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初中数学竞赛辅导资料（47）初中数学竞赛辅导资料（47）配方法甲内容提要　 1. 配方：这里指的是在代数式恒等变形中，把二次三项式a2±2ab+b2写成完全平方式（a±b）2. 有时需要在代数式中添项、折项、分组才能写成完全平方式. 常用的有以下三种： ①由a2+b2配上2ab，　②由2 ab配上a2+b2，　 ③由a2±2ab配上b2. 2. 运用配方法解题，初中阶段主要有： 1 用完全平方式来因式分解例如：把x4+4 因式分解. 原式＝x4+4＋4x2－4x2=(x2+2)2－4x2＝…… 　　　这是由a2+b2配上2ab. 2 二次根式化简常用公式：，这就需要把被开方数写成完全平方式. 例如：化简 . 我们把5－2 写成 2－2 ＋3 ＝－2 ＋＝（－）2. 这是由2 ab配上a2+b2. 3 求代数式的最大或最小值，方法之一是运用实数的平方是非负数，零就是最小值.即∵a2≥0， ∴当a=0时，　a2的值为0是最小值. 例如：求代数式a2+2a－2 的最值. ∵a2+2a－2= a2+2a+1－3=(a+1)2－3 当a=－1时, a2+2a－2有最小值－3.　　这是由a2±2ab配上b2 4 有一类方程的解是运用几个非负数的和等于零，则每一个非负数都是零，有时就需要配方. 例如:：求方程x2+y2+2x-4y+5=0 的解x, y. 解：方程x2+y2+2x-4y+1＋4＝0. 配方的可化为　（x+1）2+(y－2)2=0. 　　要使等式成立，必须且只需 . 解得　　此外在解二次方程中应用根的判别式，或在证明等式、不等式时，也常要有配方的知识和技巧. 乙例题例1. 因式分解：a2b2－a2+4ab－b2+1. 解：a2b2－a2+4ab－b2+1＝a2b2+2ab+1+(－a2+2ab－b2)　（折项，分组）＝（ab+1）2－(a－b)2　　　　　　（配方）＝（ab+1+a-b）(ab+1-a+b)　（用平方差公式分解）　　本题的关鍵是用折项，分组，树立配方的思想. 例2. 化简下列二次根式： ① ；　　　② ；　　　　③ . 解：化简的关键是把被开方数配方 ① ＝＝＝＝2＋ . ② ＝＝＝＝＝ . ③ ＝＝　＝＝＝ =2－ . 例3. 求下列代数式的最大或最小值：　　　①　x2+5x+1；　　②　－2x2－6x+1 . 解：①x2+5x+1＝x2+2× x+ － +1 ＝（x+ ）2－ . ∵（x+ ）2≥0，其中0是最小值. 即当x= 时，x2+5x+1有最小值－ . ②－2x2－6x+1 ＝－2（x2+3x- ） =－2(x2+2× x+ － ) ＝－2（x+ ）2+ ∵－2（x+ ）2≤0，其中0是最大值， ∴当x=－时，－2x2－6x+1有最大值 . 例4. 解下列方程： ①x4－x2+2xy+y2+1=0 ；　②x2+2xy+6x+2y2+4y+10=0. 解：①（x4－2x2＋1）＋（x2+2xy+y2）=0 . （折项，分组）　　　(x2－1)2+(x+y)2=0.　　　　　　（配方）根据“几个非负数的和等于零，则每一个非负数都应等于零”. 　　　　　得　 ∴ 或 ②x2+2xy+y2+6x+6y+9+y2－2y+1=0 . (折项，分组) (x+y)2+6（x+y）+9+y2－2y+1=0. (x+y+3)2+(y－1)2＝0.　　　　　　（配方） ∴ 　　∴ 例5. 已知：a,　b,　c,　d 都是整数且m=a2+b2, 　n=c2+d2,　则mn也可以表示为两个整数的平方和，试写出其形式.　　　　　（1986年全国初中数学联赛题）解：mn=( a2+b2)( c2+d2)= a2c2+ +a2d2 +b2 c2+ b2 d2 = a2c2+ b2 d2+2abcd+ a2d2 +b2 c2－2abcd (分组，添项) =(ac+bd)2+(ad-bc)2 例6. 求方程　x2+y2-4x+10y+16=0的整数解解：x2-4x+16+y2+10y+25=25 (添项) （x－4）2+(y+5)2＝25　　　　（配方） ∵25折成两个整数的平方和，只能是0和25；9和16. ∴ 由得同理，共有12个解 …… 丙练习47 1. 因式分解： ①x4+x2y2+y4 ；　　②x2-2xy+y2-6x+6y+9 ；　　③x4+x2-2ax-a2+1. 2. 化简下列二次根式： ① 　（－＜x< ）；　　　 ② 　(1

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