第八章 第八节　曲线与方程

教材·知识·四基考点·考法·探究创新·应用·提能限时规范训练大一轮复习·数学·RJ（理）第八节　曲线与方程教材·知识·四基考点·考法·探究创新·应用·提能限时规范训练大一轮复习·数学·RJ（理）教材·知识·四基考点·考法·探究创新·应用·提能限时规范训练大一轮复习·数学·RJ（理）曲线上点的坐标都是这个方程的解以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点教材细梳理知识点1　“曲线的方程”与“方程的曲线”在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1)_______________________________________．(2)_______________________________________．那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．教材·知识·四基考点·考法·探究创新·应用·提能限时规范训练大一轮复习·数学·RJ（理）点的集合f(x，y)＝0知识点2　坐标法(1)用坐标 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示点，把曲线看成____________所成的轨迹．(2)用曲线上点的坐标(x，y)满足的方程____________表示曲线．(3)通过研究方程的性质间接地研究曲线的性质．教材·知识·四基考点·考法·探究创新·应用·提能限时规范训练大一轮复习·数学·RJ（理）建系设点列式代换 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 知识点3　求动点轨迹方程的步骤(1)____________——建立适当的坐标系．(2)____________——设轨迹上的任一点P(x，y)．(3)____________——列出动点P所满足的关系式．(4)____________——依关系式的特点，选用距离 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 、斜率公式等将其转化为关于x，y的方程，并化简．(5)____________——证明所得方程即为符合条件的动点轨迹方程．教材·知识·四基考点·考法·探究创新·应用·提能限时规范训练大一轮复习·数学·RJ（理）知识点4　求动点轨迹方程的常用方法(1)直接法．即根据 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 目条件，写出关于动点的几何关系并用坐标表示，再进行整理、化简．(2)定义法．先根据已知条件判断动点的轨迹形状，然后根据曲线的定义直接求动点的轨迹方程．(3)代入法．也叫相关点法，其特点是，动点M(x，y)与已知曲线C上的点(x′，y′)相关联，可先用x，y表示x′、y′，再代入曲线C的方程，即得点M的轨迹方程．(4)参数法．选取适当的参数，分别用参数表示动点坐标(x，y)，消去参数，即得其普通方程．教材·知识·四基考点·考法·探究创新·应用·提能限时规范训练大一轮复习·数学·RJ（理）√×××四基精演练1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充要条件．(　　)(2)方程x2＋xy＝x的曲线是一个点和一条直线．(　　)(3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2＝y2.(　　)(4)方程y＝eq\r(x)与x＝y2表示同一曲线．(　　)教材·知识·四基考点·考法·探究创新·应用·提能限时规范训练大一轮复习·数学·RJ（理）C2．(知识点1)到点F(0，4)的距离比到直线y＝－5的距离小1的动点M的轨迹方程为(　　)　eq\a\vs4\al(⇐\x(源自选修2－1P36例3))A．y＝16x2　　　　　　　B．y＝－16x2C．x2＝16yD．x2＝－16y教材·知识·四基考点·考法·探究创新·应用·提能限时规范训练大一轮复习·数学·RJ（理）3．(知识点2)已知△ABC的顶点B(0，0)，C(5，0)，AB边上的中线长|CD|＝3，则顶点A的轨迹方程为________．　eq\a\vs4\al(⇐\x(源自选修2－1P35例2))答案：(x－10)2＋y2＝36(y≠0)教材·知识·四基考点·考法·探究创新·应用·提能限时规范训练大一轮复习·数学·RJ（理）4．(知识点2)已知圆x2＋y2＝4上点M(1，eq\r(3))，满足eq\o(OM,\s\up10(→))·eq\o(PM,\s\up10(→))＝0的P点的轨迹方程为________．　eq\a\vs4\al(⇐\x(源自选修2－1P37A组T4))答案：x＋eq\r(3)y－4＝0教材·知识·四基考点·考法·探究创新·应用·提能限时规范训练大一轮复习·数学·RJ（理）C考点一　定义法求轨迹(方程)[基础练通]1．[一题多解]已知△ABC的顶点A(－5，0)，B(5，0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是(　　)A.eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1　　　　　　　B．eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1C.eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1(x＞3)D．eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1(x＞4)教材·知识·四基考点·考法·探究创新·应用·提能限时规范训练大一轮复习·数学·RJ（理）解析：选C.解法一：如图，|AD|＝|AE|＝8，|BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|，所以|CA|－|CB|＝8－2＝6＜10＝|AB|.根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支(y≠0)，方程为eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1(x＞3)．解法二：选C.由题意知，点C不能在x轴上，故排除A，B；又因为|CA|－|CB|＝8－2＝6，故排除D.教材·知识·四基考点·考法·探究创新·应用·提能限时规范训练大一轮复习·数学·RJ（理）2．已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，则圆心P的轨迹方程为________．解析：因为圆P与圆M外切且与圆N内切，|PM|＋|PN|＝(R＋1)＋(3－R)＝1＋3＝4，由椭圆的定义可知，圆心P的轨迹是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为eq\r(3)的椭圆(左顶点除外)，其方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1(x≠－2)．答案：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1(x≠－2)教材·知识·四基考点·考法·探究创新·应用·提能限时规范训练大一轮复习·数学·RJ（理）定义法求轨迹方程及其注意点1．所求的轨迹符合某种曲线(圆、椭圆、双曲线、抛物线)的定义．2．要看轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制．教材·知识·四基考点·考法·探究创新·应用·提能限时规范训练大一轮复习·数学·RJ（理）考点二　直接法求轨迹(方程)[创新贯通] 命题点1 已知动点满足的等量关系求轨迹方程[例1]　已知动点P(x，y)与两定点M(－1，0)，N(1，0)连线的斜率之积等于常数λ(λ≠0)．(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)试根据λ的取值情况讨论轨迹C的形状．教材·知识·四基考点·考法·探究创新·应用·提能限时规范训练大一轮复习·数学·RJ（理）解：(1)由题意可知，直线PM与PN的斜率均存在且均不为零，所以kPM·kPN＝eq\f(y,x＋1)·eq\f(y,x－1)＝λ，整理得x2－eq\f(y2,λ)＝1(λ≠0，x≠±1)．即动点P的轨迹C的方程为x2－eq\f(y2,λ)＝1(λ≠0，x≠±1)．(2)当λ＞0时，轨迹C为中心在原点，焦点在x轴上的双曲线(除去顶点)；教材·知识·四基考点·考法·探究创新·应用·提能限时规范训练大一轮复习·数学·RJ（理）当－1＜λ＜0时，轨迹C为中心在原点，焦点在x轴上的椭圆(除去长轴的两个端点)；当λ＝－1时，轨迹C为以原点为圆心，1为半径的圆除去点(－1，0)，(1，0)．当λ＜－1时，轨迹C为中心在原点，焦点在y轴上的椭圆(除去短轴的两个端点).教材·知识·四基考点·考法·探究创新·应用·提能限时规范训练大一轮复习·数学·RJ（理） 命题点2 无明确的等量关系求轨迹方程[例2]　(2018·大同模拟)与y轴相切并与圆C：x2＋y2－6x＝0外切的圆的圆心的轨迹方程为________．教材·知识·四基考点·考法·探究创新·应用·提能限时规范训练大一轮复习·数学·RJ（理）解析：当动圆在y轴右侧时，如图动圆圆心P到(3，0)的距离等于P到定直线x＝－3的距离(3＋r)，所以P点的轨迹是以(3，0)为焦点的抛物线．其方程为y2＝12x(x＞0)．当动圆在y轴左侧时，其圆心在x轴的负半轴上，其方程为y＝0(x＜0)．答案：y2＝12x(x＞0)或y＝0(x＜0)教材·知识·四基考点·考法·探究创新·应用·提能限时规范训练大一轮复习·数学·RJ（理）直接法求曲线方程的关注点1．关键点：直接法求曲线方程的关键就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性．通常将步骤简记为建系、设点、列式、代换、化简、证明这几个步骤，但最后的证明可以省略．2．注意点：求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性．[提醒]　对方程化简时，只要前后方程解集相同，证明可以省略，必要时可说明x，y的取值范围．教材·知识·四基考点·考法·探究创新·应用·提能限时规范训练大一轮复习·数学·RJ（理）1．两定点A(－4，0)，B(4，0)及定直线l：x＝5，点P是l上一个动点，过B作BP的垂线与AP交于点Q，则点Q的轨迹方程为________．教材·知识·四基考点·考法·探究创新·应用·提能限时规范训练大一轮复习·数学·RJ（理）解析：设点P(5，y0)，点Q(x，y)，则kBP＝eq\f(y0,5－4)＝y0，kBQ＝eq\f(y,x－4)，因为BP⊥BQ，所以y0·eq\f(y,x－4)＝－1，即x＋y0y－4＝0.因为A，P，Q三点共线，所以eq\f(y0,5＋4)＝eq\f(y,x＋4)，即y0＝eq\f(9y,x＋4)，代入x＋y0y－4＝0，得x2＋9y2＝16.故点Q的轨迹方程为x2＋9y2＝16.答案：x2＋9y2＝16教材·知识·四基考点·考法·探究创新·应用·提能限时规范训练大一轮复习·数学·RJ（理）2．在平面直角坐标系中，已知点A(1，0)，B(4，0)，若点P满足条件|PA|＝eq\f(1,2)|PB|，则点P到直线x－y＋4eq\r(2)＝0的最近距离是________．解析：设点P(x，y)，由|PA|＝eq\f(1,2)|PB|，得(x－1)2＋y2＝eq\f(1,4)[(x－4)2＋y2]，化简得x2＋y2＝4，由圆心(0，0)到直线x－y＋4eq\r(2)＝0的距离为d＝eq\f(4\r(2),\r(2))＝4，则P到直线x－y＋4eq\r(2)＝0的最近距离为4－2＝2.答案：2教材·知识·四基考点·考法·探究创新·应用·提能限时规范训练大一轮复习·数学·RJ（理）考点三　相关点法求轨迹方程[探究变通][例3]　(1)(2018·银川模拟)动点A在圆x2＋y2＝1上移动时，它与定点B(3，0)连线的中点的轨迹方程是________．解析：设中点M(x，y)，由中点坐标公式，可得A(2x－3，2y)，因为点A在圆上，将点A的坐标代入圆的方程，得轨迹方程为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))eq\s\up12(2)＋y2＝eq\f(1,4).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))eq\s\up12(2)＋y2＝eq\f(1,4)教材·知识·四基考点·考法·探究创新·应用·提能限时规范训练大一轮复习·数学·RJ（理）(2)设F(1，0)，M点在x轴上，P点在y轴上，且eq\o(MN,\s\up10(→))＝2eq\o(MP,\s\up10(→))，eq\o(PM,\s\up10(→))⊥eq\o(PF,\s\up10(→))，当点P在y轴上运动时，点N的轨迹方程为________．解析：设M(x0，0)，P(0，y0)，N(x，y)，eq\o(PM,\s\up10(→))⊥eq\o(PF,\s\up10(→))，eq\o(PM,\s\up10(→))＝(x0，－y0)，eq\o(PF,\s\up10(→))＝(1，－y0)，所以(x0，－y0)·(1，－y0)＝0，所以x0＋yeq\o\al(2,0)＝0.由eq\o(MN,\s\up10(→))＝2eq\o(MP,\s\up10(→))得(x－x0，y)＝2(－x0，y0)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－x0＝－2x0，,y＝2y0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝－x，,y0＝\f(1,2)y，))教材·知识·四基考点·考法·探究创新·应用·提能限时规范训练大一轮复习·数学·RJ（理）所以－x＋eq\f(y2,4)＝0，即y2＝4x.故所求的点N的轨迹方程是y2＝4x.答案：y2＝4x教材·知识·四基考点·考法·探究创新·应用·提能限时规范训练大一轮复习·数学·RJ（理）[母题变式]若本例(1)变为：过A点向y轴作垂线段AB，求AB中点的轨迹方程．解：设AB的中点为(x，y)，则A(2x，y)在x2＋y2＝1上，∴AB中点的轨迹方程为4x2＋y2＝1.教材·知识·四基考点·考法·探究创新·应用·提能限时规范训练大一轮复习·数学·RJ（理）相关点法求轨迹方程的步骤1．明确主动点(已知曲线上的动点)P(x0，y0)，被动点( 要求 对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗 轨迹的动点)M(x，y)．2．寻求关系式x0＝f(x，y)，y0＝g(x，y)．3．将x0，y0代入已知曲线方程．教材·知识·四基考点·考法·探究创新·应用·提能限时规范训练大一轮复习·数学·RJ（理）C3．已知F1，F2分别为椭圆C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的左，右焦点，点P为椭圆C上的动点，则△PF1F2的重心G的轨迹方程为(　　)A.eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,27)＝1(y≠0)　　B．eq\f(4x2,9)＋y2＝1(y≠0)C.eq\f(9x2,4)＋3y2＝1(y≠0)D．x2＋eq\f(4y2,3)＝1(y≠0)教材·知识·四基考点·考法·探究创新·应用·提能限时规范训练大一轮复习·数学·RJ（理）解析：选C.依题意知F1(－1，0)，F2(1，0)，设P(x0，y0)，G(x，y)，则由三角形重心坐标关系可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(x0－1＋1,3)，,y＝\f(y0,3).))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝3x，,y0＝3y.))代入2,0)eq\f(x,4)＋2,0)eq\f(y,3)＝1得重心G的轨迹方程为eq\f(9x2,4)＋3y2＝1(y≠0)．教材·知识·四基考点·考法·探究创新·应用·提能限时规范训练大一轮复习·数学·RJ（理）从轨迹角度探究圆锥曲线的“第三定义”如果将椭圆、双曲线的定义研究的问题变为：求平面内到两定点斜率之积为定值的动点的轨迹，结果如何？教材·知识·四基考点·考法·探究创新·应用·提能限时规范训练大一轮复习·数学·RJ（理）[例4]　如图，设点A，B的坐标分别为(－5，0)，(5，0)，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是－eq\f(4,9)，求点M的轨迹方程．教材·知识·四基考点·考法·探究创新·应用·提能限时规范训练大一轮复习·数学·RJ（理）解：设点M的坐标为(x，y)，因为点A，B的坐标分别为(－5，0)，(5，0)，则直线AM，BM的斜率分别为kAM＝eq\f(y,x＋5)(x≠－5)，kBM＝eq\f(y,x－5)(x≠5)．由已知有kAM·kBM＝eq\f(y,x＋5)·eq\f(y,x－5)＝－eq\f(4,9)(x≠±5)，化简，得点M的轨迹方程为eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,\f(100,9))＝1(x≠±5)．点M的轨迹是去掉长轴顶点的椭圆．教材·知识·四基考点·考法·探究创新·应用·提能限时规范训练大一轮复习·数学·RJ（理）[例5]　如图，点A，B的坐标分别是(－5，0)，(5，0)，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是eq\f(4,9)，求点M的轨迹方程．教材·知识·四基考点·考法·探究创新·应用·提能限时规范训练大一轮复习·数学·RJ（理）解：设点M的坐标为(x，y)，因为点A，B的坐标分别为(－5，0)，(5，0)，则直线AM，BM的斜率分别为kAM＝eq\f(y,x＋5)(x≠－5)，kBM＝eq\f(y,x－5)(x≠5)．由已知有kAM·kBM＝eq\f(y,x＋5)·eq\f(y,x－5)＝eq\f(4,9)(x≠±5)，化简，得点M的轨迹方程为eq\f(x2,25)－eq\f(y2,\f(100,9))＝1(x≠±5)．点M的轨迹是去掉顶点的双曲线．教材·知识·四基考点·考法·探究创新·应用·提能限时规范训练大一轮复习·数学·RJ（理）[例6]　已知△ABC的两个顶点A，B的坐标分别是(－5，0)，(5，0)，且AC，BC所在直线的斜率之积等于m(m≠0)，试探求顶点C的轨迹．教材·知识·四基考点·考法·探究创新·应用·提能限时规范训练大一轮复习·数学·RJ（理）解：设点C的坐标为(x，y)，因为点A，B的坐标分别为(－5，0)，(5，0)，则AC，BC的斜率分别为kAC＝eq\f(y,x＋5)(x≠－5)，kBC＝eq\f(y,x－5)(x≠5)．由已知有kAC·kBC＝eq\f(y,x＋5)×eq\f(y,x－5)＝m(m≠0，x≠±5)，则eq\f(x2,25)－eq\f(y2,25m)＝1(x≠±5)①当m＞0时，顶点C的轨迹为中心在原点，焦点在x轴上的双曲线(除去顶点)；②当－1＜m＜0时，顶点C的轨迹为中心在原点，焦点在x轴上的椭圆(除去左、右两个顶点)；教材·知识·四基考点·考法·探究创新·应用·提能限时规范训练大一轮复习·数学·RJ（理）③当m＝－1时，顶点C的轨迹为以原点为圆心，1为半径的圆(除去点(－5，0)，(5，0))；④当m＜－1时，顶点C的轨迹为中心在原点，焦点在y轴上的椭圆(除去左、右的两个顶点)．因此，平面内到两定点的斜率之积为常数的点的轨迹是圆锥曲线，我们形象地称之为圆锥曲线的“第三定义”．教材·知识·四基考点·考法·探究创新·应用·提能限时规范训练大一轮复习·数学·RJ（理）