中考高分的十八个关节 关节15 由函数图象衍生出的问题

关节十五 由 函 关于工期滞后的函关于工程严重滞后的函关于工程进度滞后的回复函关于征求同志党风廉政意见的函关于征求廉洁自律情况的复函 数图象衍生出的问题 图象本是函数关系的一种 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达方式，现以它为主背景，可以衍生出如下的两类问题： Ⅰ、由图象反过来研究对应的实际问题，这类问题解决的基本过程是：“图象→对应的函数关系→实际问题”； Ⅱ、图象和坐标系里的几何图形相结合，这类问题解决的基本方向是：将图象上点的特征和几何图形的相关计算恰当地结合起来。 一、由图象研究对应的实际问题 例1 如图（1），三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同。正常水位时，大孔水面宽度 米，顶点M距水面6米（即 米），小孔顶点N距水面 米（即 米）。当水位上涨刚好淹没小孔时，借助图中的直角坐标系，求此时大孔的水面宽度 。 【观察与思考】读图，并和实际背景对照，可知： ①应先求出大孔对应的抛物线的解析式； ②求出F点的横坐标； 解：设大孔对应的抛物线解析式为 ， 因为点 在该抛物线上，即 解得 令 ，解得 ， EMBED Equation.3 米。 答；当水位不涨刚好淹没小孔时，大孔的水面宽为10米。 例2 某企业有甲、乙两个长方体形的蓄水池，将甲池中的水以每小时6立方米的速度注入乙水池，甲，乙两个蓄水池中的水的深度 （米）与注水时间 （小时）之间的函数图象如图（2）的所示，结合图象回答下列问题： （1）求注水多长时间甲，乙两个蓄水池水深度相同； （2）求注水多长时间甲，乙两个蓄水量相同； 【观察与思考】由两段图象可求出对应的两函数关系式， 再借两函数关系式去解决（1），（2）两个问题。 解：设 。把（0，2）和（3，0）代入，解得 EMBED Equation.3 。 设 。把（0，1）和（3，4）代入，解得 ， （1）根据题意，由力间 解得 。 所以注水 小时，甲，乙两蓄水池中水的深度相同。 （2）设甲蓄水池的底面积为 ，乙蓄水池的底面积为 ，注水 小时甲，乙两个蓄水池的蓄水量相同。 先由两池水量的变化情况求出两池的底面积； ，即 。 ，即 。 再根据题意，得 ，即 。 解得 。 注水1小时甲，乙两个蓄水池的蓄水量相同。 例3 某工厂用一种自动控制加工机制作一批工件，该机器运行过程分为加油过程和加工过程：加工过程中，当油箱中油量为10升时，机器自动停止加工进入加油过程，将油箱加满后继续加工，如此往复，已知机器需运行185分钟才能将这批工件加工完。图（1） 是油箱中油量 （升）与机器运行时间 （分）之间的函数图象，根据图象回答下列问题： （1）求在第一加工过程中，油箱中油量 （升）与机器运行时间 （分）之间的函数关系式（不必写出自变量 的取值范围）； （2）机器运行多少分钟时，第一个加工过程停止？ （3）加工完这批工件，机器油耗多少升？ 【观察与思考】先读图象：①折线第一段表示：前10分钟为加油过程， 匀速地由10升加到100升，②折线第二段表示加工过程，其间油量 匀速减少，加工20分钟油量由100升减小到80升。 问题（1）是求折线第二段对应的函数解析式，可用待定系数法。 问题（2）相当于求（1）中的函数在函数值等于10时对应的 的值； 问题（3）由题意和（2）知，机器运行100分钟后油箱中的油量为10升，应再用9分钟将油加满，然后再运行 （分钟），这批工件加完毕，即185分钟之内，有19分钟是加油过程，有 分钟是加工过程，而加工过程每分钟耗油1升。 解：（1）设图象第二段对应的函数关系式为 ，由 解得 即 ， （2）令 ，解得 。 即机器运行100分钟后，第一个加工过程停止。 （3）第一个加工过程停止后，由图象的折线第一段知每分钟加油10升，加到到100升需9分钟，机器运行185分钟内有19分钟加油，有 分钟是加工过程，而加工每1分钟耗油1升，可知，加工完毕这批零件，耗油166升。 由以上几例可以看出，解这类图象和实际背景相结合的题目思考要点有三： 第一，图象和实际背景意义的结合与统一； 第二，图象和对应的解析式的结合与统一； 第三，要解决的实际问题是如何反映在图象和解析式上的。 二、函数图象和几何图形相结合的问题 例1 如图所示，直线 与坐标轴分别交于点P和点Q，在直线PQ上有一个点A（不与 P，Q重合）。过点A作 轴于点B，作 轴于点C。设点A的横坐标为 ，矩形 的面积为 。 （1）求 关于 的函数关系式； （2）点A在线段PQ的什么位置时，矩形 的面积有最大值？并求出最大值。 【观察与思考】把“点A在线段PQ上”，用代数 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 （即数量关系） 表示出来，进而建立 关于 的函数关系式。 解：（1）P，Q分别为直线 与 轴、 轴的交点。 点P的坐标为（4，0），点Q的坐标为（0，8）， 点A的坐标为 ），且 ， （注：“这是点A在线段PQ上，且不与P，Q重合”的代数方法 的表示） ， ， 。 （2） ， 时，S有最大值8。 时，点A的坐标为（2，4），恰为PQ的中点。 当点A为线段PQ的中点时，矩形 的面积最大，最大值为8。 【说明】在解答本题的过程中，相关结论的“代数表示法”和“几何表示法”的相互转换，起着极为重要的作用。 例2 如图，直线 与 轴的交于点 ，以 为边向右作正方形 ，延长 交直线于点 ，以 为边继续作正方形 ，…重复以上过程，得到点列 ， ， ， EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 （1）求出点 ， 的坐标； （2）写出 的坐标。 【观察与思考】关键是找到 的坐标和 坐标的关系， 的坐标与 坐标的关系……从中获得规律，而这就要充分 利用 ， ， 在直线 上和正方形四边相等这些条件。 解：（1） 坐标为（0，1），而 ， ， ∽ ， ， 。 EMBED Equation.3 的坐标为 ）。 从上可知： 类似地有： ，即 ， 在 中， ， EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 的坐标为 。 （2）归纳可知： 的坐标为 。 例3 如图，抛物线 与 轴交于点A， 轴上的点B的坐标为（0，2）。过点B的一条直线与抛物线交于点P和点Q，过P和Q分别作 轴的垂线，垂足为 。 （1）求证： ， ； （2）判断 的形状。 【观察与思考】对于（1），应特别注意点P，Q在抛物线上的表示 方法，并用恰当的方法求出PB，PS的长。 对于（2），应借助（1）的结果和图形的特殊。 解：（1）设点P的坐标为 ，则 。 作 于点H，则 。 。同理可得 。 （2） ， ， 。 。 ， 是直角三角形。 例4 如图，在直角坐标平面内，函数 是常数）的图象经过 ），其中 。过点A作 轴垂线，垂足为C，过点B作 轴垂线，垂足为D，连结 。 （1）若 的面积为4，求出点B的坐标； （2）求证： ； （3）当 时，求直线AB的函数解析式。 【观察与思考】由点 在双曲线上，故可求得双曲线的解析式。 对于（1），B点的坐标为 ，用 的面积去构造关于 的方程求解。 对于（2），设 相交于点E，可通过去证 来推得 ； 对于（3），实际上由 去构造关于B点坐标的方程，求得了B点的坐标。AB的解析式就易得。 解：（1） 函数 是常数），图象经过 ， 。据题意，可得B点的坐标为 ， D点的坐标为 ，设 交于点E，E点的坐标为 ， EMBED Equation.3 ， 。 的面积为4，即 ，解得 ， 点B的坐标为 。 （2）证明：据题意，点C的坐标为（1，0）， ， EMBED Equation.3 ，易得 。 ∽ EMBED Equation.3 ， 。 （3）解： ， 当 时，有两种情况： ①当 时，四边形 是平行四边形。 由（2）得， ， ，得 。 点B的坐标为（2，2）。 设直线AB的函数解析式为 ，把点A，B的坐标代入，得 解得 直线AB的函数解析式是 。 ②当AD与BC所在直线不平行时，四边形 是等腰梯形， 则 EMBED Equation.3 点B的坐标为（4，1）。 设直线AB的函数解析式为 ，把点A，B的坐标代入，得 解得 直线AB的函数解析式是 。 综上所述，所求直线AB的函数解析式是 或 。 【说明】在本题的解法中，充分体现了恰当运用双曲线的性质，点B在该双曲线上的表示方法，以及相关几何图形的性质和有关数量。 例5如图（1），已知平面直角坐标系 中，点 ）， ）为两动点，其中 ，连结 ， 。 （1）求证： ； （2）当 时，抛物线经过A，B两点且以 轴为对称轴，求抛物线对应的二次函数的关系式； （3）在（2）的条件下，设直线AB交 轴于点F，过点F作直线 交抛物线于P，Q两点，问是否存在直线 ，使 ？若存在，求出直线 对应的函数关系式；若不存在，请说明理由。 【观察与思考】对于（1），应从 出发，去构造分别以 为边的相似三角形； （1） 对于（2），由 这一附加条件求出 的值，易得所求 抛物线的解析式； 对于（3），由 去构造P点坐标的方程。 解：（1）作 轴于C点， 于D点，如图（1`） 点坐标分别为 ， ， 又 ， ∽ ， （1`） ， （2）由（1）得， ，又 ， 。 即 ， 又 ， ， A点坐标为（2，6），B点的坐标为 ，易得抛物线解析式为 。 （3）直线AB为 ，且与 轴交于F（0，4）点， 。 假设存在直线 交抛物线于P，Q两点，且使 ，如图（1`）的所示， 则有 ，作 轴于点M， 轴于点N， 在抛物线 上， 设P坐标为 ， 则 ， ∽ ， ， EMBED Equation.3 ， ， 点坐标为 ， Q点在抛物线 上， ，解得 ， 坐标为 ，Q坐标为 ， 易得直线 为 。 根据抛物线的对称性可得 另解为 。 【说明】Ⅰ、在本题（3）中，用 表示P点在抛物线 上，而当推得Q点的坐标为 ， 则由Q点在该抛物线上，得 ，就体现着函数图象“形数结合”的本质含义，准确地运用这一点，是这类题目获解的关键。 Ⅱ、由本题的解可以看出，方程的作用何其大、何其广。问题（1）（2），（3）的解，不都是借助于方程吗？ Ⅲ、在本题中，特别是（1）和（3），方程的构造都是通过直角三角形和三角形的相似，因此，这两项几何计算的法宝堪称几何向代数转化的中介与桥梁。 � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� A B E M F N 正常水位 C � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� 3 4 2 1 甲 乙 � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ���（分） � EMBED Equation.3 ���（升） � EMBED Equation.3 ��� 10 30 80 100 � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� B A C Q P � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� M � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� S R H B Q A P � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� A D B C E � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� A B F � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� A B F P D M N C - 1 - _1268475576.unknown _1268478498.unknown _1268481019.unknown _1268481751.unknown _1268481978.unknown _1268482090.unknown _1268482211.unknown _1268482354.unknown _1268482355.unknown _1268483839.unknown _1268482352.unknown _1268482353.unknown _1268482314.unknown _1268482166.unknown _1268482191.unknown _1268482133.unknown _1268482035.unknown _1268482051.unknown _1268482005.unknown _1268481839.unknown _1268481901.unknown _1268481953.unknown _1268481876.unknown _1268481803.unknown _1268481770.unknown _1268481447.unknown _1268481624.unknown _1268481675.unknown _1268481698.unknown _1268481722.unknown _1268481647.unknown _1268481505.unknown _1268481535.unknown _1268481466.unknown _1268481240.unknown _1268481301.unknown _1268481333.unknown _1268481271.unknown _1268481093.unknown _1268481224.unknown _1268481058.unknown _1268479908.unknown _1268480639.unknown _1268480819.unknown _1268480882.unknown _1268480933.unknown _1268480857.unknown _1268480743.unknown _1268480749.unknown _1268480742.unknown _1268480013.unknown _1268480503.unknown _1268480622.unknown _1268480174.unknown _1268480183.unknown _1268480196.unknown _1268480025.unknown _1268479965.unknown _1268479980.unknown _1268479737.unknown _1268479852.unknown _1268479877.unknown _1268479776.unknown _1268479799.unknown _1268479813.unknown _1268479748.unknown _1268479162.unknown _1268479255.unknown _1268479721.unknown _1268479180.unknown _1268478686.unknown _1268479118.unknown _1268479138.unknown _1268478996.unknown _1268478800.unknown _1268478569.unknown _1268478642.unknown _1268478669.unknown _1268478627.unknown _1268478517.unknown _1268477631.unknown _1268478085.unknown _1268478318.unknown _1268478474.unknown _1268478392.unknown _1268478416.unknown _1268478151.unknown _1268478190.unknown _1268478132.unknown _1268477796.unknown _1268477878.unknown _1268478048.unknown _1268477723.unknown _1268477754.unknown _1268477768.unknown _1268477670.unknown _1268476389.unknown _1268477475.unknown _1268477544.unknown _1268477580.unknown _1268477510.unknown _1268476451.unknown _1268476707.unknown _1268476428.unknown _1268475708.unknown _1268476353.unknown _1268475839.unknown _1268475867.unknown _1268476251.unknown _1268475852.unknown _1268475729.unknown _1268475655.unknown _1268475697.unknown _1268475654.unknown _1268315477.unknown _1268464764.unknown _1268465447.unknown _1268465735.unknown _1268475537.unknown _1268475560.unknown _1268475480.unknown _1268465613.unknown _1268465679.unknown _1268465557.unknown _1268465167.unknown _1268465311.unknown _1268465410.unknown _1268465292.unknown _1268464980.unknown _1268465012.unknown _1268464951.unknown _1268317193.unknown _1268317327.unknown _1268317420.unknown _1268317499.unknown _1268317515.unknown _1268317529.unknown _1268317439.unknown _1268317419.unknown _1268317236.unknown _1268317301.unknown _1268317218.unknown _1268315700.unknown _1268315802.unknown _1268315901.unknown _1268315773.unknown _1268315598.unknown _1268315638.unknown _1268315544.unknown _1268313229.unknown _1268315104.unknown _1268315309.unknown _1268315383.unknown _1268315429.unknown _1268315358.unknown _1268315204.unknown _1268315235.unknown _1268315155.unknown _1268314260.unknown _1268314409.unknown _1268314866.unknown _1268315076.unknown _1268314918.unknown _1268314958.unknown _1268314891.unknown _1268314658.unknown _1268314772.unknown _1268314633.unknown _1268314407.unknown _1268314408.unknown _1268314274.unknown _1268313814.unknown _1268313951.unknown _1268314248.unknown _1268313950.unknown _1268313939.unknown _1268313949.unknown _1268313690.unknown _1268313708.unknown _1268313773.unknown _1268313736.unknown _1268313755.unknown _1268313302.unknown _1268313650.unknown _1268313677.unknown _1268313270.unknown _1268304459.unknown _1268312921.unknown _1268313018.unknown _1268313138.unknown _1268313184.unknown _1268313039.unknown _1268312952.unknown _1268313002.unknown _1268312930.unknown _1268308326.unknown _1268312337.unknown _1268312599.unknown _1268312600.unknown _1268312615.unknown _1268312436.unknown _1268312434.unknown _1268312435.unknown _1268312433.unknown _1268308541.unknown _1268308559.unknown _1268312264.unknown _1268308463.unknown _1268308519.unknown _1268308413.unknown _1268308446.unknown _1268308391.unknown _1268308085.unknown _1268308146.unknown _1268304582.unknown _1268307459.unknown _1268307472.unknown _1268307491.unknown _1268304583.unknown _1268304460.unknown _1268303562.unknown _1268304028.unknown _1268304206.unknown _1268304283.unknown _1268304354.unknown _1268304233.unknown _1268304114.unknown _1268304163.unknown _1268304042.unknown _1268303726.unknown _1268303897.unknown _1268303956.unknown _1268303825.unknown _1268303861.unknown _1268303802.unknown _1268303643.unknown _1268303713.unknown _1268303604.unknown _1268297947.unknown _1268298057.unknown _1268302904.unknown _1268303259.unknown _1268303490.unknown _1268303312.unknown _1268303246.unknown _1268302883.unknown _1268298027.unknown _1268298042.unknown _1268298016.unknown _1268296641.unknown _1268297739.unknown _1268297819.unknown _1268297885.unknown _1268297900.unknown _1268297853.unknown _1268297764.unknown _1268297319.unknown _1268297333.unknown _1268297348.unknown _1268296720.unknown _1268296603.unknown _1268296627.unknown _1268296563.unknown