2006年全国
初中数学
初中数学教师发展规划初中数学教师年度考核初中数学的教学计划初中数学有理数计算题初中几何辅助线秘籍
联赛试
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
第一试
一、选择题（每小题7分，共42分）
1.已知四边形ABCD为任意凸四边形，E、F、G、H分别是边AB、BC、EF、GH、
CD、DA的中点，用S,P分别
表
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示四边形的面积和周长；S1,P1分别表示四边形的
面积和周长.设 ,
1S
SK = ,
1
1 P
PK = 则下面关于K、K1的说法中，正确的是（ ）.
A. K、K1均为常值 B. K为常值，K1不为常值
C. K1为常值，K不为常值 D. K、K1均不为常值
2.已知m为实数，且sinα、cosα是关于x的方程 3x2-mx+1=0的两根.则sin4α+cos4α
的值为（ ）.
A. 29 B. 13 C. 79 D. 1
3.关于x的方程 a
x
x =− |1|
2
仅有两个不同的实根，则实数a的取值范围是（ ）. a
A. a> 0 B. a≥4 C. 2
0， ，则实数a、b、c的大小关系是（ ）. ,02 22 =+− caba 2abc >
A.b>c> a B. c>a>b C. a>b>c D. b>a>c
5. a、b为有理数，且满足等式 324163 ++⋅=+ba ,则a+b的值为（ ）.
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
6.将满足条件“至少出现一个数字0且是4的倍数的正整数”从小到大排成一列数：
20，，40，60，80，100，104，….则这列数中的笫158个数为（ ）.
A. 2000 B. 2004 C. 2008 D. 2012
二、填空题（每小题7分，共28分）
1.函数 的图像与x轴交点的横坐标之和等于________. 2008||20062 +−= xxy
2.在等腰RtΔABC中，AC=BC=1,M是BC的中点，CE⊥AM于点E，交AB于点F.则
SΔMBF=________.
3.使 16)8(4 22 +−++ xx 取最小值的实数x的值为________.
4.在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点坐标分别为O (0,0)，A(100,0)，B
(100,100)，C (0,100). 若正方形OABC内部（边界及顶点除外）一格点P满足：
SΔPOA·SΔPBC= SΔPAB·SΔPOC, 就称格点为“好点”.则正方形内部好点的个数为
_______.
(注：所谓格点，是指在平面直角坐标系中横、纵坐标均为整数的点.)
第二试(A)
一、（20分）已知关于x的一元二次方程
无相异两实根.则满足条
件的有序正整数组（a，b）有多少组?
0)994()32(2 222 =++++++ baxbax
二、（25分）如图，D为等腰ΔABC底边BC的中点，E、F分别
为AC及其延长线上的点.已知∠EDF=90º，ED= DF =1，AD=5，
求线段BC的长.
三、（25分）如图，在平行四边形ABCD中，∠A的平分线
分别与BC、DC的延长线交于点E、F，点O、O1分别为ΔCEF、
ΔABE的外心.求证：
（1）O、E、O1三点共线；
（2）∠OBD=
2
1 ∠ABC.
第二试（B）
一、（20分）同A卷第一题.
二、（25分）同A卷第二题.
三、（25分）如图，在平行四边形ABCD中，∠A的平分线
分别与BC、DC的延长线交于点E、F，点O、O1分别为
ΔCEF、ΔABE的外心.
（1）求证：O、E、O1三点共线；
（2）若
2
1 ∠ABC=70º，求∠OBD的度数.
第二试（C）
一、（20分）同A卷第二题.
二、（25分）同B卷第三题.
三、（25分）设p为正整数，且p≥2.在平面直角坐标系中，点A (0,p)和点B (p,0)
的连线段通过p-1个格点， C1 (1, p−1)，…， Ci(i,p−i)，…，Cp−1 (p−1,1). 证明：
（1）若p为质数，则在原点(0，0)与点Ci(i，p−i) 的连线段OCi（i=1，2，…，p−1）
上除端点外无其他格点；
（2）若在原点O(0，0)与点Ci(i，p−i)的连线段OCi（i=1，2，…，p−1）上除端点
外无其他格点，则p为质数.
2006年全国初中数学联赛
答案
八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案
第一试
一、选择题
1.B
如图，易知 SΔAEH = 4
1 SΔABD, SΔCFG= 4
1 SΔCBD， 于是 SΔAEH+ SΔCFG = 4
1 SABCD, 同
理，故SΔBEF+ SΔDHG = 4
1 SABCD,故SΔEFGH = 2
1 SABCD即 k =2为常值.
又易知，P1=AC+BD,
特别地，若取邻边长分别为1、2的矩形，则k1= ;
5
3
再取邻边长分别为1、的矩形，则k1= ,10
4 故k不是常值.
2. C
由根与系数的关系知 sinα·cosα =
3
1 ，
则有sin4α+cos4α = (sin2α+cos2α)2 -2(sinα·cosα)2 = ,
9
7
3. D
当a<0时，无解； 当a=0时，x=0; 不合题意；当a>0时，原方程化为 a
x
x ±=−1
2
整理得 x2-ax+a=0（1）或x2+ax-a=0（2）
因为方程（2）的判别式⊿2=a2+4a>0, 即方程（2）有两个不同实根。
又因为原方程仅有两个不同实根，故必有方程（1）的判别式⊿1=a2-4a<0,
从而，0< a <4.
4.A
由bc>a2及 b>0知c>0；由2ab=a2+c2及 b>0知a>0
由a2-2ab+c2 = 0 b2-c2 =(a−b)2 ≥0，从而b≥c （*）
若b=c，由a2-2ab+c2 = 0知a=b，从而a=b=c与bc>a2矛盾，故b>c
又由b2>bc>a2，故b> a；由a2+c2= 2ab>2a2，故c>a
从而b>c> a
5. B
因为 333612)31(1632416 +=+=++⋅=++⋅
∴ 333 +=+ ba , 即 03)1()3( =−+− ba ,∵ a,b为有理数，∴a=3,b=1,a+b=4.
6. C
在正整数中，是4的倍数为末两位是4的倍数，其中包含数字0的情况“00，04，
08，20，40，60，80”和不包含数字0的18种情形.
显然，满足条件的两位数仅有4个；满足条件三数共9×7=63个；满足条件且
千数为1的四位数：共有7×10+18×1=88个，
因为4+63+88=155，则从小到大第155个满足条件的数为1980，
下面满足条件的数依次为2000，2004，2008. 故这列数中的第158个数为2008.
二 填空题
1. 0
原问题可转化为求方程x2-2006| x |+2008=0 ①的所有实根之和。若实数x0为方
程①的根，则其相反数-x0也为方程①的根，即与x轴交点的横坐标之和等于0.
2.
12
1
如图，过B作BG⊥BC交CF延长线于G，易证RtΔACM≌RtΔCBG
故BG=CM，SΔCBG = SΔACM= 2
1 SΔABC, 又易证ΔBFM≌ΔBFG
故SΔMBF = SΔBMF= SΔCMF , 从而SΔBGF = 3
1 SΔCBG = 6
1 SΔABC = 12
1
3.
3
8
在直角坐标系中，设A (0,−2),B (8,4),P (x,0)，则|PA|= 42 +x ，|PB|= 16)8( 2 +− x
所以|PA|+|PB|≥|AB|= 1068 22 =+ 当且仅当A、P、B三点共
线时等号成立, 即当且仅当A、P、B三点共线时原式取最小值.
此时如图易知 ΔBCP∽ΔAOP,故有 2
2
4 ===
AO
BC
PO
CP
从而 OP=
3
1 OC=
3
8 ,即原式取最小值式, x =
3
8
4. 197
如图,过点P作PD⊥OA于D, 作PE⊥AB于E, 作PF⊥BC
于F, 作PG⊥OC于G.
易知PF+PD = 100, PE+PG = 100
由 SΔPOA ·SΔPBC = SΔPAB ·SB ΔPOC 知PD·PF=PE·PG
即 PD(100-PD) = PG(100-PG)
化简为(PD-PG) (PD+PG-100)=0
故 PD=PG 或 PD+PG=100， 即PD=PG 或 PG=PF
于是，P为对角线OB上的点或P为对角线AC上的点
同理，可以知道当P为对角线OB上的点或P为对角线AC上的点时，满足SΔPOA
·SΔPBC = SΔPAB ·SB ΔPOC
因此，点P为“好点”当且仅当P为对角线OB上的点或对角线AC内部的格点，
易知OB内部有99个“好点”, PA内部也有99个“好点”,又易知OB与AC的交点也
为“好点”, 于是,满足条件的“好点”的个数为 99+99-1=197个.
第二试(A卷)
一．∵ 无相异两实根， 0)994()32(2 222 =++++++ baxbax
所以， 化简为 0)994(4)]32(2[ 222 ≤++−++=Δ baba 45632 ≤++ baab ,
∴ ∵ a,b 为正整数, ∴,54)32)(3( ≤++ ba ,
4
54
3
5432 ≤+≤+ ab ∴2b+3≤13, 故b≤5
当b=1时, ,
5
543≤+a 故a≤7, ∴符合条件的有序正整数对共有7组;
当b=2时, ,
7
543≤+a 故a≤4, ∴符合条件的有序正整数对共有4组;
当b=3时, ,
9
543≤+a 故a≤3, ∴符合条件的有序正整数对共有3组;
当b=4时, ,
11
543≤+a 故a≤1, ∴符合条件的有序正整数对共有1组;
当b=5时, ,
13
543≤+a 故a≤1, ∴符合条件的有序正整数对共有1组;
综上所述，符合条件的有序正整数组共有7+4+3+1+1=16组.
二． 解：如图，过E作EG⊥AD于G，过F作FH⊥ AD于H
则 DFHRtEDGRtDFHEDG Δ≅Δ∴∠=∠ ,
设 EG =x，DG =y，则 DH=x，FH=y，且 )1(122 =+ yx
AEGRtΔQ ∽ 则AFHRtΔ
AH
AG
FH
EG = 即
x
y
y
x
+
−=
5
5
化简为 ，由(1)、(2)知 )2()(522 xyyx −=+ )3(
5
1=− xy
由 知)(2)()( 2222 yxxyyx +=−++ 2)( yx +
25
49
25
12 =−= 即有 )4(
5
7=+ yx
由(3)、(4)知
5
4,
5
3 == yx 又∵ AEGRtΔ ∽
AG
EG
AD
CDACDRt =∴Δ ,
故
7
5
5
45
5
3
5 =
−
×=⋅=
AG
EGADCD ， 所以
7
102 == CDBC 。
三．解：(1)连接OE，OF，O1A，O1E， ∵ ABCD为平行四边形, ECFABE ∠=∠∴
又 点O、O1分别为△CEF、△ABE的外心，OE=DF．O1A=O1E
=∠=∠=∠ ABEECFEOF 22 ,1EAO∠ 于是 OEFΔ ∽ EAO1Δ
11, OEOAEOOEF 、、∴∠=∠∴ 三点共线．
(2)解法一：连接 OD，OC, ∵ ABCD 为平行四边形
CFCECFEBAFDAECEF =∴∠=∠=∠=∠∴ ,
又∵点 O 为△CEF 的外心 OCFOCEOCOFOE Δ≅Δ∴==∴ ,
OCDOEBOCFOFCOEC ∠=∠∴∠=∠=∠∴ ,
又 DCABEBAEBEADBAE ==∴∠=∠=∠ ,
OEBOCD Δ≅Δ∴ OBODOBEODC =∠=∠∴ , , ODBOBDOBCODC ∠=∠∠=∠∴ ,
BDAODCCBDOBCOBD ∠+∠=∠+∠=∠∴ OBDABCBDOADC ∠−∠=∠−∠=
ABCOBD ∠=∠∴
2
1
解法二：连接 OD，OC, ∵ABCD 为平行四边形
CFCECFEBAFDAECEF =∴∠=∠=∠=∠∴ ,
又 ∵ 点 O 为△CEF 的外心 OCFOCEOCOFOE Δ≅Δ∴==∴ ,
,, OCFOFCOECOCFOCE ∠=∠=∠∠=∠∴ OCFOCEOCOFOE Δ≅Δ∴==∴ ,
,, OCFOFCOECOCFOCE ∠=∠=∠∠=∠∴ OCDOEB ∠=∠∴
DCABEBAEBEADBAE ==∴∠=∠=∠ , OEBOCD Δ≅Δ∴ , OBEODC ∠=∠∴
∴O，B，D，C 四点共圆, ABCFCBOCFOBD ∠=∠=∠=∠∴
2
1
2
1
第二试(B卷)
三 (1)如图，连接 ., 11 EOAOOFOE 、、
因为四边形 ABCD 为平行四边形，所以， .ECFABE ∠=∠
又因为点O、O1分别为△CEF、△ ABE的外心，所以，
,, 11 EOAOOFOE == .22 1EAOABEECFEOF ∠=∠=∠=∠
于是，有△OEF ∽△O1EA, 故 ,1AEOOEF ∠=∠ 所以，O、E、Ol三点共线．
(2)解法一：连接 OD、OC.因为四边形 ABCD 为平行四边形，
所以， .CFEBAFDAECEF ∠=∠=∠=∠ 故 CE=CF.
又因为点 D 为△CEF 的外心，所以，OE=OF=OC．
则 有,OCFOCE Δ≅Δ .OCFOFCOEC ∠=∠=∠
故 又.OCDOEB ∠=∠ ,AEBEADBAE ∠=∠=∠ 则 EB=AB=DC. 因 此 ，
.OEBOCD Δ≅Δ
所以， ,, OBODOBEODC =∠=∠ ,, ODBOBDOBCODC ∠=∠∠=∠
=∠+∠=∠+∠=∠ BDAODCCBDOBCOBD .OBDABCBDOADC ∠−∠=∠−∠
故 .
2
1 ABCOBD ∠=∠ 又因为 ,70°=∠ABC 所以， .35°=∠OBD
解法二：同上，有 故 O、B、D、C 四点共圆，则 ,OBEODC ∠=∠
.
2
1
2
1
ABCFCBOCFOBD ∠=∠=∠=∠ 又因为 ,70°=∠ABC 所以， .35°=∠OBD
第二试(C卷)
三. (1)用P（a，b）表示△OAB内的格点，a、b为正整数．假
设结论不成立，则点P位于某条线段OCi内部．如图，
过点P作PE⊥OB于点E,过点Ci作CiF⊥OB于点F．
由△OEP∽△OFCi, 知 ,i
ip
a
b −=
其中 易知.11 −≤≤ pi .1,1 ipbia −≤≤≤≤ 由 ,
i
ip
a
b −= 知 ,)( apiba =+ 从而
因为p为质数，且⋅api | ,11 −≤≤ pi 则i与p互质．从而， 故 ,| ai ,ai ≤
这与 矛盾．所以，假设不成立．从而原结论成立． ia <
(2)假设结论不成立，即p为合数，故p=xy，其中 .Nyx ∈、 且 .1,2 −≤≤ pyx
因为△OAB内部的格点的横、纵坐标之和可以是从2到p-1之间的任何整数，故必
存在一格点P(a,b),满足 .于是，xba =+ .)( pxyyba ==+ 即 ⋅=+ pbyay
因此．点 必是),( byay ),1,1(1 −pC )1,1(,),2,2( 12 −− − pCpC pL 中的一个点．设为
⋅− ),( ipiCi 从而，有 ., ipbyiya −== 故 ⋅−= i
ip
a
b
所以，点 在线段OCi内部．即在线段OC上除端点外还有其他格点，这与已
知矛盾．故原结论成立．
),( baP
浙公网安备 33021202002483