7．2 棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
(每小题5分，共5×6＝30分)
1．一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个三棱锥，则三棱锥的体积与原来长方体体积之比为( )
A．1：3 B．1：6
C．1：8 D．1：4
答案：B
解析：设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，
则V三棱锥＝
(
ab)c＝
.
又V长方体＝abc.故选B.
2．正四棱锥的侧棱长为2
，侧棱与其在底面上的射影所成的角为60°，则该棱锥的体积为( )
A．3 B．6
C．9 D．18
答案：B
解析：如图所示O为正四棱锥底面中心，∠PCO＝60°，PC＝2
，则在Rt△POC中，PO＝3，OC＝
，AC＝2
，AB＝
＝
，∴V锥＝
×
×
×3＝6，故选B.
3．若棱台的上、下底面面积分别为4,16，高为3，则该棱台的体积为( )
A．26 B．28
C．30 D．32
答案：B
解析：所求棱台的体积V＝
×(4＋16＋
)×3＝28.
4．已知某几何体的三视图如图所示，则它的体积为( )
A．12π B．45π
C．57π D．81π
答案：C
解析：该几何体的上部是一个圆锥，下部是一个圆柱，由三视图可得该几何体的体积V＝V圆锥＋V圆柱＝
×π×32×
＋π×32×5＝57π.故选C.
5．已知圆柱的侧面展开图的面积为S，底面周长为c，它的体积是( )
A.
B.
C.
D.
答案：D
解析：由题意知2πr＝c，所以r＝
.又因为ch＝S，所以h＝
.所以V＝πr2h＝π(
)2·
＝
，故选D.
6.
在△ABC中，AB＝2，BC＝1.5，∠ABC＝120°(如图所示)，若将△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的旋转体的体积是( )
A.
B.
C.
D.
答案：D
解析：从A点向BC作垂线，垂足为Q，所求旋转体的体积可视为两个圆锥的体积之差：V旋＝V大－V小＝
π(
)2×2.5－
π(
)2×1＝
π.
二、填空题(每小题5分，共5×3＝15分)
7．已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是________．
答案：4
解析：由俯视图与左视图，可知该三棱锥的底面积为
×4×3＝6，由左视图，可知该三棱锥的高为2，所以该三棱锥的体积为
×6×2＝4.
8．体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积是__________．
答案：54
解析：由题意知r R＝1 3，r、R分别为上、下底面的半径，故(V－52) V＝1 27，解出V＝54.
9．一个正方体和一个圆柱等高，并且侧面积也相等，则它们的体积大小关系是________．
答案：V正方体＜V圆柱
解析：设正方体棱长为a，则圆柱高为a，又设圆柱底面圆的半径为r，则4a2＝2πra，即r＝
.
∴V正方体＝a3，V圆柱＝πr2a＝
a3.
∵4＞π＞0，
∴V正方体＜V圆柱．
三、解答题(共35分，11＋12＋12)
10．已知三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝3，底面ABC是边长为2的正三角形，求三棱锥P－ABC的体积．
解：因为PA⊥底面ABC，且底面ABC是边长为2的正三角形，所以三棱锥P－ABC的体积V＝
×
×2×
×3＝
.
11．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2
，AD＝2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的体积．
解：如图，过C作CE垂直于AD，交AD延长线于E，
则所求几何体的体积可看成是由梯形ABCE绕AE旋转一周所得的圆台的体积，减去△EDC绕DE旋转一周所得的圆锥的体积．
所以所求几何体的体积V＝V圆台－V圆锥＝
π×(52＋5×2＋22)×4－
π×22×2＝
π.
12.
如图，A1A是圆柱的一条母线，AB是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上异于A，B的任意一点，A1A＝AB＝2.求三棱锥A1－ABC的体积的最大值．
解：因为VA1－ABC＝
S△ABC·AA1，而A1A＝2，要使得三棱锥A1－ABC的体积最大，只需三角形ABC的面积最大．
记AB边上的高为CD，则S△ABC＝
·AB·CD＝CD.
显然CD有最大值1，所以VA1－ABC＝
×CD×AA1≤
×1×2＝
.
故三棱锥A1－ABC的体积的最大值为
.
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