2019年高考数学一轮复习专题讲座5解析几何在高考中的常见题型及解析-精编试题

备战高考，时不我待。专题讲座5解析几何在高考中的常见题型与求解策略1．(2016·长春质量检测)若F(c，0)是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点，过F作该双曲线一条渐近线的垂线与两条渐近线交于A，B两点，O为坐标原点，△OAB的面积为eq\f(12a2,7)，则该双曲线的离心率e＝(　　)A.eq\f(5,3)　　　　　　　　B.eq\f(4,3)C.eq\f(5,4)D.eq\f(8,5)解析：选C.设过第一、三象限的渐近线的倾斜角为θ，则tanθ＝eq\f(b,a)，tan2θ＝eq\f(2ab,a2－b2)，因此△OAB的面积可以表示为eq\f(1,2)·a·atan2θ＝eq\f(a3b,a2－b2)＝eq\f(12a2,7)，解得eq\f(b,a)＝eq\f(3,4)，则e＝eq\f(5,4).故选C.2．(2016·山西省考前质量检测)已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点E在C的准线上，且在x轴上方，线段EF的垂直平分线与C的准线交于点Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(3,2)))，与C交于点P，则点P的坐标为(　　)A．(1，2)B．(2，2eq\r(2))C．(3，2eq\r(3))D．(4，4)解析：选D.由题意，得抛物线的准线方程为x＝－1，F(1，0)．设E(－1，y)，因为PQ为EF的垂直平分线，所以|EQ|＝|FQ|，即y－eq\f(3,2)＝eq\r(（－1－1）2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))\s\up12(2))，解得y＝4，所以kEF＝eq\f(4－0,－1－1)＝－2，kPQ＝eq\f(1,2)，所以直线PQ的方程为y－eq\f(3,2)＝eq\f(1,2)(x＋1)，即x－2y＋4＝0.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2y＋4＝0，,y2＝4x，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝4，))即点P的坐标为(4，4)，故选D.3．已知F1、F2分别为椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1的左、右焦点，过椭圆的中心O任作一直线与椭圆交于P，Q两点，当四边形PF1QF2的面积最大时，eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))的值为________．解析：易知当P，Q分别是椭圆的短轴端点时，四边形PF1QF2的面积最大．由于F1(－eq\r(3)，0)，F2(eq\r(3)，0)，不妨设P(0，1)，所以eq\o(PF1,\s\up6(→))＝(－eq\r(3)，－1)，eq\o(PF2,\s\up6(→))＝(eq\r(3)，－1)，所以eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝－2.答案：－24．若双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线的倾斜角为eq\f(2π,3)，离心率为e，则eq\f(a2＋e2,2b)的最小值为________．解析：由题意，eq\f(b,a)＝eq\r(3)，所以b＝eq\r(3)a，所以c＝2a，e＝2，eq\f(a2＋e2,2b)＝eq\f(a2＋4,2\r(3)a)＝eq\f(a,2\r(3))＋eq\f(2,\r(3)a)≥eq\f(2\r(3),3)(当且仅当a＝2时取等号)，则eq\f(a2＋e2,2b)的最小值为eq\f(2\r(3),3).答案：eq\f(2\r(3),3)5.(2016·山西省四校联考)已知椭圆C：eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(\r(3),2)，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x－y＋eq\r(2)＝0相切．A、B是椭圆C的右顶点与上顶点，直线y＝kx(k>0)与椭圆相交于E、F两点．(1)求椭圆C的方程；(2)当四边形AEBF面积取最大值时，求k的值．解：(1)由题意知：e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2)，所以e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2－b2,a2)＝eq\f(3,4)，所以a2＝4b2.又圆x2＋y2＝b2与直线x－y＋eq\r(2)＝0相切，所以b＝1，所以a2＝4，故所求椭圆C的方程为x2＋eq\f(y2,4)＝1.(2)设E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，其中x1<x2，将y＝kx代入椭圆的方程x2＋eq\f(y2,4)＝1整理得：(k2＋4)x2＝4，故x2＝－x1＝eq\f(2,\r(k2＋4))，①因为A(1，0)，B(0，2)，故由两点式得直线AB的方程为：2x＋y－2＝0，设点E，F到直线AB的距离分别为h1，h2，则h1＝eq\f(|2x1＋kx1－2|,\r(5))＝eq\f(2（2＋k＋\r(k2＋4)）,\r(5（k2＋4）))，h2＝eq\f(|2x2＋kx2－2|,\r(5))＝eq\f(2（2＋k－\r(k2＋4)）,\r(5（k2＋4）))，|AB|＝eq\r(22＋1)＝eq\r(5)，所以四边形AEBF的面积为S＝eq\f(1,2)|AB|(h1＋h2)＝eq\f(1,2)×eq\r(5)×eq\f(4（2＋k）,\r(5（k2＋4）))＝eq\f(2（2＋k）,\r(k2＋4))＝2eq\r(\f(4＋k2＋4k,k2＋4))＝2eq\r(1＋\f(4k,k2＋4))＝2eq\r(1＋\f(4,k＋\f(4,k)))≤2eq\r(2)，当k2＝4(k>0)，即k＝2时，上式取等号．所以当四边形AEBF面积取最大值时，k＝2.6.(2016·河南省八校联考)已知点P(2，3)，Q(2，－3)在椭圆eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1上，A、B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点．(1)若直线AB的斜率为eq\f(1,2)，求四边形APBQ的面积的最大值；(2)当A、B运动时，满足∠APQ＝∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝eq\f(1,2)x＋t，把其代入eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1，得x2＋tx＋t2－12＝0，由Δ＝t2－4(t2－12)>0，解得－4<t<4，由根与系数的关系得x1＋x2＝－t，x1x2＝t2－12.四边形APBQ的面积S＝eq\f(1,2)×6×|x1－x2|＝3eq\r(48－3t2)，　所以当t＝0时，Smax＝12eq\r(3).(2)当∠APQ＝∠BPQ，则直线PA、PB的斜率之和为0，设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为－k，直线PA的方程为y－3＝k(x－2)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y－3＝k（x－2），,\f(x2,16)＋\f(y2,12)＝1，))得(3＋4k2)x2＋8(3－2k)kx＋4(3－2k)2－48＝0，则x1＋2＝eq\f(8（2k－3）k,3＋4k2)，同理直线PB的方程为y－3＝－k(x－2)，可得x2＋2＝eq\f(－8k（－2k－3）,3＋4k2)＝eq\f(8k（2k＋3）,3＋4k2)，所以x1＋x2＝eq\f(16k2－12,3＋4k2)，x1－x2＝eq\f(－48k,3＋4k2)，kAB＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(k（x1－2）＋3＋k（x2－2）－3,x1－x2)＝eq\f(k（x1＋x2）－4k,x1－x2)＝eq\f(1,2)，所以直线AB的斜率为定值eq\f(1,2).1．(2016·洛阳统考)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(1,2)，一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，直线l：y＝kx＋m与椭圆C相交于A，B两点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)设O为坐标原点，kOA·kOB＝－eq\f(b2,a2)，判断△AOB的面积是否为定值？若是，求出定值，若不是，说明理由．解：(1)由题意得c＝1，又e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，所以a＝2，从而b2＝a2－c2＝3，所以椭圆C的标准方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1,y＝kx＋m))得(3＋4k2)x2＋8mkx＋4(m2－3)＝0，由Δ＝(8mk)2－16(3＋4k2)(m2－3)>0得m2<3＋4k2.因为x1＋x2＝－eq\f(8mk,3＋4k2)，x1x2＝eq\f(4（m2－3）,3＋4k2)，所以y1y2＝(kx1＋m)·(kx2＋m)＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2＝eq\f(3（m2－4k2）,3＋4k2).由kOA·kOB＝－eq\f(b2,a2)＝－eq\f(3,4)得y1y2＝－eq\f(3,4)x1x2，　即eq\f(3（m2－4k2）,3＋4k2)＝－eq\f(3,4)·eq\f(4（m2－3）,3＋4k2)，化简得2m2－4k2＝3，满足Δ>0.由弦长公式得|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(\f(48（4k2－m2＋3）,（3＋4k2）2))＝eq\r(\f(24（1＋k2）,3＋4k2)).又点O到直线l：y＝kx＋m的距离d＝eq\f(|m|,\r(1＋k2))，所以S△AOB＝eq\f(1,2)·d·|AB|＝eq\f(1,2)eq\r(\f(24（1＋k2）,3＋4k2))·eq\f(|m|,\r(1＋k2))＝eq\f(1,2)eq\r(\f(24m2,3＋4k2))＝eq\r(\f(3×2m2,3＋4k2))＝eq\r(\f(3×（3＋4k2）,3＋4k2))＝eq\r(3).故△AOB的面积为定值eq\r(3).2．(2016·太原模拟)已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是点F1、F2，其离心率e＝eq\f(1,2)，点P为椭圆上的一个动点，△PF1F2面积的最大值为4eq\r(3).(1)求椭圆的方程；(2)若A、B、C、D是椭圆上不重合的四个点，AC与BD相交于点F1，eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝0，求|eq\o(AC,\s\up6(→))|＋|eq\o(BD,\s\up6(→))|的取值范围．解：(1)由题意得，当点P是椭圆的上、下顶点时，△PF1F2面积取最大值，此时S△PF1F2＝eq\f(1,2)·|F1F2|·|OP|＝bc，所以bc＝4eq\r(3)，因为e＝eq\f(1,2)，所以b＝2eq\r(3)，a＝4，所以椭圆的方程为eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1.(2)由(1)得椭圆的方程为eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1，则F1的坐标为(－2，0)，因为eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝0，所以AC⊥BD，①当直线AC与BD中有一条直线斜率不存在时，易得|eq\o(AC,\s\up6(→))|＋|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝6＋8＝14，②当直线AC的斜率k存在且k≠0时，则其方程为y＝k(x＋2)，设A(x1，y1)，C(x2，y2)，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝k（x＋2），,\f(x2,16)＋\f(y2,12)＝1，))消去y，得(3＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－48＝0，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝\f(－16k2,3＋4k2),x1x2＝\f(16k2－48,3＋4k2)))，所以|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\f(24（k2＋1）,3＋4k2)，此时直线BD的方程为y＝－eq\f(1,k)(x＋2)，同理，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(1,k)（x＋2），,\f(x2,16)＋\f(y2,12)＝1，))可得|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝eq\f(24（k2＋1）,3k2＋4)，所以|eq\o(AC,\s\up6(→))|＋|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝eq\f(24（k2＋1）,4k2＋3)＋eq\f(24（k2＋1）,3k2＋4)＝eq\f(168（k2＋1）2,（3k2＋4）（4k2＋3）)，令t＝k2＋1(k≠0)，则t>1，所以|eq\o(AC,\s\up6(→))|＋|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝eq\f(168,12＋\f(t－1,t2))，因为t>1，所以0<eq\f(t－1,t2)≤eq\f(1,4)，所以|eq\o(AC,\s\up6(→))|＋|eq\o(BD,\s\up6(→))|∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(96,7)，14)).由①②可知，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＋|eq\o(BD,\s\up6(→))|的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(96,7)，14)).PAGE