高中数学不等式习题及详细答案

Revisedat2pmonDecember25,2020.高中数学不等式习 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 及详细答案第三章不等式一、选择题1．已知x≥，则f(x)＝有()．A．最大值B．最小值C．最大值1D．最小值12．若x＞0，y＞0，则＋的最小值是()．A．3B．C．4D．3．设a＞0，b＞0则下列不等式中不成立的是()．A．a＋b＋≥2BHYPERLINK．(a＋b)(＋)≥4C．≥a＋bD．≥4．已知奇函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且f(1)＝0，则不等式＜0的解集为()．A．(－1，0)∪(1，＋∞)B．(－∞，－1)∪(0，1)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D．(－1，0)∪(0，1)5．当0＜x＜时，函数f(x)＝的最小值为()．A．2B．C．4D．6．若实数a，b满足a＋b＝2，则3a＋3b的最小值是()．A．18B．6C．2D．27．若不等式组，所 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示的平面区域被直线y＝kx＋分为面积相等的两部分，则k的值是()．A．B．C．D．8．直线x＋2y＋3＝0上的点P在x－y＝1的上方，且P到直线2x＋y－6＝0的距离为3，则点P的坐标是()．A．(－5，1)B．(－1，5)C．(－7，2)D．(2，－7)(第9题)9．已知平面区域如图所示，z＝mx＋y(m＞0)在平面区域内取得最优解(最大值)有无数多个，则m的值为()．A．－B．C．D．不存在10．当x＞1时，不等式x＋≥a恒成立，则实数a的取值范围是()．A．(－∞，2]B．[2，＋∞)C．[3，＋∞)D．(－∞，3]二、填空题(x－y＋5)(x＋y)≥00≤x≤311．不等式组所表示的平面区域的面积是．x＋2y－3≤0x＋3y－3≥0，y－1≤012．设变量x，y满足约束条件若目标函数z＝ax＋y(a＞0)仅在点(3，0)处取得最大值，则a的取值范围是．13．若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是．14．设a，b均为正的常数且x＞0，y＞0，＋＝1，则x＋y的最小值为．15．函数y＝loga(x＋3)－1(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中mn＞0，则＋的最小值为．16．某工厂的年产值第二年比第一年增长的百分率为p1，第三年比第二年增长的百分率为p2，若p1＋p2为定值，则年平均增长的百分率p的最大值为．三、解答题17．求函数y＝(x＞－1)的最小值．18．已知直线l经过点P(3，2)，且与x轴、y轴正半轴分别交于A，B两点，当△AOB面积最小时，求直线l的方程．(第18题)19．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，销售每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨.那么该企业可获得最大利润是多少？20．(1)已知x＜，求函数y＝4x－1＋的最大值；(2)已知x，y∈R＊(正实数集)，且＋＝1，求x＋y的最小值；(3)已知a＞0，b＞0，且a2＋＝1，求的最大值．参考答案1．D解析：由已知f(x)＝＝＝，∵x≥，x－2＞0，∴≥·＝1，当且仅当x－2＝，即x＝3时取等号．2．C解析：＋＝x2＋＝＋＋．∵x2＋≥2＝1，当且仅当x2＝，x＝时取等号；≥2＝1，当且仅当y2＝，y＝时取等号；≥2＝2(x＞0，y＞0)，当且仅当＝，y2＝x2时取等号．∴＋＋≥1＋1＋2＝4，前三个不等式的等号同时成立时，原式取最小值，故当且仅当x＝y＝时原式取最小值4．3．D解析：方法一：特值法，如取a＝4，b＝1，代入各选项中的不等式，易判断只有≥不成立．方法二：可逐项使用均值不等式判断A：a＋b＋≥2＋≥2＝2，不等式成立．BHYPERLINK：∵a＋b≥2>0，＋≥2>0，相乘得(a＋b)(＋)≥4成立．C：∵a2＋b2＝(a＋b)2－2ab≥(a＋b)2－2＝2，又≤≥，∴≥a＋b成立．D：∵a＋b≥2≤，∴≤＝，即≥不成立．4．D解析:因为f(x)是奇函数，则f(－x)＝－f(x)，＜0Oyx－11＜0xf(x)＜0，满足x与f(x)异号的x的集合为所求．(第4题)因为f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且f(1)＝0，画出f(x)在(0，＋∞)的简图如图，再根据f(x)是奇函数的性质得到f(x)在(－∞，0)的图象．由f(x)的图象可知，当且仅当x∈(－1，0)∪(0，1)时，x与f(x)异号．5．C解析：由0＜x＜，有sinx＞0，cosx＞0．f(x)＝＝＝＋≥2＝4，当且仅当＝，即tanx＝时，取“＝”．∵0＜x＜，∴存在x使tanx＝，这时f(x)min＝4．6．B解析：∵a＋b＝2，故3a＋3b≥2＝2＝6，当且仅当a＝b＝1时取等号．故3a＋3b的最小值是6．7．A解析：不等式组表示的平面区域为如图所示阴影部分△ABC．由得A(1，1)，又B(0，4)，C(0，)．由于直线y＝kx＋过点C(0，)，设它与直线3x＋y＝4的交点为D，则由S△BCD＝S△ABC，知D为AB的中点，即xD＝，∴yD＝，∴＝k×＋，k＝．8．A解析：设P点的坐标为(x0，y0)，则解得∴点P坐标是(－5，1)．9．B解析：当直线mx＋y＝z与直线AC平行时，线段AC上的每个点都是最优解．∵kAC＝＝－，∴－m＝－，即m＝．10．D解析：由x＋＝(x－1)＋＋1，∵x＞1，∴x－1＞0，则有(x－1)＋＋1≥2＋1＝3，则a≤3．二、填空题(第11题)11．24．解析：不等式(x－y＋5)(x＋y)≥0可转化为两个二元一次不等式组．(x－y＋5)(x＋y)≥00≤x≤3x－y＋5≤0x＋y≤00≤x≤3x－y＋5≥0x＋y≥00≤x≤3或这两个不等式组所对应的区域面积之和为所求．第一个不等式组所对应的区域如图，而第二个不等式组所对应的区域不存在．图中A(3，8)，B(3，－3)，C(0，5)，阴影部分的面积为＝24．12．．解析：若z＝ax＋y(a＞0)仅在点(3，0)处取得最大值，则直线z＝ax＋y的倾斜角一定小于直线x＋2y－3＝0的倾斜角，直线z＝ax＋y的斜率就一定小于直线x＋2y－3＝0的斜率，可得：－a＜－，即a＞．13．ab≥9．解析：由于a，b均为正数，等式中含有ab和a＋b这个特征，可以设想使用≥构造一个不等式．∵ab＝a＋b＋3≥＋3，即ab≥＋3(当且仅当a＝b时等号成立)，∴()2－－3≥0，∴(－3)(＋1)≥0，∴≥3，即ab≥9(当且仅当a＝b＝3时等号成立)．14．(＋)2．解析：由已知，均为正数，∴x＋y＝(x＋y)(＋)＝a＋b＋＋≥a＋b＋＝a＋b＋2，即x＋y≥(＋)2，当且仅当即时取等号．15．8．解析：因为y＝logax的图象恒过定点(1，0)，故函数y＝loga(x＋3)－1的图象恒过定点A(－2，－1)，把点A坐标代入直线方程得m(－2)＋n(－1)＋1＝0，即2m＋n＝1，而由mn＞0知，均为正，∴＋＝(2m＋n)(＋)＝4＋＋≥4＋＝8，当且仅当即时取等号．16．．解析：设该厂第一年的产值为a，由题意，a(1＋p)2＝a(1＋p1)(1＋p2)，且1＋p1＞0，1＋p2＞0，所以a(1＋p)2＝a(1＋p1)(1＋p2)≤a＝a，解得p≤，当且仅当1＋p1＝1＋p2，即p1＝p2时取等号．所以p的最大值是．三、解答题17．解：令x＋1＝t＞0，则x＝t－1，y＝＝＝t＋＋5≥＋5＝9，当且仅当t＝，即t＝2，x＝1时取等号，故x＝1时，y取最小值9．18．解：因为直线l经过点P(3，2)且与x轴y轴都相交，xOAyP(3,2)B(第18题)故其斜率必存在且小于0．设直线l的斜率为k，则l的方程可写成y－2＝k(x－3)，其中k＜0．令x＝0，则y＝2－3k；令y＝0，则x＝－＋3．S△AOB＝(2－3k)(－＋3)＝≥＝12，当且仅当(－9k)＝(－)，即k＝－时，S△AOB有最小值12，所求直线方程为y－2＝－(x－3)，即2x＋3y－12＝0．(第18题)19．解：设生产甲产品吨，生产乙产品吨，则有关系：A原料用量B原料用量甲产品x吨3x2x乙产品y吨y3y则有，目标函数z＝5x＋3y作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标，可知当x＝3，y＝4时可获得最大利润为27万元.20．解：(1)∵x＜，∴4x－5＜0，故5－4x＞0．y＝4x－1＋＝－(5－4x＋)＋4．∵5－4x＋≥＝2，∴y≤－2＋4＝2，当且仅当5－4x＝，即x＝1或x＝(舍)时，等号成立，故当x＝1时，ymax＝2．(2)∵x＞0，y＞0，＋＝1，∴x＋y＝(＋)(x＋y)＝＋＋10≥2＋10＝6＋10＝16．当且仅当＝，且＋＝1，即时等号成立，∴当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16．(3)a＝a＝·a≤＝，当且仅当a＝，即a＝，b＝时，a有最大值．