2007年全国中考数学压轴题精选全解之三

2007年全国各地中 考试题 教师业务能力考试题中学音乐幼儿园保育员考试题目免费下载工程测量项目竞赛理论考试题库院感知识考试题及答案公司二级安全考试题答案 压轴题精选全解之三 45.（山东省济南市）24. 已知：如图，在平面直角坐标系中， 是直角三角形， ，点 的坐标分别为 ， ， ． （1）求过点 的直线的函数表达式； （2）在 轴上找一点 ，连接 ，使得 与 相似（不包括全等），并求点 的坐标； （3）在（2）的条件下，如 分别是 和 上的动点，连接 ，设 ，问是否存在这样的 使得 与 相似，如存在，请求出 的值；如不存在，请说明理由． 解：（1） 点 ， ， ， 点坐标为 设过点 的直线的函数表达式为 ， 由 得 ， 直线 的函数表达式为 （2）如图1，过点 作 ，交 轴于点 ， 在 和 中， ， 点为所求 又 ， ， （3）这样的 存在 在 中，由勾股定理得 如图1，当 时， 则 ，解得 如图2，当 时， 则 ，解得 46.(青岛市)24. 已知：如图，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点 P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移 动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两 点停止运动．设点P的运动时间为t（s），解答下列问题： （1）当t为何值时，△PBQ是直角三角形? （2）设四边形APQC的面积为y（cm2），求y与t的 关系式；是否存在某一时刻t，使四边形APQC的面积是△ABC面积的三分之二？如果存在，求出相应的t值；不存在，说明理由； （3）设PQ的长为x（cm），试确定y与x之间的关系式． 解：⑴ 根据题意：AP＝t cm，BQ＝t cm． △ABC中，AB＝BC＝3cm，∠B＝60°， ∴BP＝(3－t ) cm． △PBQ中，BP＝3－t，BQ＝t， 若△PBQ是直角三角形，则∠BQP＝90°或∠BPQ＝90°． 当∠BQP＝90°时，BQ＝ BP． 即t＝ (3－t )， t＝1 (秒)． 当∠BPQ＝90°时，BP＝ BQ． 3－t＝ t， t＝2 (秒)． 答：当t＝1秒或t＝2秒时，△PBQ是直角三角形． ⑵ 过P作PM⊥BC于M ． Rt△BPM中，sin∠B＝ ， ∴PM＝PB·sin∠B＝ (3－t )． ∴S△PBQ＝ BQ·PM＝ · t · (3－t )． ∴y＝S△ABC－S△PBQ ＝ ×32× － · t · (3－t ) ＝ ． ∴y与t的关系式为： y＝ ． 假设存在某一时刻t，使得四边形APQC的面积是△ABC面积的 ， 则S四边形APQC＝ S△ABC ． ∴ ＝ × ×32× ． ∴t 2－3 t＋3＝0． ∵(－3) 2－4×1×3＜0， ∴方程无解． ∴无论t取何值，四边形APQC的面积都不可能是△ABC面积的 ． ⑶ 在Rt△PQM中， MQ＝ ＝ ． MQ 2＋PM 2＝PQ 2． ∴x2＝[ (1－t ) ]2＋[ (3－t ) ]2 ＝ ＝ ＝3t2－9t＋9． ∴t2－3t＝ ． ∵y＝ ， ∴y＝ ＝ ＝ ． ∴y与x的关系式为：y＝ ． 47.(山东省泰州市) 29．如图①， 中， ， ．它的顶点 的坐标为 ，顶点 的坐标为 ， ，点 从点 出发，沿 的方向匀速运动，同时点 从点 出发，沿 轴正方向以相同速度运动，当点 到达点 时，两点同时停止运动，设运动的时间为 秒． （1）求 的度数． （2）当点 在 上运动时， 的面积 （平方单位）与时间 （秒）之间的函数图象为抛物线的一部分，（如图②），求点 的运动速度． （3）求（2）中面积 与时间 之间的函数关系式及面积 取最大值时点 的坐标． （4）如果点 保持（2）中的速度不变，那么点 沿 边运动时， 的大小随着时间 的增大而增大；沿着 边运动时， 的大小随着时间 的增大而减小，当点 沿这两边运动时，使 的点 有几个？请说明理由． 解: （1） ． （2）点 的运动速度为2个单位/秒． （3） （ ） ． 当 时， 有最大值为 ， 此时 ． （4）当点 沿这两边运动时， 的点 有2个． ①当点 与点 重合时， ， 当点 运动到与点 重合时， 的长是12单位长度， 作 交 轴于点 ，作 轴于点 ， 由 得： ， 所以 ，从而 ． 所以当点 在 边上运动时， 的点 有1个． ②同理当点 在 边上运动时，可算得 ． 而构成直角时交 轴于 ， ， 所以 ，从而 的点 也有1个． 所以当点 沿这两边运动时， 的点 有2个． 48.(山东省东营市)24. 根据以下10个乘积，回答问题： 11×29； 12×28； 13×27； 14×26； 15×25； 16×24； 17×23； 18×22； 19×21； 20×20． （1）试将以上各乘积分别写成一个“□2－○2”（两数平方差）的形式，并写出其中一个的思考过程； （2）将以上10个乘积按照从小到大的顺序排列起来； （3）试由⑴、⑵猜测一个一般性的结论．（不要求证明） 解：⑴11×29＝202－92；12×28＝202－82；13×27＝202－72； 14×26＝202－62；15×25＝202－52；16×24＝202－42； 17×23＝202－32；18×22＝202－22；19×21＝202－12； 20×20＝202－02． 例如，11×29；假设11×29=□2－○2， 因为□2－○2=（□＋○）（□－○）； 所以，可以令□－○＝11，□＋○＝29． 解得，□＝20，○＝9．故 ． （或11×29＝（20－9）（20＋9）=202－92 ． ⑵ 这10个乘积按照从小到大的顺序依次是： ． ⑶ ① 若 ，a，b是自然数，则ab≤202＝400． ② 若a＋b＝40，则ab≤202＝400． ③ 若a＋b＝m，a，b是自然数，则ab≤ ． ④ 若a＋b＝m，则ab≤ ． ⑤ 若a1＋b1＝a2＋b2＝a3＋b3＝…＝an＋bn＝40．且 | a1－b1|≥|a2－b2|≥|a3－b3|≥…≥| an－bn|， 则 a1b1≤a2b2≤a3b3≤…≤ anbn． ⑥若a1＋b1＝a2＋b2＝a3＋b3＝…＝an＋bn＝m．且 | a1－b1|≥|a2－b2|≥|a3－b3|≥…≥| an－bn|， 则a1b1≤a2b2≤a3b3≤…≤ anbn． 49.(山东枣庄)25. 已知：如图，在△ABC中，D为A月边上一点，∠A=36°，AC=BC，AC2=AB·AD． (1)试说明：△ADC和△BDC都是等腰三角形， (2)若AB=1，求AC的长， (3)试构造一个等腰梯形，要求该梯形连同它的两条对角线所形成的8个三角形中有尽可能多的等腰三角形． 解：(1)在△ABC中，AC=BC，∠A＝36°，∴∠B=∠A=36°，∠ACB=108° 在△ABC与△CAD中，∠A=∠B=36°． ∵AC2=AB·AD，∴ ． ∴△ABC∽△CAD． ∴∠ACD=∠B=36°． ∴∠CDB=72°，∠DCB=108°-36°=72°． ∴△ADC和△BDC都是等腰三角形． (2)设AC＝x，则AD=1-BD=1-BC=1-2x ∴x2=1×(1-x)，即x2＋x-1＝0．解得 （舍去)． ∴ (3)说明：按照画出的梯形中，有4个，6个和8个等腰三角形三种情况分类得分． ①有4个等腰三角形，得1分； ②有6个等腰三角形，得2分； ③有8个等腰三角形，得4分． 50.(山东省滨州市)26. 如图12-1所示，在 中， ， ， 为 的中点，动点 在 边上自由移动，动点 在 边上自由移动． （1）点 的移动过程中， 是否能成为 的等腰三角形？若能，请指出 为等腰三角形时动点 的位置．若不能，请说明理由． （2）当 时，设 ， ，求 与 之间的函数解析式，写出 的取值范围． （3）在满足（2）中的条件时，若以 为圆心的圆与 相切（如图12-2），试探究直线 与 的位置关系，并证明你的结论． 解：如图， （1）点 移动的过程中， 能成为 的等腰三角形． 此时点 的位置分别是： ① 是 的中点， 与 重合． ② ．③ 与 重合， 是 的中点 （2）在 和 中， ， ， ． 又 ， ． ． ， ， ， ． （3） 与 相切． ， ． ． 即 ． 又 ， ． ． 点 到 和 的距离相等． 与 相切， 点 到 的距离等于 的半径． 与 相切． 51.(日照市)24. 如图，直线EF将矩形纸片ABCD分成面积相等的两部分，E、F分别与BC交于点E，与AD交于点F（E，F不与顶点重合），设AB=a,AD=b,BE=x． (Ⅰ)求证：AF=EC； (Ⅱ)用剪刀将纸片沿直线EF剪开后，再将纸片ABEF沿AB对称翻折，然后平移拼接在梯形ECDF的下方，使一底边重合，直腰落在边DC的延长线上，拼接后，下方的梯形记作EE′B′C. （1）求出直线EE′分别经过原矩形的顶点A和顶点D时，所对应的 x︰b的值； （2）在直线EE′经过原矩形的一个顶点的情形下，连接BE′，直线BE′与EF是否平行？你若认为平行，请给予证明；你若认为不平行，请你说明当a与b满足什么关系时，它们垂直？ 解: (Ⅰ)证明：∵AB=a，AD=b，BE=x ，S梯形ABEF= S梯形CDFE． ∴ a(x+AF)= a(EC+b-AF)， ∴2AF=EC+(b-x)． 又∵EC＝b-x， ∴2AF=2EC，即AF=EC； (Ⅱ)（1）当直线EE′经过原矩形的顶点D时，如图（一）， ∵EC∥E′B′， ∴ = . 由EC＝b-x，E′B′=EB=x， DB′=DC+CB′=2a， 得 ， ∴x︰b= ； 当直线E′E经过原矩形的顶点A时，如图（二）， 在梯形AE′B′D中， ∵EC∥E′B′,点C是DB′的中点， ∴CE= (AD+ E′B′)， 即b-x＝ （b＋x）， ∴x︰b= ． (2) 如图（一）， 当直线EE′ 经过原矩形的顶点D时，BE′∥EF． 证明：连接BF． ∵FD∥BE, FD=BE， ∴四边形FBED是平行四边形， ∴FB∥DE， FB=DE, 又∵EC∥E′B′， 点C是DB′的中点， ∴DE=EE′， ∴FB∥EE′, FB= EE′， ∴四边形BE′EF是平行四边形 ∴BE′∥EF． 如图（二）， 当直线EE′ 经过原矩形的顶点A时，显然BE′与EF不平行，设直线EF与BE′交于点G.过点E′作E′M⊥BC于M， 则E′M=a.． ∵x︰b= ， ∴EM= BC= b． 若BE′与EF垂直，则有∠GBE+∠BEG=90°， 又∵∠BEG＝∠FEC＝∠MEE′， ∠MEE′+∠ME′E=90°， ∴∠GBE=∠ME′E. 在Rt△BME′中，tan∠E′BM= tan∠GBE= = ． 在Rt△EME′中，tan∠ME′E = HYPERLINK "http://www.gzsxw.net/" EMBED Equation.3 \* MERGEFORMAT = ， ∴ ＝ ． 又∵a＞0，b＞0， ， ∴当 时，BE′与EF垂直. 52.(山东省聊城市)25. 某市为了进一步改善居民的生活环境，园林处决定增加公园 和公园 的绿化面积．已知公园 分别有如图1，图2所示的阴影部分需铺设草坪，在甲、乙两地分别有同种草皮 和 出售，且售价一样．若园林处向甲、乙两地购买草皮，其路程和运费单价见下表： 公园 公园 路程（千米） 运算单价（元） 路程（千米） 运费单价（元） 甲地 乙地 （注：运费单价指将每平方米草皮运送1千米所需的人民币） （1）分别求出公园 需铺设草坪的面积；（结果精确到 ） （2）请设计出总运费最省的草皮运送 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 ，并说明理由． 解：（1）设公园 需铺设草坪的面积分别为 ，根据题意，得 ． 设图2中圆的半径为 ，由图形知，圆心到矩形较长一边的距离为 ， 所以 ，有 ． 于是， ． 所以公园 需铺设草坪的面积分别为 和1008 ． （2）设总运费为 元，公园 向甲地购买草皮 ，向乙地购买草皮 ． 由于公园 需要购买的草皮面积总数为 （ ）， 甲、乙两地出售的草皮面积总数为 ． 所以，公园 向甲地购买草皮 ， 向乙地购买草皮 ． 于是，有 所以 ． 又由题意，得 ． 因为函数 随 的增大而增大， 所以，当 时，有最小值 （元）． 因此，公园 在甲地购买600 ，在乙地购买 ； 公园 在甲地购买 （ ）． 此时，运送草皮的总运费最省． 53.(山东省泰安市非课改区)26. 如图，在 中， ， 是 边上的高， 是 边上的一个动点（不与 重合）， ， ，垂足分别为 ． （1）求证： ； （2） 与 是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由； （3）当 时， 为等腰直角三角形吗？并说明理由． 解: （1）证明：在 和 中 ， （2） 与 垂直 证明如下： 在四边形 中， 四边形 为矩形 由（1）知 为直角三角形， 又 即 （3）当 时， 为等腰直角三角形， 理由如下： ， 由（2）知： 又 为等腰直角三角形 54.(山东省德州市)23. 已知：如图14，在 中， 为 边上一点， ， ， ． （1）试说明： 和 都是等腰三角形； （2）若 ，求 的值； （3）请你构造一个等腰梯形，使得该梯形连同它的两条对角线得到8个等腰三角形．（标明各角的度数） 解：（1）在 中， ， ． 在 与 中， ； ， ． ． 和 都是等腰三角形．4分 （2）设 ，则 ，即 ． 解得 （负根舍去）． 55.(河南省实验区) 23．如图，对称轴为直线 的抛物线经过点A（6，0）和B（0，4）． （1）求抛物线解析式及顶点坐标； （2）设点E（ ， ）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形．求平行四边形OEAF的面积S与 之间的函数关系式，并写出自变量 的取值范围； ①当平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形？ ②是否存在点E，使平行四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）由抛物线的对称轴是 ，可设解析式为 ． 把A、B两点坐标代入上式，得 解之，得 故抛物线解析式为 ，顶点为 （2）∵点 在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合 ， ∴y<0，即 －y>0,－y表示点E到OA的距离． ∵OA是 的对角线， ∴ ． 因为抛物线与 轴的两个交点是（1，0）的（6，0），所以，自变量 的 取值范围是1＜ ＜6． 1​ 根据题意，当S = 24时，即 ． 化简，得 解之，得 故所求的点E有两个，分别为E1（3，－4），E2（4，－4）． 点E1（3，－4）满足OE = AE，所以 是菱形； 点E2（4，－4）不满足OE = AE，所以 不是菱形． 2​ 当OA⊥EF，且OA = EF时， 是正方形，此时点E的 坐标只能是（3，－3）． 而坐标为（3，－3）的点不在抛物线上，故不存在这样的点E， 使 为正方形． 56.(武汉市) 如图①，在平面直角坐标系中，Rt△AOB≌Rt△CDA，且A(－1，0)、B(0，2)，抛物线y＝ax2＋ax－2经过点C。 (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线(对称轴的右侧)上是否存在两点P、Q，使四边形ABPQ是正方形？若存在，求点P、Q的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图②，E为BC延长线上一动点，过A、B、E三点作⊙O’，连结AE，在⊙O’上另有一点F，且AF＝AE，AF交BC于点G，连结BF。下列结论：①BE＋BF的值不变；② ，其中有且只有一个成立，请你判断哪一个结论成立，并证明成立的结论。 解：⑴由Rt△AOB≌Rt△CDA得 OD=2+1=3,CD=1 ∴C点坐标为(－3,1), ∵抛物线经过点C, ∴1= (－3)2 a＋(－3)ａ－2，∴ 。 ∴抛物线的解析式为 . ⑵在抛物线（对称轴的右侧）上存在点P、Q，使四边形ABPQ是正方形。 以AB边在AB右侧作正方形ABPQ。过P作PE⊥OB于E，QG⊥x轴于G， 可证△PBE≌△AQG≌△BAO， ∴PE＝AG＝BO＝2，BE＝QG＝AO＝1， ∴∴P点坐标为（2,1），Q点坐标为（1,－1）。 由（1）抛物线 。 当x＝2时，y＝1，当x＝,1时，y＝－1。 ∴P、Q在抛物线上。 故在抛物线（对称轴的右侧）上存在点P（2,1）、Q（1,－1），使四边形ABPQ是正方形。 ⑵另解：在抛物线（对称轴的右侧）上存在点P、Q，使四边形ABPQ是正方形。 延长CA交抛物线于Q，过B作BP∥CA交抛物线于P，连PQ，设直线CA、BP的解析式分别为y=k1x+b1, y=k2x+b2, ∵A（－1,0），C（－3,1）， ∴CA的解析式 ，同理BP的解析式为 ， 解方程组 得Q点坐标为（1,－1），同理得P点坐标为（2,1）。 由勾股定理得AQ＝BP＝AB＝ ，而∠BAQ＝90°， ∴四边形ABPQ是正方形。故在抛物线（对称轴的右侧）上存在点P（2,1）、Q（1,－1），使四边形ABPQ是正方形。 ⑵另解：在抛物线（对称轴的右侧）上存在点P、Q，使四边形ABPQ是正方形。 如图，将线段CA沿CA方向平移至AQ， ∵C（－3,1）的对应点是A（－1,0），∴A（－1,0）的对应点是Q（1,－1），再将线段AQ沿AB方向平移至BP，同理可得P（2,1） ∵∠BAC＝90°，AB＝AC ∴四边形ABPQ是正方形。经验证P（2,1）、Q（1,－1）两点均在抛物线 上。 ⑶结论② 成立， 证明如下：连EF，过F作FM∥BG交AB的延长线于M，则△AMF∽△ABG， ∴ 。 由⑴知△ABC是等腰直角三角形， ∴∠1＝∠2＝45°。 ∵AF＝AE， ∴∠AEF＝∠1＝45°。 ∴∠EAF＝90°，EF是⊙O´的直径。 ∴∠EBF＝90°。 ∵FM∥BG， ∴∠MFB＝∠EBF＝90°，∠M＝∠2＝45°， ∴BF＝MF， ∴ 57.(荆门市)28. 如图1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC，已知O(0，0)，A(4，0)，C(0，3)，点P是OA边上的动点(与点O、A不重合)．现将△PAB沿PB翻折，得到△PDB；再在OC边上选取适当的点E，将△POE沿PE翻折，得到△PFE，并使直线PD、PF重合． (1)设P(x，0)，E(0，y)，求y关于x的函数关系式，并求y的最大值； (2)如图2，若翻折后点D落在BC边上，求过点P、B、E的抛物线的函数关系式； (3)在(2)的情况下，在该抛物线上是否存在点Q，使△PEQ是以PE为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标． 解：(1)由已知PB平分∠APD，PE平分∠OPF，且PD、PF重合，则∠BPE=90°．∴∠OPE＋∠APB=90°．又∠APB＋∠ABP=90°，∴∠OPE=∠PBA． ∴Rt△POE∽Rt△BPA． ∴ ．即 ．∴y= (0＜x＜4)． 且当x=2时，y有最大值 ． (2)由已知，△PAB、△POE均为等腰三角形，可得P(1，0)，E(0，1)，B(4，3)． 设过此三点的抛物线为y=ax2＋bx＋c，则 ∴ y= ． (3)由(2)知∠EPB=90°，即点Q与点B重合时满足条件． 直线PB为y=x－1，与y轴交于点(0，－1)． 将PB向上平移2个单位则过点E(0，1)， ∴该直线为y=x＋1． 由 得 ∴Q(5，6)． 故该抛物线上存在两点Q(4，3)、(5，6)满足条件． 58.(湖北省宜昌市) 25.如图1，点A是直线y＝kx（k＞0，且k为常数）上一动点，以A为顶点的抛物线y＝(x－h)2＋m交直线y＝x于另一点E，交 y 轴于点F，抛物线的对称轴交x轴于点B，交直线EF于点C.（点A,E,F两两不重合） (1)请写出h与m之间的关系；（用含的k式子表示） (2)当点A运动到使EF与x轴平行时(如图2)，求线段AC与OF的比值； (3)当点A运动到使点F的位置最低时(如图3)，求线段AC与OF的比值. （第25题图1） （第25题图2） （第25题图3） 解(1)∵抛物线顶点(h，m)在直线y＝kx上，∴m＝kh；(1分) (2) 方法一：解方程组 ， 将(2)代入(1)得到： (x－h)2＋kh＝kx， 整理得：(x－h)[(x－h)－k]＝0， 解得：x1＝h， x2＝k＋h 代入到方程(2) y1＝h y2＝k2＋hk 所以点E坐标是(k＋h，k2＋hk) 当x＝0时，y＝(x－h)2＋m＝h2＋kh， ∴点F坐标是(0，h2＋kh) 当EF和x轴平行时，点E，F的纵坐标相等， 即k2＋kh＝h2＋kh 解得：h＝k(h＝－k舍去，否则E，F，O重合) 此时点E(2k，2k2)，F(0，2k2)，C(k,2k2)， A(k，k2) ∴AC∶OF＝k2∶2 k2 =1∶2 方法二：当x＝0时，y＝(x－h)2＋m＝h2＋kh，即F (0，h2＋kh) 当EF和x轴平行时，点E，F的纵坐标相等 即点E的纵坐标为h2＋kh 当y＝h2＋kh时，代入y＝(x－h)2＋kh， 解得x＝2h(0舍去，否则E，F，O重合)， 即点E坐标为(2h，h2＋kh)， 将此点横纵坐标代入y＝kx得到h＝k(h＝0舍去，否则点E，F，O重合) 此时点E(2k，2k2)，F(0，2k2)，C(k,2k2)，A(k，k2) ∴AC∶OF＝k2∶2 k2 =1∶2 方法三： ∵EF与x轴平行， 根据抛物线对称性得到FC＝EC ∵AC∥FO，∴∠ECA＝EFO，∠FOE＝∠CAE ∴△OFE∽△ACE， ∴AC∶OF＝EC∶EF＝1∶2 (3)当点F的位置处于最低时，其纵坐标h2＋kh最小， ∵h2＋kh＝ － ， 当h＝ ，点F的位置最低，此时F(0，－ ) 解方程组 得E( ， )，A(－ ，－ ) 方法一：设直线EF的解析式为y＝px＋q， 将点E( ， )，F(0，－ )的横纵坐标分别代入得 解得：p＝ ，q＝－ ， ∴直线EF的解析式为y＝ x－ 当x＝－ 时，y＝－k2，即点C的坐标为(－ ，－k2)， ∵点A(－ ，－ )，所以AC＝ ，而OF= ， ∴AC＝2OF，即AC∶OF＝2。 方法二：∵E( ， )，A(－ ，－ ) ∴点A，E关于点O对称，∴AO＝OE， ∵AC∥FO，∴∠ECA＝EFO，∠FOE＝∠CAE ∴△OFE∽△ACE， ∴AC∶OF＝EC∶EF＝1∶2 59.(湖北省十堰市) 25．已知矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，以AB的垂直平分线为x轴，AB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图)。 (1)写出A、B、C、D及AD的中点E的坐标； (2)求以E为顶点、对称轴平行于y轴，并且经过点B、C的抛物线的解析式； (3)求对角线BD与上述抛物线除点B以外的另一交点P的坐标； (4)△PEB的面积S△PEB与△PBC的面积S△PBC具有怎样的关系？证明你的结论。 60.(湖北省孝感市)25. 在我们学习过的数学教科书中，有一个数学活动，其具体操作过程是： 第一步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开（如图1）； 第二步：再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN（如图2）. （图1） （图2） 请解答以下问题： （1）如图2，若延长MN交BC于P，△BMP是什么三角形？请证明你的结论． （2）在图2中，若AB=a，BC=b，a、b满足什么关系，才能在矩形纸片ABCD上剪出符合（1）中结论的三角形纸片BMP ？ （3）设矩形ABCD的边AB=2，BC=4，并建立如图3所示的直角坐标系. 设直线 为 ，当 =60°时，求k的值.此时，将△ABM′沿BM′折叠，点A是否落在EF上（E、F分别为AB、CD中点）？为什么？ （图3） 解：（1）△BMP是等边三角形. 证明：连结AN ∵EF垂直平分AB ∴AN = BN 由折叠知 AB = BN ∴AN = AB = BN ∴△ABN为等边三角形 ∴∠ABN =60° ∴∠PBN =30° 又∵∠ABM =∠NBM =30°，∠BNM =∠A =90° ∴∠BPN =60° ∠MBP =∠MBN +∠PBN =60° ∴∠BMP =60° ∴∠MBP =∠BMP =∠BPM =60° ∴△BMP为等边三角形 . （2）要在矩形纸片ABCD上剪出等边△BMP，则BC ≥BP 在Rt△BNP中， BN = BA =a，∠PBN =30° ∴BP = ∴b≥ ∴a≤ b . ∴当a≤ b时，在矩形上能剪出这样的等边△BMP. （3）∵∠M′BC =60° ∴∠ABM′ =90°－60°=30° 在Rt△ABM′中，tan∠ABM′ = ∴tan30°= ∴AM′ = ∴M′( ，2). 代入y=kx中 ，得k= = 设△ABM′沿BM′折叠后，点A落在矩形ABCD内的点为 过 作 H BC交BC于H. ∵△ BM′ ≌△ABM′ ∴ = =30°, B = AB =2 ∴ － =30°. 在Rt△ BH中， H = B =1 ，BH= ∴ ∴ 落在EF上. (图2) (图3) 61.(恩施自治州) 24、如图12，形如三角板的∆ABC中，∠ACB=90°,∠ABC=45°,BC=12cm，形如矩形量角器的半圆O的直径DE=12cm,矩形DEFG的宽EF=6cm，矩形量角器以2cm/s的速度从左向右运动，在运动过程中，点D、E始终在BC所在的直线上，设运动时间为x（s），矩形量角器和∆ABC的重叠部分的面积为S(cm2).当x=0(s)时，点E与点C重合.(图（3）、图（4）、图（5）供操作用). （1）当x=3时，如图（2），S= cm2, 当x=6时，S= cm2， 当x=9时，S= cm2； （2）当3