2007年全国初中数学联赛试题及解答

2007 年全国初中数学联合竞赛试题 第一试 一、选择题 1. 已知 zyx ,, 满足 xzzyx +=−= 532 ，则 zy yx 2 5 + − 的值为（ ） （A）1. （B） 3 1 . （C） 3 1− . （D） 2 1 . 2．当 x分别取值 2007 1 ， 2006 1 ， 2005 1 ，…， 2 1 ，1，2，…， ，2006 ，2007 时，计算代数式 2005 2 2 1 1 x x + − 的值，将所得的结果相加，其和等于（ ） （A）－1. （B）1. （C）0. （D）2007. 3. 设 是△ 的三边长，二次函数cba ,, ABC 2 ) 2 ( 2 bacxxbay −−−−= 在 时取 最小值 1=x b 5 8− ，则△ 是（ ） ABC （A）等腰三角形. （B）锐角三角形. （C）钝角三角形. （D）直角三 角形. 4. 已知锐角△ 的顶点ABC A到垂心H 的距离等于它的外接圆的半径，则∠ A的 度数是（ ） （A）30°. （B）45°. （C）60°. （D）75°. 5．设 是△ 内任意一点，△ 、△K ABC KAB KBC 、△KCA的重心分别为 D、E 、 F ，则 的值为 （ ） ABCDEF SS △△ : （A） 9 1 . （B） 9 2 . （C） 9 4 . （D） 3 2 . 6．袋中装有 5 个红球、6 个黑球、7 个白球，从袋中摸出 15 个球，摸出的球中 恰好有 3 个红球的概率是 （ ） （A） 10 1 . （B） 5 1 . （C） 10 3 . （D） 5 2 . 二、填空题 1. 设 12 1 −=x ， 是a x 的 小 数 部 分 ， 是b x− 的 小 数 部 分 ， 则 =++ abba 333 ____1___. 2. 对于一切不小于2的自然数 ，关于n x的一元二次方程 2 2( 2) 2x n x n 0− + − = 的 两个根记作 （ ），则 nn ba , 2≥n )2)(2( 1 22 −− ba )2)(2( 1 33 −− + ba L+ )2)(2( 1 20072007 −− + ba = 3. 已知直角梯形 的四条边长分别为ABCD 6,10,2 ==== ADCDBCAB ，过B 、 D两点作圆,与BA的延长线交于点E ，与 的延长线交于点CB F ，则 BFBE − 的 值为_________. 4． 若100 和 均为四位数，且均为完全平方数，则整数 的值是 __ 64+a 64201 +a a _____. 第二试 （A 卷） 一、 设 为正整数，且nm, 2≠m ，如果对一切实数 t ，二次函数 的图象与mtxmtxy 3)3(2 −−+= x轴的两个交点间的距离不小于 2t n+ ，求m 的值. n, A B C D E F M N P 二、如图，四边形 是梯形，点ABCD E 是上底 边 AD 上一点，CE 的延长线与BA的延长线交于点 F ，过点E 作BA的平行线交 的延长线于点CD M ， BM 与 AD 交于点 .证明：∠ =∠N AFN DME . 三、 已知 是正整数，如果关于a x的方程 的 根都是整数，求 的值及方程的整数根. 056)38()17( 23 =−−+++ xaxax a 第二试 （B 卷） 一、设 为正整数，且nm, 2≠m ，二次函数 的图象与mtxmtxy 3)3(2 −−+= x 轴的两个交点间的距离为 ，二次函数 的图象与1d ntxntxy 2)2(2 +−+−= x 轴的 两个交点间的距离为 .如果 对一切实数 t恒成立，求 的值. 2d 21 dd ≥ nm, 二、题目和解答与（A）卷第二题相同. 三、设 是正整数，二次函数 ，反比例函数a axaxy −+++= 38)17(2 x y 56= ， 如果两个函数的图象的交点都是整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），求 a的 值. 第二试 （C 卷） 一、题目和解答与（B）卷第一题相同. 二、题目和解答与（A）卷第二题相同. 三、设 是正整数，如果二次函数 和反比例函 数 a axaxy 710)232(2 2 −+++= x ay 311−= 的图象有公共整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），求 的值和 对应的公共整点 a 2007 年全国初中数学联合竞赛 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 第一试 一、选择题 1. B. 由 xzzyx +=−= 532 得 xzxy 2 3,3 == ，所以 3 1 33 35 2 5 =+ −=+ − xx xx zy yx ，故选（B）. 注：本题也可用特殊值法来判断. 2. C. 因为 =+ −+ + − 2 2 2 2 1 1 )1(1 )1(1 n n n n 0 1 1 1 1 2 2 2 2 =+ −++ − n n n n ，即当 x 分别取值 n 1 ， 为正整 数）时，计算所得的代数式的值之和为 0；而当 n n( 1=x 时， 0 11 11 2 2 =+ − .因此，当 x分 别取值 2007 1 ， 2006 1 ， 2005 1 ，…， 2 1 ，1，2，…，2005 ，2006 ， 时，计 算所得各代数式的值之和为 0. 故选（C）. 2007 3. D. 由题意可得 ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ −=−−−− = − −− , 5 8 22 ,1 ) 2 (2 bbacba ba c 即 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = =+ , 5 3 ,2 bc acb 所以 bc 5 3= ， ba 5 4= ，因此 ，所以△ 是直角三角形. 故选（D）. 222 bca =+ ABC 4. C. 锐角△ 的垂心在三角形内部，如图，设△ 的外 心为O， ABC ABC D为 的中点，BO的延长线交⊙O于点BC E ，连CE 、 AE ，则CE // AH ， AE //CH ，则OB ODCEAH 2=== ， 所以∠OBD ＝30°，∠ ＝60°，所以∠BOD A＝∠ ＝60°.故选（C）. BOD A E CB D O H 5. A. 分别延长 、KE 、KF ，与△ 的三边KD ABC AB 、BC 、CA 交于点M 、N 、 P ，由于D、E 、F 分别为△ 、△KAB KBC 、△KCA的重心，易知M 、N 、P 分别为 AB 、 、CA的中点，所以BC ABCMNP SS △△ 4 1= . 易证△DEF ∽△ ，且相似比为 ，所以 MNP 3:2 MNPDEF SS △△ 2) 3 2(= ABCS△4 1 9 4 ⋅= ABCS△9 1= . 所以 :DEFS△ 1 9ABC S =△ .故选（A）. 6. B. 设摸出的 15 个球中有 x个红球、y 个黑球、z 个白球，则 zyx ,, 都是正整数， 且 ，7,6,5 ≤≤≤ zyx 15=++ zyx .因为 13≤+ zy ，所以 x可取值 2，3，4，5. 当 时，只有一种可能，即2=x 7,6 == zy ； 当 时， ，有 2 种可能，3=x 12=+ zy 7,5 == zy 或 6,6 == zy ； 当 时， ，有 3 种可能，4=x 11=+ zy 7,4 == zy 或 6,5 == zy 或 ； 5,6 == zy 当 时， ，有 4 种可能，5=x 10=+ zy 7,3 == zy 或 6,4 == zy 或 或 . 5,5 == zy 4,6 == zy 因此，共有 1＋2＋3＋4＝10 种可能的摸球结果，其中摸出的球中恰好有 3 个红球的结果有 2 种，所以所求的概率为 5 1 10 2 = .故选（B）. 二、填空题 1. 1 ∵ 12 12 1 +=−=x ，而 3122 <+< ，∴ 122 −=−= xa . 又∵ 12 −−=− x ，而 2123 −<−−<− ，∴ 22)3( −=−−−= xb .∴ ， 1=+ ba ∴ =++ abba 333 =++−+ abbababa 3))(( 22 1)(3 222 =+=++− baabbaba . 2. . 1003 4016 − 由根与系数的关系得 2+=+ nba nn ， ，所以 22n na b n⋅ = − =−− )2)(2( nn ba (2−nnba 4) ++ nn ba 22 2( 2) 4 2 ( 1n n n n )= − − + + = − + ， 则 1 1 1 1( ) ( 2)( 2) 2 ( 1) 2 1n na b n n n n = − = − −− − + + 1 ， )2)(2( 1 22 −− ba )2)(2( 1 33 −− + ba L+ )2)(2( 1 20072007 −− + ba ＝ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1003( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 4 2007 2008 2 2 2008 4016 ⎡ ⎤+ − + + − = − − = −⎢ ⎥⎣ ⎦L− − . 3. 4 A B C D E F G M N 延长CD 交⊙ 于点G ，设 的中点分别 为点M ，则易知 .因为 O DGBE, N, DNAM = 10== CDBC ， 由割线定理，易证 ，所以 DGBF = 42)(2)(2 ==−=−=−=− ABAMBMDNBMDGBEBFBE . 4. 17 设100 ， ，则264 ma =+ 264201 na =+ 100,32 <≤ nm ，两式相减得 ))((101 22 mnmnmna −+=−= ，因为 101 是质数，且 101101 <−<− mn ， 所以 ，故101=+ mn 1012 −=−= nmna .代入 ， 264201 na =+ 整理得n ，解得0202374022 =+− n 59=n ，或 343=n （舍去）. 所以 a . 171012 =−= n 第二试 （A 卷） 一． 解 因为一元二次方程 的两根分别为 和− ，所以03)3(2 =−−+ mtxmtx mt 3 二次函数 的图象与mtxmtxy 3)3(2 −−+= x 轴的两个交点间的距离为 3mt + . 由题意， 3 2mt t n+ ≥ + ，即 ，即 2 2( 3) (2 )mt t n+ ≥ + 2 2 2( 4) (6 4 ) 9m t m n t n− + − + − ≥ 0 . 由题意知， ，且上式对一切实数 t 恒成立，所以 042 ≠−m ⎪⎩ ⎪⎨⎧ ≤−−−−=Δ >− ,0)9)(4(4)46( ,04 222 2 nmnm m 2 2, 4( 6) 0, m mn >⎧⇒ ⇒⎨ − ≤⎩ ⎩⎨ ⎧ = > ,6 ,2 mn m 所以 或 ⎩⎨ ⎧ = = ,2 ,3 n m ⎩⎨ ⎧ = = .1 ,6 n m 二．证明 设 与MN EF 交于点 P ，∵ // ， NE BC ∴△ ∽△ ，∴PNE PBC PC PE PB PN = , ∴ . PCPNPEPB ⋅=⋅ 又∵ME // BF ，∴△ PME∽△ PBF ，∴ PF PE PB PM = , ∴ PFPMPEPB ⋅=⋅ . ∴ ,故PFPMPCPN ⋅=⋅ PF PC PN PM = 又∠ =∠FPN MPE，∴△PNF∽△PMC，∴∠PNF＝∠PMC，∴NF//MC ∴∠ANF＝∠EDM. 又∵ME//BF，∴∠FAN＝∠MED. ∴∠ANF＋∠FAN＝∠EDM＋∠MED，∴∠AFN=∠DME. 三 解 观察易知，方程有一个整数根 11 =x ，将方程的左边分解因式，得 [ ] 056)18()1( 2 =+++− xaxx 因为a是正整数，所以关于 x 的方程 056)18(2 =+++ xax （1） 的判别式 ，它一定有两个不同的实数根. 0224)18( 2 >−+=Δ a 而原方程的根都是整数，所以方程（ 1 ）的根都是整数，因此它的判别式 应该是一个完全平方数. 224)18( 2 −+=Δ a 设 （其中 为非负整数），则 ，即 22 224)18( ka =−+ k 224)18( 22 =−+ ka 224)18)(18( =−+++ kaka . 显 然 与 的 奇 偶 性 相 同 ， 且ka ++18 ka −+18 1818 ≥++ ka ， 而 8284562112224 ×=×=×= ，所以 ⎩⎨ ⎧ =−+ =++ ,218 ,11218 ka ka 或 或 解 得 或 或 ⎩⎨ ⎧ =−+ =++ ,418 ,5618 ka ka ⎩⎨ ⎧ =−+ =++ ,818 ,2818 ka ka ⎩⎨ ⎧ = = ,55 ,39 k a ⎩⎨ ⎧ = = ,26 ,12 k a ⎩⎨ ⎧ = = ,10 ,0 k a 而 是正整数，所以只可能 或 a ⎩⎨ ⎧ = = ,55 ,39 k a ⎩⎨ ⎧ = = .26 ,12 k a 当 时，方程（1）即 ，它的两根分别为39=a 056572 =++ xx 1− 和 .此时原方 程的三个根为 1， 和 . 56− 1− 56− 当 时，方程（1）即 ，它的两根分别为12=a 056302 =++ xx 2− 和 .此时原方 程的三个根为 1， 和 。 28− 2− 28− 第二试 （B 卷） 一． 解 因为一元二次方程 的两根分别为 和 ，所以03)3(2 =−−+ mtxmtx mt 3− 31 += mtd ； 一元二次方程 的两根分别为 和02)2(2 =+−+− ntxntx t2 n− ，所以 ntd += 22 . 所以， 21 dd ≥ 22 )2()3(23 ntmtntmt +≥+⇔+≥+⇔ 09)46()4( 222 ≥−+−+−⇔ ntnmtm （1） 由题意知， ，且（1）式对一切实数 恒成立，所以 042 ≠−m t ⎪⎩ ⎪⎨⎧ ≤−−−−=Δ >− ,0)9)(4(4)46( ,04 222 2 nmnm m 2 2, 4( 6) 0, m mn >⎧⇒ ⇒⎨ − ≤⎩ ⎩⎨ ⎧ = > ,6 ,2 mn m 所以 或 ⎩⎨ ⎧ = = ,2 ,3 n m ⎩⎨ ⎧ = = .1 ,6 n m 三．解 联立方程组 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = −+++= ,56 ,38)17(2 x y axaxy 消去 得 y axax −+++ 38)17(2 x 56= ，即 056)38()17( 23 =−−+++ xaxax ，分解因式得 [ ] 056)18()1( 2 =+++− xaxx （1） 显然 是方程（1）的一个根，（1，56）是两个函数的图象的一个交点. 11 =x 因为a是正整数，所以关于 x 的方程 （2） 056)18(2 =+++ xax 的判别式 ，它一定有两个不同的实数根. 0224)18( 2 >−+=Δ a 而两个函数的图象的交点都是整点，所以方程（2）的根都是整数，因此它的判别式 应该是一个完全平方数. 224)18( 2 −+=Δ a 设 （其中 为非负整数），则 ，即 22 224)18( ka =−+ k 224)18( 22 =−+ ka 224)18)(18( =−+++ kaka . 显然 与ka ++18 ka −+18 的奇偶性相同，且 1818 ≥++ ka ，而 8284562112224 ×=×=×= ，所以 ⎩⎨ ⎧ =−+ =++ ,218 ,11218 ka ka 或 或 解得 或 或 ⎩⎨ ⎧ =−+ =++ ,418 ,5618 ka ka ⎩⎨ ⎧ =−+ =++ ,818 ,2818 ka ka ⎩⎨ ⎧ = = ,55 ,39 k a ⎩⎨ ⎧ = = ,26 ,12 k a ⎩⎨ ⎧ = = ,10 ,0 k a 而 是正整数，所以只可能 或 a ⎩⎨ ⎧ = = ,55 ,39 k a ⎩⎨ ⎧ = = .26 ,12 k a 当 时，方程（2）即 ，它的两根分别为39=a 056572 =++ xx 1− 和 ，此时两个56− 函数的图象还有两个交点 和)56,1( −− )1,56( −− . 当 时，方程（2）即 ，它的两根分别为12=a 056302 =++ xx 2− 和 ，此时两 个函数的图象还有两个交点 和 28− )28,2( −− )2,28( −− . 第二试 （C） 三．解 联立方程组 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ −= −+++= ,311 ,710)232(2 2 x ay axaxy 消去 得 y axax 710)232(2 2 −+++ ＝11 3a x − ，即 0113)710()232(2 23 =−+−+++ axaxax ，分解因式得 [ ] 0311)12()12( 2 =−+++− axaxx （1） 如果两个函数的图象有公共整点，则方程（1）必有整数根，从而关于 x 的一元二次方 程 0311)12(2 =−+++ axax （2） 必有整数根，所以一元二次方程（2）的判别式Δ应该是一个完全平方数， 而 . 224)18(10036)311(4)12( 222 −+=++=−−+=Δ aaaaa 所以 应该是一个完全平方数，设 （其中 为非负 整数），则 ，即 224)18( 2 −+a 22 224)18( ka =−+ k 224)18( 22 =−+ ka 224)18)(18( =−+++ kaka . 显 然 与 的 奇 偶 性 相 同 ， 且ka ++18 ka −+18 1818 ≥++ ka ， 而 8284562112224 ×=×=×= ，所以 ⎩⎨ ⎧ =−+ =++ ,218 ,11218 ka ka 或 或 解得 或 或 ⎩⎨ ⎧ =−+ =++ ,418 ,5618 ka ka ⎩⎨ ⎧ =−+ =++ ,818 ,2818 ka ka ⎩⎨ ⎧ = = ,55 ,39 k a ⎩⎨ ⎧ = = ,26 ,12 k a ⎩⎨ ⎧ = = ,10 ,0 k a 而 是正整数，所以只可能 或 a ⎩⎨ ⎧ = = ,55 ,39 k a ⎩⎨ ⎧ = = .26 ,12 k a 当 时，方程（2）即 ，它的两根分别为 2 和 ，易求得两39=a 0106512 =−+ xx 53− 个函数的图象有公共整点 和)53,2( − )2,53(− . 当 时，方程（2）即 ，它的两根分别为 1 和 ，易求得两 个函数的图象有公共整点 和 12=a 025242 =−+ xx 25− )25,1( − )1,25(− .