积分常用公式一． 基本不定积分公式：1．2．)3．4．5．6．7．8．9．10．11．12．（或）13．（或）14．15．二． 常用不定积分公式和积分方法：1．2．3．4．5．6．7．8．9．10．11．第一类换元积分法（凑微分法）：12．第二类换元积分法（典型代换：三角代换、倒代换、根式代换）：注：要求代换单调且有连续的导数，且“换元须还原”13．分部积分法(典型题特征：被积函数是两类不同函数的乘积，且任何一个函数不能为另一个函数凑微分)14．万能置换公式（针对三角有理函数的积分。“尽管万能但往往很繁，尽量不用”）：令，则，，15．有理真分式分解定理：(1).分母中如果有因式（为正整数），则分解式中有下列个最简分式之和：（都是常数） (2)分母中如果有因式（为正整数），其中，则分解式中有下列个最简分式之和：（，都是常数）三． 积分时常用的三角恒等变换公式：1．2．3．4．5．6．7．8．四． 定积分的性质1．2．3．定积分对积分区间具有可加性：（、、大小任意）4．保号性：若在上，，则推论1：若在上，，则推论2：若在上可积，则在区间上也可积，且5．估值定理：若在上，，则6．积分中值定理：若在上连续，则至少存在一点，使得注：可以证明当上述或时，必另有，使得7．广义积分中值定理（教材P270例7）：若和在上连续，且不变号，则至少存在一点，使得五． 微积分基本定理：1． 变上限积分函数的导数：若在上连续，则函数在上可导，且推论1：若在上连续，在上可导，则推论2：若在上连续，、在上可导，则提示：当被积
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达式中有变量时，求变上限积分函数对的导数时，一定要先设法把从被积表达式中消掉（此时把看作常数，或从积分号中提出去或换元消除）2． 牛顿——莱布尼兹公式：设在上连续，为在上的任意一个原函数，则即可，以此类推。六． 定积分的计算方法和常用定积分公式：1． 定积分换元法：设在上连续，做代换，若连续，当在(或)上变化时，的值在上变化，且，，则“换元必换限”2． 分部积分法：3． 对称性：若在上连续，则当为偶函数时，当为奇函数时，4． 设是周期为的周期函数，则在任何长度为一个周期的区间上定积分的值都相等，即5． 6． 七． 定积分的几何应用：（要求掌握微元法、充分利用对称性）1． 平面图形的面积：（步骤：一画草图，二求交点，三选积分变量，四分析微元，五列出定积分表达式，六计算定积分）(1) 直角坐标系下的面积公式：若平面图形由曲线，（），直线及（）围成，则若平面图形由曲线，（），直线及（）围成，则(2) 曲边由参数方程表示的曲边梯形的面积公式：（看作为定积分的变量代换、下限未必比上限小）若平面图形由曲线，直线、（）及轴围成的曲边梯形，则，其中，(3) 极坐标系下的面积公式：若平面图形由曲线，射线及（）围成的曲边扇形，则2． 立体的体积(1) 已知平行截面的面积，求立体的体积：已知立体垂直于轴的截面面积为，，则(2) 旋转体的体积(a) 由曲线，直线、（）及轴围成的曲边梯形绕轴旋转形成的旋转体的体积（薄片法）(b) 由曲线，（）直线及（）围成的图形绕轴旋转形成的旋转体的体积（薄片法）由曲线，（）直线及（）围成的图形绕轴旋转形成的旋转体的体积（柱壳法）(c) 由曲线，直线、（）及轴围成的曲边梯形绕轴旋转形成的旋转体的体积（薄片法）(d) 由曲线，（）直线及（）围成的图形绕轴旋转形成的旋转体的体积（薄片法）由曲线，（）直线及（）围成的图形绕轴旋转形成的旋转体的体积（柱壳法）3． 平面曲线的弧长(a) 直角坐标系下的弧长公式或(b) 参数方程下的弧长公式(c) 极坐标系下的弧长公式八．定积分的物理应用（微元法分析）1．变力做功（用到的中学物理公式（功常力距离））2．液体的侧压力（用到的中学物理公式（压力压强面积），（压强密度重力加速度深度））3．引力（用到的中学物理公式，注意：当力的方向变化时，不能直接用定积分，要分解到各坐标轴上再用定积分）九. 广义积分：1．无穷区间上的广义积分：设在下列给定的区间上连续，是的一个原函数，则(1),其中，(2)，其中(3)，其中，若上述极限(都)存在，则称广义积分收敛，否则称广义积分发散。2．无界函数的广义积分（瑕积分）：若或，则称为的瑕点。(1)设在上连续，为瑕点，则(2)设在上连续，为瑕点，则(3)设在上除点（）外处处连续，为瑕点，则若上述极限(都)存在，则称广义积分收敛，否则称广义积分发散。
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