TheponywasrevisedinJanuary2021专题立体几何中的常见模型续和动点问题专题补充之--立体几何中的常见模型和动点问题【学习目标】1.继续上节课的常见模型；2.掌握立体几何中的动点问题的基本处理方法【学习重点】动点问题的几种类型【学习过程】一、接上节课（立体几何中的常见模型）：四．首尾连接的异面直线模型例11.若异面直线所成的角为,AB是公垂线,E,F分别是异面直线上到A,B距离为2和1的两点,当时,线段AB的长为.例12.已知在一个60°的二面角的棱上，如图有两个点A，B，AC，BD分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段，且AB＝4cm，AC＝6cm，BD＝8cm，则CD的长为________．五．害羞的异面直线模型例13.在棱长都相等的四面体中，、分别是棱、的中点，连结、，如图所示，求异面直线、所成角的余弦值．七．四个面都是直角三角形的模型例14.如图，是⊙的直径，垂直于⊙所在的平面，是圆周上不同于的一动点。求证：平面平面；若，过作于，于，求截面三角形面积的最大值，以及此时点的位置（用的长
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示）。在第（2）问的条件下，求二面角的大小。（4）在第（2）问的条件下求其外接球的体积。八．三个面两两垂直的模型例15.已知PA，PB，PC两两互相垂直，且△PAB、△PAC、△PBC的面积分别为1.5cm2，2cm2，6cm2，则过P，A，B，C四点的外接球的表面积为▲cm2．（注，其中r为球半径）九．三垂线模型例16.看下面正方体中的两个问题。十．从一点引射线，三线模型，看下面几个问题先复习三余弦公式__________________.例17.看下面一个问题：自己画图。二、立体几何中的动点问题求动点轨迹问题这类问题往往是先利用题中条件把立几问题转化为平面几何问题，再判断动点轨迹。04年高考北京、天津、重庆都各有一个选择题考查了动点轨迹问题。例1（天津8）如图，定点A和B都在平面内，定点，，C是内异于A和B的动点，且。那么，动点C在平面内的轨迹是（）A.一条线段，但要去掉两个点B.一个圆，但要去掉两个点例1题图ABCPC.一个椭圆，但要去掉两个点D.半圆，但要去掉两个点解析：由三垂线定理的逆定理得∵AC⊥PC且PC在内的射影为BC，∴AC⊥BC.∴∠ACB=900.∴C点的轨迹为以AB为直径圆，但除去A、B两点.动点与某点（面）的距离问题例2．正方体中，棱长为a，E是的中点，OE例2题图ABCDA1C1D1B1M在对角面上找一动点M，使AM+ME最小.解析：设AC∩BD=O，则AO=CO．∴平面是线段AC的垂直平分面，∴C是A关于平面的对称点。连CE交面于M，则M就是要求的点，这时AM+ME最小。又AM=CM,∴AM+ME的最小值就是CE的长，而=,此时AM+ME的最小值为．简评：本题先
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平面是线段AC的垂直平分面，然后利用C是A关于平面的对称点，所以AM=CM,AM+ME的最小值，即为CM+ME的最小值，即CE的长，所以M点为CE和平面的交点。直线与平面（或直线）垂直问题例3．（湖北理20）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=，BC=1，PA=2，E为PD的中点.（Ⅰ）求直线AC与PB所成角的余弦值；（Ⅱ）在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，并求出N点到AB和AP的距离.解析：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，则A、B、C、D、P、E的坐标为A（0，0，0）、B（，0，0）、C（，1，0）、D（0，1，0）、P（0，0，2）、E（0，，1），从而设的夹角为θ，则NzxyODE例3题图（2）ABCPDE例3题图（1）ABCP∴AC与PB所成角的余弦值为.（Ⅱ）由于N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为（x，O，z），则，由NE⊥面PAC可得，∴即N点的坐标为，从而N点到AB、AP的距离分别为1，.简评：本题主要考查线面关系和四棱锥等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力.由于N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为（x，O，z），然后利用NE⊥面PAC，有求得动点N的坐标为.直线与平面（或直线）平行问题例4.如图，已知在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，∠ABC=600，PA=AC=a，PB=PD=a点E在PD上，且PE：ED=2：1.在棱PC上有一动点F，当动点F移动到何处时，使BF∥平面AEC证明你的结论。xABCPDEFzy例4题图解析：由题意知PA⊥平面ABCD，以A为坐标原点，直线AD、AP分别为y轴、z轴，过点A垂直平面PAD的直线为x轴，建立空间直角坐标系。则A（0，0，0）、B（a，-a，0）、C（a，a，0）、D（0，a，0）、P（0，0，a）、E（0，a，a），所以=（0，a，a），=（a，a，-a），=（-a，a，a），=（a，a，0），=（0，0，a），设点F是棱PC上的点，=λ=（aλ，aλ，-aλ），其中0<λ<1,则=（-a，a，a）+（aλ，aλ，-aλ）=（a（λ-1），a（1+λ），a（1-λ））.令=λ1+λ2,则此时,F为棱PC的中点.又BF平面AEC，所以当F是棱的中点时，BF∥平面AEC.简评：本题主要考查共面向量定理，令=λ1+λ2,由题意得到又BF平面AEC，说明BF∥平面AEC.此时F为棱PC的中点.平面与平面垂直问题EFGHDABC例5题图P例5.如图，在正三棱锥A—BCD中，∠DAC=30°，AB=a,平行于AD、BC的截面EFGH分别交AB、BD、DC、CA于点E、F、G、H.设P是棱AD上的动点，当AP为何值时，平面PBC⊥平面EFGH，请给出证明.解：作CP⊥AD于P点，连结BP，∵AD⊥BC，∴AD⊥面BCP∵HG∥AD，∴HG⊥面BCP，HG面EFGH.∴.面BCP⊥面EFGH，在Rt△APC中，∠CAP=30°，AC=a,∴AP=a.简评：本题主要考查面面垂直的判定，作CP⊥AD找到P点，使AD⊥面BCP.由HG∥AD得到HG⊥面BCP，进而得到面BCP⊥面EFGH，从而求得AP=a.
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