) 小结：当n为正整数时 （x-y)2n=(y-x)2n,(x-y)2n-1=-(y-x)2n-1 【训练测评】 1．下列各组多项式中，没有公因式的一组是（ ） A．ax-bx和ay-by B．2a-3b和4a2-6ab C．（a-b)2和(b-a)3 D．xy+xz和xy-z 2．多项式-12x2y3+16x3y2+4x2y2的一个因式是-4x2y2，则另一个因式是（ ） A．3y+4x-1 B．3y-4x-1 C．3y-4x+1 D．3y-4x 3．4a5b2c2;8a2b3c4,12a3b4的公因式为 ． 4．把5m2n3-3m2n2-m2n2分解因式得 ． 5．先分解因式，再求值． 7a(b+2)+3a(b+2),其中a=2,b=-1 6．分解因式： （1）5(x-y)2+10(y-x)2 (2)6(m-3)+x(3-m) (3)3a2-4ab+a (4)9x2y3-12x3y+3xy 四、拓展延伸 n为整数，n2+n能被2整除吗？ 【课后反思】 2．3运用公式法（一） 【学习目标】 1．由整式乘法的平方差公式，完全平方公式约出用公式法分解因式的方法． 2．会用公式法分解因式． 【预习设计】 1．由(a+b)(a-b)=a2-b2得a2-b2= ． 2．分解因式 （1）x2-25= (2)9x2-y2= 【学习探究】 一、学前准备 知识回顾： 1．分解因式的概念 ． 2．平方差公式： ． 二、师生互动 1．平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b) 注：式子中a,b可为多项式，也可为单项式。 2．平方差公式的特点：结构二项式，一项正，一项负，系数能平方．指数要成双，项项完全平方，减号在中央． 例：分解因式． （1）16x2-25y2 (2)9a2- b2 (3)(a+b)2-9 (4)9(m+n)2-(m-n)2 (5)2x3-8x 【训练测评】 1．下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是（ ） A．-0．1m4+n4 B．-16a2+b2 C． -a4 D．9a2-64b2 2．分解因式 （1）9x2-1 (2)-812+4y2 (3)(a-1)2+b2(1-a) (4)a5-a (5)(m-n)2-1 (6)4x2-(x-y)2 (7)-(a+1)2+9(a-2)2 (8)-(a+b)2+(a-b)2 【课后反思】 2．3运用公式法（二） 【预习设计】 1．由完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2得a2±2ab+b2= ． 2．分解因式：4-4x+x2= ． 【学习探究】 一、学前准备 知识回顾： 1．完全平方公式： 2．完全平方式：a2+2ab+b2或a2-2ab+b2 3．完全平方式的特点：首平方，尾平方，积的二倍加（减）在中央． 即多项式是二次三项式，其中两项的符号相同，且都是一个数(或式)的完全平方，另外一项是那两项中数(或式)乘积的二倍． 二、师生互动 完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2 注：式中字母a,b可为单项式，也可为多项式。 例：分解因式 （1）9x2-12xy2+4y4 (2)(x+y)2+4(x+y)+4 (3)-6a-a2-9 (4)3ax2+6axy+3ay2 (5)(x2+4)2+8x(x2+4)+16x2 练习：教材2．3节随堂练习、知识技能． 【课后反思】 第二章分解因式专题复习 一、主干知识梳理 二、综合创新应用 一、学科内综合 因式分解常用的方法是提公因式法和运用公式法，但对于稍复杂的多项式来说，往往是多法并用，综合地运用所学方法解决问题． 例1：把下列各式分解因式 （1）（a2+4)2-16a2; (2)x3+2x2-9x-18 例2：解下列因式 （1）4x3-4x2-9x+9 (2)x2-2xy+y2-z2 (3)(x-y)2-2(x-y)-a2+1 二、实践应用 因式分解是其他数学知识（如分式的计算）的基础，是代数式恒等变形的依据，同时，它在物理、几何的简算中还有广泛的应用． 例3：已知长方形的周长是20cm，它的两边x、y是整数，且满足x-y-x2+2xy-y2+6=0,求其面积． 练习：一个正方形的边长增加3cm，它的面积增加了45cm2，求这个正方形原来的边长，若边长减少3cm，它的面积减少了45cm2，这时原来的边长是多少呢？ _1234567893.unknown _1234567895.unknown _1234567897.unknown _1234567898.unknown _1234567896.unknown _1234567894.unknown _1234567891.unknown _1234567892.unknown _1234567890.unknown