二次函数知识点归纳
1.定义：一般地，如果
是常数，
，那么
叫做
的二次函数.
2.二次函数
的性质
（1）抛物线
的顶点是坐标原点，对称轴是
轴.
（2）函数
的图像与
的符号关系.
①当
时
抛物线开口向上
顶点为其最低点；
②当
时
抛物线开口向下
顶点为其最高点.
（3）顶点是坐标原点，对称轴是
轴的抛物线的解析式形式为
.
3.二次函数
的图像是对称轴平行于（包括重合）
轴的抛物线.
4.二次函数
用配方法可化成：
的形式，其中
.
5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①
；②
；③
；④
；⑤
.
6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.
①
的符号决定抛物线的开口方向：当
时，开口向上；当
时，开口向下；
相等，抛物线的开口大小、形状相同.
②平行于
轴（或重合）的直线记作
.特别地，
轴记作直线
.
7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数
相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.
8.求抛物线的顶点、对称轴的方法
（1）公式法：
，∴顶点是
，对称轴是直线
.
（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为
的形式，得到顶点为(
,
)，对称轴是直线
.
（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.
用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.
9.抛物线
中，
的作用
（1）
决定开口方向及开口大小，这与
中的
完全一样.
（2）
和
共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线
的对称轴是直线
，故：①
时，对称轴为
轴；②
（即
、
同号）时，对称轴在
轴左侧；③
（即
、
异号）时，对称轴在
轴右侧.
（3）
的大小决定抛物线
与
轴交点的位置.
当
时，
，∴抛物线
与
轴有且只有一个交点（0，
）：
①
，抛物线经过原点; ②
,与
轴交于正半轴；③
,与
轴交于负半轴.
以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在
轴右侧，则
.
10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：
函数解析式
开口方向
对称轴
顶点坐标
当
时
开口向上
当
时
开口向下
（
轴）
（0,0）
（
轴）
(0,
)
(
,0)
(
,
)
(
)
11.用待定系数法求二次函数的解析式
（1）一般式：
.已知图像上三点或三对
、
的值，通常选择一般式.
（2）顶点式：
.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
（3）交点式：已知图像与
轴的交点坐标
、
，通常选用交点式：
.
12.直线与抛物线的交点
（1）
轴与抛物线
得交点为(0,
).
（2）与
轴平行的直线
与抛物线
有且只有一个交点(
,
).
（3）抛物线与
轴的交点
二次函数
的图像与
轴的两个交点的横坐标
、
，是对应一元二次方程
的两个实数根.抛物线与
轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：
①有两个交点
抛物线与
轴相交；
②有一个交点（顶点在
轴上）
抛物线与
轴相切；
③没有交点
抛物线与
轴相离.
（4）平行于
轴的直线与抛物线的交点
同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为
，则横坐标是
的两个实数根.
（5）一次函数
的图像
与二次函数
的图像
的交点，由方程组
的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时
与
有两个交点; ②方程组只有一组解时
与
只有一个交点；③方程组无解时
与
没有交点.
（6）抛物线与
轴两交点之间的距离：若抛物线
与
轴两交点为
，由于
、
是方程
的两个根，故
二次函数图象的平移（左加右减）
1. 平移步骤：
方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式
，确定其顶点坐标
；
⑵ 保持抛物线
的形状不变，将其顶点平移到
处，具体平移方法如下：
2. 平移规律
在原有函数的基础上“
值正右移，负左移；
值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．
方法二：
⑴
沿
轴平移:向上（下）平移
个单位，
变成
（或
）
⑵
沿轴平移：向左（右）平移
个单位，
变成
（或
）
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