2011湖南郴州中考数学试题-解析版

2011年湖南省郴州市中考 数学试卷 二年级数学试卷下载贵阳市八年级数学期末学前班上数学试卷高三数学试卷分析教案八年级上册数学试卷 湖南省郴州市2011年中考数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1、（2011•郴州） 的绝对值是（　　） A、 B、 C、﹣2 D、2 2、（2011•郴州）函数 自变量x的取值范围是（　　） A、x≥﹣3 B、x≥3 C、x＞3 D、x＞﹣3 3、（2011•郴州）图中所给的三视图表示的物体是（　　） A、 B、 C、 D、 4、（2011•郴州）我市“十二五”规划耕地保有量指标为4050000亩，4050000用科学记数法表示正确的是（　　） A、4.05×107 B、4.05×106 C、4.05×105 D、405×105 5、（2011•郴州）如图，下列四组条件中．不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A、AB=DC，AD=BC B、AB∥DC，AD∥BC C、AB∥DC，AD=BC D、AB∥DC，AB=DC 6、（2011•郴州）下列计算，正确的是（　　） A、x2+x3=x5 B、x2•x3=x6 C、（x2）3=x5 D、2x﹣3x=﹣x 7、（2011•郴州）观察下列图案，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　） A、 B、 C、 D、 8、（2011•郴州）已知⊙O1与⊙O2外切．半径分别是R和r，圆心距O1O2=5，R和r的值是（　　） A、R=4，r=2 B、R=3，r=2 C、R=4，r=3 D、R=3，r=1 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9、分解因式：x2﹣4x+4=　_________　． 10、（2011•郴州）当x=　_________　时，分式 的值为0． 11、（2011•郴州）一元一次方程2x+4=0解是　_________　． 12、（2011•郴州）不等式组 的解集是　_________　． 13、写出一个不可能事件　_________　． 14、（2011•郴州）小明的讲义夹里放了大小相同的试卷共12页，其中语文4页，数学2页，英语6页，他随机地从讲义夹中抽出1页，抽出的试卷恰好是数学试卷的概率为　_________　． 15、（2011•郴州）小亮同学为了估计全县九 年级 六年级体育公开课教案九年级家长会课件PPT下载六年级家长会PPT课件一年级上册汉语拼音练习题六年级上册道德与法治课件 学生的人数，他对自己所在乡的人口和全乡九年级学生人数做了调查：全乡人口约2万，九年级学生人数为300．全县人口约35万，由此他推断全县九年级人数约为5250，但县教育局提供的全县九年级学生人数为3000，与估计数据有很大偏差，根据所学的统计知识，你认为产生偏差的原因是　_________　． 16、（2011•郴州）如图，已知∠1=∠2=90°，AD=AE，那么图中有　_________　对全等三角形． 三、解答题（本大题共6小题，每小题6分，共36分） 17、（2011•郴州）计算： ． 18、（2011•郴州）当t取什么值时，关于x的一元二次方程2x2+tx+2=0有两个相等的实数根？ 19、（2011•郴州）作图题：在方格纸中，将△ABC向右平移3个单位得到△A1B1C1，画出△A1B1C1． 20、（2011•郴州）求与直线y=x平行，并且经过点P（1，2）的一次函数的解析式． 21、（2011•郴州）如图是从《郴州市国民和社会发展第十二个五年规划纲要》中得到的郴州市2000～2010年城乡居民收入统计图，请根据统计图回答下列问题： （1）城镇居民人均收入超过12000元的有哪几年？ （2）十一年来，城镇居民人均收入与农民人均收入增长速度哪一个快？ （3）如果今年城镇居民人均收入与农民人居年收入分别以10%与8%的增长率增长，今年城镇居民人均收入与农民人居年收入各是多少？（结果保留整数） 22、（2011•郴州）如图，李军在A处测得风筝（C处）的仰角为30°，同时在A正对着风筝方向距A处30米的B处，李明测得风筝的仰角为60°．求风筝此时的高度．（结果保留根号） 四、证明题（本题8分） 23、（2011•郴州）在梯形ABCD中，AD∥BC，且AD=DC，对角线BD平分∠ABC． 求证：梯形ABCD是一个等腰梯形． 五、应用题（本题8分） 24、（2011•郴州）用洗衣粉洗衣物时，漂洗的次数与衣物中洗衣粉的残留量近似地满足反比例函数关系．寄宿生小红、小敏晚饭后用同一种洗衣粉各自洗一件同样的衣服，漂洗时，小红每次用一盆水（约10升），小敏每次用半盆水（约5升），如果她们都用了5克洗衣粉，第一次漂洗后，小红的衣服中残留的洗衣粉还有1.5克，小敏的衣服中残留的洗衣粉还有2克． （1）请帮助小红、小敏求出各自衣服中洗衣粉的残留量y与漂洗次数x的函数关系式； （2）当洗衣粉的残留量降至0.5克时，便视为衣服漂洗干净，从节约用水的角度来看，你认为谁的漂洗方法值得提倡，为什么？ 六、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分） 25、（2011•郴州）如图，Rt△ABC中，∠A=30°，BC=10cm，点Q在线段BC上从B向C运动，点P在线段BA上从B向A运动．Q、P两点同时出发，运动的速度相同，当点Q到达点C时，两点都停止运动．作PM⊥PQ交CA于点M，过点P分别作BC、CA的垂线，垂足分别为E、F． （1）求证：△PQE∽△PMF； （2）当点P、Q运动时，请猜想线段PM与MA的大小有怎样的关系？并证明你的猜想； （3）设BP=x，△PEM的面积为y，求y关于x的函数关系式，当x为何值时，y有最大值，并将这个值求出来． 26、（2011•郴州）如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别是（0，1）和（1，0），P是线段AB上的一动点（不与A、B重合），坐标为（m，1﹣m）（m为常数）． （1）求经过O、P、B三点的抛物线的解析式； （2）当P点在线段AB上移动时，过O、P、B三点的抛物线的对称轴是否会随着P的移动而改变； （3）当P移动到点（ ）时，请你在过O、P、B三点的抛物线上至少找出两点，使每个点都能与P、B两点构成等腰三角形，并求出这两点的坐标． 答案与评分 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1、（2011•郴州） 的绝对值是（　　） A、 B、 C、﹣2 D、2 考点 西游记考点整理二建建筑实务必背考点药理学考点整理部分幼儿综合素质考点归纳小学教育教学知识能力 ：绝对值。 专题：计算题。 分析：根据绝对值的定义即可求解． 解答：解：|﹣ |= ． 故选A． 点评：本题主要考查了绝对值的性质，负数的绝对值是它的相反数，比较简单． 2、（2011•郴州）函数 自变量x的取值范围是（　　） A、x≥﹣3 B、x≥3 C、x＞3 D、x＞﹣3 考点：函数自变量的取值范围。 分析：根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数即可求解． 解答：解：根据题意得x+3≥0，解得：x≥﹣3， 故选A． 点评：本题主要考查了函数自变量的范围的求法，一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 3、（2011•郴州）图中所给的三视图表示的物体是（　　） A、 B、 C、 D、 考点：由三视图判断几何体。 专题：应用题。 分析：可以知道，该物体应该是一个 俯视图为等边三角形的图形．我们在选项中找即可． 解答：解：经分析可知，该物体应该是一个的俯视图为等边三角形， 选项中只有B符合． 故选B． 点评：本题主要考查学习对图形的三视图的了解及学生的空间想象能力，难度适中． 4、（2011•郴州）我市“十二五”规划耕地保有量指标为4050000亩，4050000用科学记数法表示正确的是（　　） A、4.05×107 B、4.05×106 C、4.05×105 D、405×105 考点：科学记数法—表示较大的数。 分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 解答：解：将4050000用科学记数法表示4.05×106． 故选B． 点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 5、（2011•郴州）如图，下列四组条件中．不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A、AB=DC，AD=BC B、AB∥DC，AD∥BC C、AB∥DC，AD=BC D、AB∥DC，AB=DC 考点：平行四边形的判定。 分析：平行四边形的判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 解答：解：根据平行四边形的判定，A、B、D均符合是平行四边形的条件，C则不能判定是平行四边形． 故选：C． 点评：此题主要考查了学生对平行四边形的判定的掌握情况．对于判定定理：“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．”应用时要注意必须是“一组”，而“一组对边平行且另一组对边相等”的四边形不一定是平行四边形． 6、（2011•郴州）下列计算，正确的是（　　） A、x2+x3=x5 B、x2•x3=x6 C、（x2）3=x5 D、2x﹣3x=﹣x 考点：幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法。 分析：根据同底数幂的乘法的性质，幂的乘方的性质，积的乘方的性质，合并同类项的法则，对各选项分析判断后利用排除法求解． 解答：解：：A、x2和x3不是同类项，不能合并，故本选项错误； B、x2•x3=x5，故本选项错误； C、（x2）3=x2×3=x6，故本选项错误； D、2x﹣3x=（2﹣3）x=﹣x，故本选项正确． 故选D． 点评：本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，理清指数的变化是解题的关键． 7、（2011•郴州）观察下列图案，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　） A、 B、 C、 D、 考点：中心对称图形；轴对称图形。 专题：几何图形问题。 分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 解答：解：A、不是轴对称图形，不符合题意，故本选项错误； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意，故本选项错误； C、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意，故本选项正确； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意，故本选项错误． 故选C． 点评：本题考查轴对称图形及中心对称图形的知识，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图形重合． 8、（2011•郴州）已知⊙O1与⊙O2外切．半径分别是R和r，圆心距O1O2=5，R和r的值是（　　） A、R=4，r=2 B、R=3，r=2 C、R=4，r=3 D、R=3，r=1 考点：圆与圆的位置关系。 分析：由⊙O1与⊙O2外切．半径分别是R和r，圆心距O1O2=5，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系，即可求得R+r=5，继而求得答案． 解答：解：∵⊙O1与⊙O2外切．半径分别是R和r，圆心距O1O2=5， ∴R+r=5， ∵2+4=6，故A错误； ∵3+2=5，故B正确； ∵4+3=7，故C错误； ∵3+1=4，故D错误． 故选B． 点评：此题考查了圆与圆的位置关系．解题的关键是注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9、分解因式：x2﹣4x+4=　（x﹣2）2． 考点：因式分解-运用公式法。 分析：直接用完全平方公式分解即可． 解答：解：x2﹣4x+4=（x﹣2）2． 点评：本题主要考查利用完全平方公式分解因式．完全平方公式：（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2． 10、（2011•郴州）当x=　1　时，分式 的值为0． 考点：分式的值为零的条件。 分析：分式的值为零的条件：分子为0，分母不为0． 解答：解：根据题意，得 x﹣1=0，且x+1≠0， 解得x=1． 故答案是：1． 点评：本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可． 11、（2011•郴州）一元一次方程2x+4=0解是　x=﹣2　． 考点：解一元一次方程。 专题：计算题。 分析：移项，系数化为1即可． 解答：解：移项得，2x=﹣4， 系数化为1得，x=﹣2． 故答案为：x=﹣2． 点评：本题考查了解一元一次方程，注意移项要变号． 12、（2011•郴州）不等式组 的解集是　1＜x＜3　． 考点：解一元一次不等式组。 分析：首先解不等式组中的每一个不等式，然后求出不等式组的解集即可． 解答：解： ， 由②得：x＞1， ∴不等式组的解集为：1＜x＜3， 故答案为：1＜x＜3， 点评：此题主要考查了不等式组的解法，关键是解集的确定：大大取大，小小取小，大小小大取中，大大小小取不着． 13、写出一个不可能事件　明天是三十二号　． 考点：随机事件。 专题：开放型。 分析：不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件． 解答：解：一个月最多有31天，故明天是三十二号不可能存在，为不可能事件． 点评：关键是理解不可能事件的概念． 14、（2011•郴州）小明的讲义夹里放了大小相同的试卷共12页，其中语文4页，数学2页，英语6页，他随机地从讲义夹中抽出1页，抽出的试卷恰好是数学试卷的概率为 ． 考点：概率公式。 专题：应用题。 分析：根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数．二者的比值就是其发生的概率的大小． 解答：解：∵小明的讲义夹里放了大小相同的试卷共12页，数学2页， ∴他随机地从讲义夹中抽出1页，抽出的试卷恰好是数学试卷的概率为 = ． 故答案为 ． 点评：本题主要考查概率的求法与运用，一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）= ． 15、（2011•郴州）小亮同学为了估计全县九年级学生的人数，他对自己所在乡的人口和全乡九年级学生人数做了调查：全乡人口约2万，九年级学生人数为300．全县人口约35万，由此他推断全县九年级人数约为5250，但县教育局提供的全县九年级学生人数为3000，与估计数据有很大偏差，根据所学的统计知识，你认为产生偏差的原因是　样本选取不合理　． 考点：抽样调查的可靠性。 分析：总体与样本之间的差别较大，因而样本不能代表总体，产生偏差的原因是：样本选取不合理． 解答：解：产生偏差的原因是：样本选取不合理． 点评：本题主要考察了总体与样本的关系，在选取样本是要注意代表性． 16、（2011•郴州）如图，已知∠1=∠2=90°，AD=AE，那么图中有　3　对全等三角形． 考点：全等三角形的判定。 分析：根据题意，结合图形，可得知△AEB≌△ADC，△BED≌△CDE，△BOD≌△COE．做题时要从已知条件开始结合图形利用全等的判定方法由易到难逐个寻找． 解答：解：①△AEB≌△ADC； ∵AE=AD，∠1=∠2=90°，∠A=∠A， ∴△AEC≌△ADC； ∴AB=AC， ∴BD=CE； ②△BED≌△CDE； ∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED， ∵∠ADC=∠AEB，∴∠CDE=∠BED， ∴△BED≌△CDE． ③∵BD=CE，∠DBO=∠ECO，∠BOD=∠COE， ∴△BOD≌△COE． 故答案为3． 点评：本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目 三、解答题（本大题共6小题，每小题6分，共36分） 17、（2011•郴州）计算： ． 考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值。 专题：计算题。 分析：分别根据数的乘方、特殊角的三角函数值、0指数幂、负整数指数幂的运算法则计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可． 解答：解：原式=﹣1﹣4× +1+4 =2． 点评：本题考查的是实数混合运算的法则，熟知数的乘方、特殊角的三角函数值、0指数幂、负整数指数幂的运算法则是解答此题的关键． 18、（2011•郴州）当t取什么值时，关于x的一元二次方程2x2+tx+2=0有两个相等的实数根？ 考点：根的判别式。 专题：方程思想。 分析：根据一元二次方程的根的判别式△=b2﹣4ac=0列出关于t的一元二次方程，然后解方程即可． 解答：解：∵一元二次方程2x2+tx+2=0的二次项系数a=2，一次项系数b=t，常数项c=2， ∴△=t2﹣4×2×2=t2﹣16=0， 解得，t=±4， ∴当t=4或t=﹣4时，原方程有两个相等的实数根． 点评：本题考查了一元二次方程的根与系数的关系．当△=b2﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=b2﹣4ac=0时，方程有两个相等的实数根；△=b2﹣4ac＜0时，方程无实数根． 19、（2011•郴州）作图题：在方格纸中，将△ABC向右平移3个单位得到△A1B1C1，画出△A1B1C1． 考点：作图-平移变换。 专题：作图题。 分析：分别找出△ABC向右平移3个单位后对应的关键点，然后顺次连接即可． 解答：解：如下图 所画△A1B1C1即为所求． 点评：本题考查了平移变换中的作图问题，属于基础题，关键是找出平移后的关键点． 20、（2011•郴州）求与直线y=x平行，并且经过点P（1，2）的一次函数的解析式． 考点：两条直线相交或平行问题。 专题：计算题。 分析：平行于直线y=x，则k=1，再根据待定系数法求解即可． 解答：解：根据题意，设一次函数解析式为y=kx+b， ∵与直线y=x平行，∴k=1， 由点P（1，2）得：1+b=2， 解得：b=1， ∴函数解析式为：y=x+1， 所以一次函数的解析式为：y=x+1． 点评：本题主要考查两条直线相交或平行问题，难度不大，掌握用待定系数法求函数解析式，根据平行得到k=1是解本题的关键． 21、（2011•郴州）如图是从《郴州市国民和社会发展第十二个五年规划纲要》中得到的郴州市2000～2010年城乡居民收入统计图，请根据统计图回答下列问题： （1）城镇居民人均收入超过12000元的有哪几年？ （2）十一年来，城镇居民人均收入与农民人均收入增长速度哪一个快？ （3）如果今年城镇居民人均收入与农民人居年收入分别以10%与8%的增长率增长，今年城镇居民人均收入与农民人居年收入各是多少？（结果保留整数） 考点：折线统计图。 分析：（1）从折现统计图上可看出有三年在12000以上，从而可得解． （2）折线统计图表现变化趋势，从图上可看出城镇居民上升的快． （3）从图上可得到2010年的城镇居民和农村居民的人均收入，从而可求出今年的． 解答：解：（1）2008年，2009年，2010年三年的的城镇居民收入在12000以上． （2）城镇居民增长速度快一些． （3）15342×（1+10%）=16876.2≈16876（元）． 5208×（1+8%）=5624.64≈5625（元）． 点评：本题考查折线统计图，折线统计图表现变化情况，也可看出每年所对的数据，从而根据变化率求出今年的人均收入． 22、（2011•郴州）如图，李军在A处测得风筝（C处）的仰角为30°，同时在A正对着风筝方向距A处30米的B处，李明测得风筝的仰角为60°．求风筝此时的高度．（结果保留根号） 考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题。 专题：应用题。 分析：先求出AB=BC，在Rt△CBD中，CD=sin60°×BC，得出答案． 解答：解：∵∠A=30°，∠CBD=60°， ∴∠ACB=30°， ∴BC=AB=30， 在Rt△BCD中，∠CBD=60°，BC=30， sin∠CBD= ，sin60°= ， ∴ 米． 答：风筝此时的高度15 米． 点评：本题主要考查解直角三角形的应用，本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形． 四、证明题（本题8分） 23、（2011•郴州）在梯形ABCD中，AD∥BC，且AD=DC，对角线BD平分∠ABC． 求证：梯形ABCD是一个等腰梯形． 考点：等腰梯形的判定；平行线的性质。 专题：证明题。 分析：根据平行线的性质推出∠ADB=∠DBC，根据角平分线的性质推出∠ADB=∠ABD，得出AD=AB，求出AB=CD，即可推出答案． 解答：证明：∵AD∥BC， ∴∠ADB=∠DBC， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠CBD， ∴∠ADB=∠ABD， ∴AB=AD， ∵AD=DC， ∴AB=CD， ∵四边形ABCD是梯形， ∴梯形ABCD是等腰梯形． 点评：本题主要考查对等腰三角形的性质和判定，平行线的性质，角平分线的性质，等腰梯形的判定等 知识点 高中化学知识点免费下载体育概论知识点下载名人传知识点免费下载线性代数知识点汇总下载高中化学知识点免费下载 的理解和掌握，求出AB=CD是解此题的关键． 五、应用题（本题8分） 24、（2011•郴州）用洗衣粉洗衣物时，漂洗的次数与衣物中洗衣粉的残留量近似地满足反比例函数关系．寄宿生小红、小敏晚饭后用同一种洗衣粉各自洗一件同样的衣服，漂洗时，小红每次用一盆水（约10升），小敏每次用半盆水（约5升），如果她们都用了5克洗衣粉，第一次漂洗后，小红的衣服中残留的洗衣粉还有1.5克，小敏的衣服中残留的洗衣粉还有2克． （1）请帮助小红、小敏求出各自衣服中洗衣粉的残留量y与漂洗次数x的函数关系式； （2）当洗衣粉的残留量降至0.5克时，便视为衣服漂洗干净，从节约用水的角度来看，你认为谁的漂洗方法值得提倡，为什么？ 考点：反比例函数的应用。 专题：应用题。 分析：（1）设小红、小敏衣服中洗衣粉的残留量与漂洗次数的函数关系式分别为：y1= ，y2= ，后根据题意代入求出k1和k2即可； （2）当y=0.5时，求出此时小红和小敏所用的水量，后进行比较即可． 解答：解：（1）设小红、小敏衣服中洗衣粉的残留量与漂洗次数的函数关系式分别为：y1= ，y2= ， 将 和 分别代入两个关系式得： 1.5= ，2= ，解得：k1=1.5，k2=2． ∴小红的函数关系式是=，小敏的函数关系式是． （2）把y=0.5分别代入两个函数得： =0.5， =0.5， 解得：x1=3，x2=4， 10×3=30（升），5×4=20（升）． 答：小红共用30升水，小敏共用20升水，小敏的方法更值得提倡． 点评：本题考查了反比例函数的实际应用，读懂题意正确列出函数关系式是解题的关键． 六、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分） 25、（2011•郴州）如图，Rt△ABC中，∠A=30°，BC=10cm，点Q在线段BC上从B向C运动，点P在线段BA上从B向A运动．Q、P两点同时出发，运动的速度相同，当点Q到达点C时，两点都停止运动．作PM⊥PQ交CA于点M，过点P分别作BC、CA的垂线，垂足分别为E、F． （1）求证：△PQE∽△PMF； （2）当点P、Q运动时，请猜想线段PM与MA的大小有怎样的关系？并证明你的猜想； （3）设BP=x，△PEM的面积为y，求y关于x的函数关系式，当x为何值时，y有最大值，并将这个值求出来． 考点：相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；解直角三角形。 分析：（1）由∠EPF=∠QPM=90°，利用互余关系证明△PQE∽△PMF； （2）相等．运动速度相等，时间相同，则BP=BQ，∠B=60°，△BPQ为等边三角形，可推出∠MPA=∠A=30°，等角对等边； （3）由面积公式得S△PEM= PE×PF，解直角三角形分别表示PE，PF，列出函数式，利用函数的性质求解． 解答：证明：（1）∵PE⊥BC，PF⊥AC，∠C=90°， ∴∠PEQ=∠PFM=90°，∠EPF=90°，即∠EPQ+∠QPF=90°， 又∵∠FPM+∠QPF=∠QPM=90°， ∴∠EPQ=∠FPM， ∴△PQE∽△PMF； （2）相等． ∵PB=BQ，∠B=60°， ∴△BPQ为等边三角形， ∴∠BQP=60°， ∵△PQE∽△PMF， ∴∠PMF=∠BQP=60°， 又∠A+∠APM=∠PMF， ∴∠APM=∠A=30°， ∴PM=MA； （3）AB= = =20，BP=x，则AP=20﹣x， PE=xcos30°= x，PF=（20﹣x）• ， S△PEM= PE×PF， ∴y= • x• = （20x﹣x2）=﹣ （x﹣10）2+ （0≤x≤10）． ∴当x=10时，函数的最大值为 ． 点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，二次函数的性质．关键是根据题意判断相似三角形，利用相似比及解直角三角形得出等量关系． 26、（2011•郴州）如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别是（0，1）和（1，0），P是线段AB上的一动点（不与A、B重合），坐标为（m，1﹣m）（m为常数）． （1）求经过O、P、B三点的抛物线的解析式； （2）当P点在线段AB上移动时，过O、P、B三点的抛物线的对称轴是否会随着P的移动而改变； （3）当P移动到点（ ）时，请你在过O、P、B三点的抛物线上至少找出两点，使每个点都能与P、B两点构成等腰三角形，并求出这两点的坐标． 考点：二次函数综合题。 分析：（1）设出抛物线的解析式，根据抛物线经过原点，B点，P点可列出方程求出a，b的值确定解析式； （2）求出抛物线的对称轴，可知是个定值，故不变； （3）可作出对称轴与x轴的交点为K，过K点作PB的垂直平分线，交抛物线于两点，这两点就符合要求． 解答：解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c， 因为抛物线过原点O（0，0）．所以c=0． ， ． 所以y=﹣ x2+ x； （2）由（1）可知抛物线的对称轴是x=﹣ = ． 所以它不会随P的移动而改变； （3）点O（0，0）可满足． 设抛物线的对称轴与x轴交于K，过K作PB的垂直平分线交抛物线于Q1，Q2两点，则△Q1PB，△Q2PB是等腰三角形． 因为P点的坐标是（ ， ）． 所以Q1Q2的解析式是：y=x﹣ ，抛物线的解析式为：y=﹣2x2+2x． 所以直线和抛物线的交点Q1，Q2两点的坐标是（ ， ），（ ，﹣ ）． 点评：本题考查二次函数的综合运用，其中考查了通过坐标来确定二次函数式，求抛物线的对称轴，以及根据等腰三角形的性质求出坐标．