TheStandardizationOfficewasrevisedontheafternoonofDecember13,2020因式分解的种方法凑因式方法因式分解的16种方法因式分解没有普遍的方法,初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。而在竞赛上,又有拆项和添减项法,分组分解法和十字相乘法,待定系数法,双十字相乘法,对称多项式轮换对称多项式法,余数定理法,求根公式法,换元法,长除法,除法等。 注意三原则 1分解要彻底 2最后结果只有小括号 3最后结果中多项式首项系数为正(例如:)分解因式技巧 1.分解因式与整式乘法是互为逆变形。 2.分解因式技巧掌握: ①等式左边必须是多项式;②分解因式的结果必须是以乘积的形式
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示; ③每个因式必须是整式,且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数; ④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。 注:分解因式前先要找到公因式,在确定公因式前,应从系数和因式两个方面考虑。基本方法⑴提公因式法 各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。 如果一个多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法。 具体方法:当各项系数都是整数时,公因式的系数应取各项系数的最大公约数;字母取各项的相同的字母,而且各字母的指数取次数最低的;取相同的多项式,多项式的次数取最低的。如果多项式的第一项是负的,一般要提出“-”号,使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时,多项式的各项都要变号。提公因式法基本步骤: (1)找出公因式; (2)提公因式并确定另一个因式: ①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母;②第二步提公因式并确定另一个因式,注意要确定另一个因式,可用原多项式除以公因式,所得的商即是提公因式后剩下的一个因式,也可用公因式分别除去原多项式的每一项,求的剩下的另一个因式; ③提完公因式后,另一因式的项数与原多项式的项数相同。 口诀:找准公因式,一次要提净;全家都搬走,留1把家守;提负要变号,变形看奇偶。 例如:-am+bm+cm=-m(a-b-c); a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。 注意:把2+变成2(+)不叫提公因式 ⑵公式法 如果把乘法公式反过来,就可以把某些多项式分解因式,这种方法叫公式法。 平方差公式:=(a+b)(a-b);完全平方公式:±2ab+= 注意:能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式,另一项是这两个数(或式)的积的2倍。 立方和公式:=(a+b)(-ab+); 立方差公式:=(a--b)(+ab+); 完全立方公式:±3b+3a±=(a±b). 公式:++-3abc=(a+b+c)(++-ab-bc-ca) 例如:+4ab+4=(a+2b)。⑶分组分解法 分组分解是解方程的一种简洁的方法,我们来学习这个知识。 能分组分解的方程有四项或大于四项,一般的分组分解有两种形式:二二分法,三一分法。 比如: ax+ay+bx+by=a(x+y)+b(x+y)=(a+b)(x+y) 我们把ax和ay分一组,bx和by分一组,利用乘法分配律,两两相配,立即解除了困难。 同样,这道题也可以这样做。 ax+ay+bx+by =x(a+b)+y(a+b) =(a+b)(x+y) 几道例题: 1.5ax+5bx+3ay+3by 解法:=5x(a+b)+3y(a+b) =(5x+3y)(a+b) 说明:系数不一样一样可以做分组分解,和上面一样,把5ax和5bx看成整体,把3ay和3by看成一个整体,利用乘法分配律轻松解出。 2.x-+x-1 解法:=(x-)+(x-1) =(x-1)+(x-1) =(x-1)(+1) 利用二二分法,提公因式法提出x2,然后相合轻松解决。 3.-x-y-y 解法:=(-y)-(x+y) =(x+y)(x-y)-(x+y) =(x+y)(x-y-1) 利用二二分法,再利用公式法a-b=(a+b)(a-b),然后相合解决。⑷十字相乘法 这种方法有两种情况。 ①+(p+q)x+pq型的式子的因式分解 这类二次三项式的特点是:二次项的系数是1;常数项是两个数的积;一次项系数是常数项的两个因数的和。因此,可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解:+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q). ②k+mx+n型的式子的因式分解 如果有k=ac,n=bd,且有ad+bc=m时,那么kx+mx+n=(ax+b)(cx+d).图示如下:ad例如:因为1-3×× cd72-3×7=-21,1×2=2,且2-21=-19, 所以7-19x-6=(7x+2)(x-3). 十字相乘法口诀:首尾分解,交叉相乘,求和凑中⑸裂项法 这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项(或几项),使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解。这钟方法的实质是分组分解法。要注意,必须在与原多项式相等的原则下进行变形。 例如:bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b).⑹配方法 对于某些不能利用公式法的多项式,可以将其配成一个完全平方式,然后再利用平方差公式,就能将其因式分解,这种方法叫配方法。属于拆项、补项法的一种特殊情况。也要注意必须在与原多项式相等的原则下进行变形。 例如:+3x-40 =+3x+ = =(x+8)(x-5).⑺应用因式定理 对于多项式f(x)=0,如果f(a)=0,那么f(x)必含有因式x-a. 例如:f(x)=+5x+6,f(-2)=0,则可确定x+2是+5x+6的一个因式。(事实上,+5x+6=(x+2)(x+3).) 注意:1、对于系数全部是整数的多项式,若X=q/p(p,q为互质整数时)该多项式值为零,则q为常数项约数,p最高次项系数约数; 2、对于多项式f(a)=0,b为最高次项系数,c为常数项,则有a为c/b约数⑻换元法 有时在分解因式时,可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数,然后进行因式分解,最后再转换回来,这种方法叫做换元法。 注意:换元后勿忘还元. 例如在分解(+x+1)(+x+2)-12时,可以令y=+x,则 原式=(y+1)(y+2)-12 =y+3y+2-12=y+3y-10 =(y+5)(y-2) =(+x+5)(+x-2) =(+x+5)(x+2)(x-1).⑼求根法 令多项式f(x)=0,求出其根为x1,x,x3,……xn,则该多项式可分解为f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn). 例如在分解2x^4+7x^3-2x^2-13x+6时,令2x^4+7x^3-2x-13x+6=0, 则通过综合除法可知,该方程的根为,-3,-2,1. 所以2x^4+7x^3-2-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1).⑽图象法 令y=f(x),做出函数y=f(x)的图象,找到函数图像与X轴的交点x1,x2,x3,……xn,则多项式可因式分解为f(x)=f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn). 与方法⑼相比,能避开解方程的繁琐,但是不够准确。 例如在分解x^3+2-5x-6时,可以令y=x^3;+2-5x-6. 作出其图像,与x轴交点为-3,-1,2 则x^3+2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2).⑾主元法 先选定一个字母为主元,然后把各项按这个字母次数从高到低排列,再进行因式分解。⑿特殊值法 将2或10代入x,求出数p,将数p分解质因数,将质因数适当的组合,并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式,将2或10还原成x,即得因式分解式。 例如在分解x^3+9+23x+15时,令x=2,则 x^3+9+23x+15=8+36+46+15=105, 将105分解成3个质因数的积,即105=3×5×7. 注意到多项式中最高项的系数为1,而3、5、7分别为x+1,x+3,x+5,在x=2时的值, 则x^3+9+23x+15可能等于(x+1)(x+3)(x+5),验证后的确如此。⒀待定系数法 首先判断出分解因式的形式,然后设出相应整式的字母系数,求出字母系数,从而把多项式因式分解。 例如在分解x^4-x^3-5-6x-4时,由分析可知:这个多项式没有一次因式,因而只能分解为两个二次因式。 于是设x^4-x^3-5-6x-4=(+ax+b)(+cx+d) =x^4+(a+c)x^3+(ac+b+d)+(ad+bc)x+bd 由此可得a+c=-1, ac+b+d=-5, ad+bc=-6, bd=-4. 解得a=1,b=1,c=-2,d=-4. 则x^4-x^3-5x-6x-4=(x+x+1)(x-2x-4). ⒁双十字相乘法 双十字相乘法属于因式分解的一类,类似于十字相乘法。 双十字相乘法就是二元二次六项式,启始的式子如下: ax+bxy+cy+dx+ey+f x、y为未知数,其余都是常数 用一道例题来说明如何使用。 例:分解因式:x+5xy+6y+8x+18y+12. 分析:这是一个二次六项式,可考虑使用双十字相乘法进行因式分解。 解: 原式=(x+2y+2)(x+3y+6). 双十字相乘法其步骤为: ①先用十字相乘法分解2次项,如十字相乘图①中x+5xy+6y=(x+2y)(x+3y); ②先依一个字母(如y)的一次系数分数常数项。如十字相乘图②中6y+18y+12=(2y+2)(3y+6); ③再按另一个字母(如x)的一次系数进行检验,如十字相乘图③,这一步不能省,否则容易出错。多项式因式分解的一般步骤 ①如果多项式的各项有公因式,那么先提公因式; ②如果各项没有公因式,那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解; ③如果用上述方法不能分解,那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解; ④分解因式,必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。 也可以用一句话来概括:“先看有无公因式,再看能否套公式。十字相乘试一试,分组分解要合适。” 几道例题 1.分解因式(1+y)-2x(1+y)+x(1-y).解:原式=(1+y)+2(1+y)x(1-y)+x(1-y)-2(1+y)x(1-y)-2x(1+y)(补项) =[(1+y)+x(1-y)]-2(1+y)x(1-y)-2x(1+y)(完全平方) =[(1+y)+x(1-y)]-(2x) =[(1+y)+x(1-y)+2x][(1+y)+x(1-y)-2x] =(x-xy+2x+y+1)(x-xy-2x+y+1) =[(x+1)-y(x-1)][(x-1)-y(x-1)] =(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y). 2.求证:对于任何实数x,y,下式的值都不会为33: 解:原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5) =x^4(x+3y)-5xy(x+3y)+4y^4(x+3y) =(x+3y)(x^4-5xy+4y^4) =(x+3y)(x-4y)(x-y) =(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y). 当y=0时,原式=x^5不等于33;当y不等于0时,x+3y,x+y,x-y,x+2y,x-2y互不相同,而33不能分成四个以上不同因数的积,所以原命题成立。 3..△ABC的三边a、b、c有如下关系式:-c+a+2ab-2bc=0,求证:这个三角形是等腰三角形。 分析:此题实质上是对关系式的等号左边的多项式进行因式分解。 证明:∵-c+a+2ab-2bc=0, ∴(a+c)(a-c)+2b(a-c)=0. ∴(a-c)(a+2b+c)=0. ∵a、b、c是△ABC的三条边, ∴a+2b+c>0. ∴a-c=0, 即a=c,△ABC为等腰三角形。 4.把-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1)分解因式。 解:-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1) =-6x^n×y^(n-1)(2x^n×y-3x^2y^2+1).四个注意 初中的数学主要是分代数和几何两大部分,两者在
中考
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中所占的比例,代数略大于几何代数主要有以下几点:1.有理数的运算,主要讲有理数的三级运算(加减乘除和乘方开方)在这里要注意数字和字母的符号意识,就是,不要受小学数字的影响,一看见字母就不会做题了。2.整式的三级运算,注意符号意识的培养,还有就是因式分解,这和整式的乘法是互换的,注意像平方差公式和完全平方公式的正用、逆用和变形用。3.方程,会一元一次、二元一次、三元一次、一元二次四种方程的解法和应用,记住,方程是一种方法,是一种解题的手段。4.函数,会识别一次函数、二次函数、反比例函数的图像,记住他们的特征,要会根据条件来应用。尤其要注意二次函数,这是中考的重点和难点。应用题里会拿它来出一道难题的几何主要有以下几点:1.识别各种平面图形和立体图形,这你应该非常熟悉。2.图形的平移、旋转和轴对称,这个考察你的空间想象的能力,多做一些题。3.三角形的全等和相似,要会证明,注意要有完整的过程和严密的步骤,背过证明三角形全等的五种方法和证明相似的四种方法;还有像等腰三角形、直角三角形和黄金三角形的性质,要会应用,这在证明题中会有很大的帮助。4.四边形,把握好平行四边形、长方形、正方形、菱形和梯形的概念,选择体里会拿着它们之间的微小差异而大做文章,注意它们的判定和性质,证明题里也会考到。5.圆,我这里没有细学,因为这里不是我们中考的重点,但是圆的难度会很大,它的
知识点
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很多、很碎,圆的难题就是由许许多多细小的点构成的。