兴泰高补中心培尖讲义（4）班级姓名1．已知定义在R上的奇函数满足，且在区间[0，2]上是增函数.若方程在区间[-8，8]上有四个不同的根则.2．已知函数.项数为27的等差数列满足，且公差.若，则当=____________时，.3．定义在上的偶函数满足：，且在上是增函数，下面关于的判断：①是周期函数；②=0；③在上是减函数；④在上是减函数.其中正确的判断是（把你认为正确的判断都填上）.4．是定义在上的函数，且满足：①对任意，恒有>0；②对任意，恒有,则关于函数有:⑴对任意，都有；⑵对任意，都有；⑶对任意，都有；⑷对任意，都有上述四个命
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中正确的有.5．对a,bR,记max（a,b）＝，求函数f（x）＝max（|x＋1|,|x－2|）（xR）的最小值是 .6．设定义在的函数同时满足以下条件：①；②；③当时，。则_____________.7．已知函数是定义域为R的偶函数，其图像均在x轴的上方，对任意的，都有，且，又当时，其导函数恒成立。（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）解关于x的不等式：，其中8．已知函数满足下列条件：①函数的定义域为[0，1]；②对于任意；③对于满足条件的任意两个数（1）证明：对于任意的；（2）证明：于任意的；（3）不等式对于一切x∈[0，1]都成立吗？试说明理由.9．已知集合是满足下列性质的函数的全体,存在非零常数,对任意,有成立.(1)函数是否属于集合?说明理由;(2)设,且,已知当时,,求当时,的解析式.10．设M是由满足下列条件的函数构成的集合：“①方程有实数根；②函数的导数满足”(Ⅰ)判断函数是否是集合M中的元素，并说明理由；(Ⅱ)若集合M中的元素具有下面的性质：“若的定义域为D，则对于任意，都存在，使得等式成立”试用这一性质证明：方程只有一个实数根；(Ⅲ)设是方程的实数根，求证：对于定义域中的任意的，当且时，11．通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间。讲座开始时，学生兴趣激增；中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散。分析结果和实验
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明，用f(x)表示学生掌握和接受概念的能力，x表示提出概念和讲授概念的时间（单位：分），可有以下的关系式：(1)开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多少时间？(2)一个数学难题，需要55(或以上)的接受能力，上课开始30分钟内,求能达到该接受能力要求的时间共有多少分钟?(3)如果每隔5分钟测量一次学生的接受能力，再计算平均值M=，它能高于45吗？兴泰高补中心培尖讲义（4）2010.121．已知定义在R上的奇函数满足，且在区间[0，2]上是增函数.若方程在区间[-8，8]上有四个不同的根则.-82．已知函数.项数为27的等差数列满足，且公差.若，则当=____________时，.143．定义在上的偶函数满足：，且在上是增函数，下面关于的判断：①是周期函数；②=0；③在上是减函数；④在上是减函数.其中正确的判断是（把你认为正确的判断都填上）①、②、③4．是定义在上的函数，且满足：①对任意，恒有>0；②对任意，恒有,则关于函数有:⑴对任意，都有；⑵对任意，都有；⑶对任意，都有；⑷对任意，都有上述四个命题中正确的有.(2)(4)5．对a,bR,记max（a,b）＝，求函数f（x）＝max（|x＋1|,|x－2|）（xR）的最小值是 .EQ\f(3,2)6．设定义在的函数同时满足以下条件：①；②；③当时，。则_____________.EQ\r(2)－1.7．已知函数是定义域为R的偶函数，其图像均在x轴的上方，对任意的，都有，且，又当时，其导函数恒成立。（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）解关于x的不等式：，其中解：(1)由f(m·n)＝[f(m)]n得：f(0)＝f(0×0)＝[f(0)]0∵函数f(x)的图象均在x轴的上方,∴f(0)＞0,∴f(0)＝1……3分∵f(2)＝f(1×2)＝[f(1)]2＝4，又f(x)＞0∴f(1)＝2,f(－1)＝f(1)＝2……3分(2)又当时，其导函数恒成立，∴在区间上为单调递增函数∴①当时，；②当时，，∴；③当时，，∴综上所述：当时，；当时，；当时，。8．已知函数满足下列条件：①函数的定义域为[0，1]；②对于任意；③对于满足条件的任意两个数（1）证明：对于任意的；（2）证明：于任意的；（3）不等式对于一切x∈[0，1]都成立吗？试说明理由.（1）证明：对于任意的即对于任意的……………………………………5分（2）证明：由已知条件可得所以对于任意的…………………………………………10分（3）解：取函数则显然满足题目中的（1），（2）两个条件，任意取两个数即不等式9．已知集合是满足下列性质的函数的全体,存在非零常数,对任意,有成立.(1)函数是否属于集合?说明理由;(2)设,且,已知当时,,求当时,的解析式.解:(1)假设函数属于集合,则存在非零常数,对任意,有成立,即:成立.令,则,与题矛盾.故.(2),且,则对任意,有,设,则,当时,,故当时,.10．设M是由满足下列条件的函数构成的集合：“①方程有实数根；②函数的导数满足”(Ⅰ)判断函数是否是集合M中的元素，并说明理由；(Ⅱ)若集合M中的元素具有下面的性质：“若的定义域为D，则对于任意，都存在，使得等式成立”试用这一性质证明：方程只有一个实数根；(Ⅲ)设是方程的实数根，求证：对于定义域中的任意的，当且时，解：(Ⅰ)易证函数满足条件①②，因此(Ⅱ)假设存在两个实根，则，不妨设，由题知存在实数，使得成立。∵，且，∴与已知矛盾，所以方程只有一个实数根(Ⅲ)不妨设，∵，∴为增函数，∴，又∵∴函数为减函数，∴，∴，即，∴11．通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间。讲座开始时，学生兴趣激增；中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散。分析结果和实验表明，用f(x)表示学生掌握和接受概念的能力，x表示提出概念和讲授概念的时间（单位：分），可有以下的关系式：(1)开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多少时间？(2)一个数学难题，需要55(或以上)的接受能力，上课开始30分钟内,求能达到该接受能力要求的时间共有多少分钟?(3)如果每隔5分钟测量一次学生的接受能力，再计算平均值M=，它能高于45吗？解：（1）0
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