待定系数法53

待定系数法 待定系数法 一、内容提要 1.​ 多项式恒等的定义：设f(x)　和g(x)是含相同变量x的两个多项式，f(x)≡g(x)表示这两个多项式恒等.就是说x在取值范围内 ，不论用什么实数值代入左右的两边，等式总是成立的. 符号“≡”读作“恒等于”，也可以用等号表示恒等式.　例如： （x+3）2=x2+6x+9, 　　　　　　5x2－6x+1=(5x－1)(x－1), x3－39x－70=(x+2)(x+5)(x－7). 都是恒等式. 　根据恒等式定义，可求恒等式中的待定系数的值.　例如： 已知：恒等式ax2+bx+c=2(x+1)(x－2). 求：①a+b+c ； 　　　②a－b+c. 解：①以x=1， 代入等式的左右两边，得a+b+c＝－4. 　　　　　②以x=－1，代入等式的左右两边，得a－b+c＝0. 2.​ 恒等式的性质：如果两个多项式恒等，则左右两边同类项的系数相等. 　　即 如果 a0xn+a1xn－1+……+an－1x+an=　b0xn+b1xn－1+……+bn－1x+bn 那么 a0=b0 ， a1=b1， 　　…… ， an－1=bn－1 ， an=bn. 上例中又解： ∵ax2+bx+c=2x2－2x－4. ∴a=2, 　b=－2, 　c=－4. ∴a+b+c＝－4，　　 a－b+c＝0. 3.​ 待定系数法：就是先假设结论为一个含有待定系数的代数式，然后根据恒等式定义和性质，确定待定系数的值. 二、例 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 例1.​ 已知： 求：A，B，C的值. 解：去分母，得 x2－x+2=A(x－3)(x+2)+Bx(x+2)+Cx(x－3). 根据恒等式定义（选择x的适当值，可直接求出A，B，C的值）， 　　　　　　　当x=0时，　2＝－6A.　　∴A＝－ . 当x=3时，　8＝15B.　　　∴B＝ . 当x=－2时，　8＝10C.　　　∴C＝ . 本题也可以把等号右边的代数式，整理成为关于x的二次三项式，然后用恒等式性质：“左右两边同类项的系数相等”，列出方程组来解.（见下例）. 例2.​ 把多项式x3－x2+2x+2表示为关于x－1的降幂排列形式. 解：用待定系数法： 设x3－x2+2x+2=a(x－1)3+b(x－1)2+c(x－1)+d 把右边展开，合并同类项（把同类项对齐）， 得　　　x3－x2+2x+2=ax3－3ax2+3ax－a 　　　　+bx2－2bx+b 　　　　　+cx－c 　　　　　+d 用恒等式的性质，比较同类项系数， 得 　　解这个方程组，得 ∴x3－x2+2x+2=(x－1)3+2(x－1)2+3(x－1)+4. 本题也可用换元法：　　 设x－1=y, 　那么x=y+1. 把左边关于x的多项式化为关于y 的多项式，最后再把y换成x －1. 例3.​ 已知：4x4+ax3+13x2+bx+1是完全平方式. 求： a和b的值. 解：设4x4+ax3+13x2+bx+1＝（2x2+mx±1）2　（设待定的系数，要尽可能少.） 右边展开，合并同类项，得 　4x4+ax3+13x2+bx+1＝4x4+4mx3+(m2±4)x2±2mx+1. 比较左右两边同类项系数，得 方程组 ；　 或 . 解得 . 例4.​ 推导一元三次方程根与系数的关系. 解：设方程ax3+bx2+cx+d=0(a≠0)的三个根分别为x1,　x2,　x3. 原方程化为x3+ . ∵x1,　x2,　x3是方程的三个根. ∴x3+ (x－x1) (x－x2) (x－x3). 把右边展开，合并同类项，得 x3+ =x3－( x1+x2+x3)x2+(x1x2+x1x3+x2x3)x－x1x2x3. 比较左右同类项的系数，得 一元三次方程根与系数的关系是： x1+x2+x3=－ ，　x1x2+x1x3+x2x3＝ ，　x1x2x3＝－ . 例5.​ 已知：x3+px+q 能被（x－a）2　　整除. 求证：4p3+27q2=0. 证明：设x3+px+q＝（x－a）2（x+b）. x3+px+q=x3+(b－2a)x2+(a2－2ab)x+a2b. 　 　由①得b=2a，　代入②和③得　　 　　　　∴4p3+27q2＝4（－3a2）3+27(2a3)2 =4×（－27a6）+27×（4a6）=0.　（证毕）. 例6.​ 已知：f (x)=x2+bx+c是g (x)=x4 +6x2＋25的因式，也是q (x)=3x4+4x2+28x+5 的因式. 求：f (1)的值. 解：∵g (x),q (x)都能被f (x)整除,它们的和、差、倍也能被f (x)整除. 为了消去四次项，设g (x)－q (x)＝kf (x), (k为正整数). 即14x2－28x+70＝k (x2+bx+c) 　　　　　　　　14（x2－2x+5）＝k (x2+bx+c) ∴k=14,　 b=－2, 　　c=5. 即f (x)=x2－2x+5.　 ∴f (1)=4 . 例7.​ 用待定系数法，求（x+y）5 的展开式 解：∵展开式是五次齐次对称式， ∴可设（x+y）5＝a(x5+y5)+b(x4y+xy4)+c(x3y2+x2y3) (a,　b,　c是待定系数.) 　　　当　x=1,y=0时，　　得a=1； 当　x=1,y=1时，　　得2a+2b+2c=32，即a+b+c=16 当　x=－1,y=2时，　　得31a－14b+4c=1. 得方程组 解方程组，得 ∴（x+y）5＝x5+5x4y+10x3y2+10x2y3+5xy4+y5. 三、练习51 1.　已知 .　　求a,　b的值. 2.　已知： .　求：A，B，C的值. 3.​ 已知：　x4—6x3+13x2－12x+4是完全平方式. 求：这个代数式的算术平方根. 4.​ 已知：ax3+bx2+cx+d　能被x2+p整除. 求证：ad=bc. 5.​ 已知：x3－9x2+25x+13=a(x+1)(x－2)(x－3) =b(x－1)(x－2)(x－3) 　 =c(x－1)(x+1)(x－3) =d(x－1)(x+1)(x－2). 求：a+b+c+d的值. 6.​ 试用待定系数法，证明一元二次方程根与系数的关系（即韦达定理）. 7.​ 用x－2的各次幂表示3x3－10x2+13. 8.​ k取什么值时，kx2－2xy－y2+3x－5y+2能分解为两个一次因式.. 9.​ 分解因式：①x2+3xy+2y24x+5y+3； ②x4+1987x2+1986x+1987. 10.​ 求下列展开式： ① (x+y)6； 　　 ② (a+b+c)3. 11.​ 多项式x2y－y2z+z2x－x2z+y2x+z2y－2xyz因式分解的结果是( ) 　(A) (x+y)(y－z)(x－z) . (B) (x+y)(y+z)(x－z). (C) (x－y)(y－z)(x+z). (D) (x－y)(y+z)(x+z). 12.​ 已知( a+1)4=a4+4a3+6a2+4a+1,　若S=(x－1)4+4(x－1)3+6(x－1)2+4x－3. 则S等于( 　 ) (A) (x－2)4 . (B) (x－1)4 . (C) x4 . (D) (x+1)4. 　　　　 (1988年泉州市初二数学双基赛题) 13． 已知： 的值是恒为常数求：a,　b,　c的值. 练习题参考答案 1. a=－ ,b=－ 　　 2.　 A=1,B=2,C=3 　　　 3.　 ± (x2－3x+2) 4.由 (x2+p)(ax+ )… 　　 5. 1 　　　 7. 3(x－2)3+8(x－2)2－4(x－2)－3 8. 先整理为关于x的二次三项式，并把常数项分解因式，再用待定系数法。 9. ①(x+y +1)(x+2y+3) 　②(x2+x+1)(x2－x+1987) 10.　　①x6+6x5y+15x4y2+20x3y3+15x2y4+6xy5+y6. 　　②x3+y3+z3+3(x2y+y2z+z2x+x2z+y2x+z2y)+6xyz. 11. (A) 12.(C) 　　 13. a=1, b=1.5, c=－2.