2018-2019学年最新高中数学人教A版选修4-1学案创新应用：第二讲一圆周角定理-含解析

一 圆周角定理 [对应学生用书P18] 1．圆周角定理 文字语言 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 图形语言 符号语言 在⊙O中， 所对的圆周角和圆心角分别是∠BAC，∠BOC，则有∠BAC＝ ∠BOC 作用 确定圆中两个角的大小关系     2．圆心角定理 文字语言 圆心角的度数等于它所对弧的度数 图形语言 符号语言 A，B是⊙O上两点，则弧 的度数等于∠AOB的度数 作用 确定圆弧或圆心角的度数     3．圆周角定理的推论 (1)推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等． (2)推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径． [说明]　(1)圆心角的度数和它所对的弧的度数相等，但并不是“圆心角等于它所对的弧”； (2)“相等的圆周角所对的弧也相等”的前提条件是“在同圆或等圆中”． [对应学生用书P18] 与圆周角定理相关的证明     [例1]　如图，已知：△ABC内接于⊙O，D、E在BC边上，且BD＝CE，∠1＝∠2，求证：AB＝AC. [思路点拨]　证明此题可先添加辅助线构造等弦、等弧的条件，再由圆周角定理及其推论证明． [证明]　如图，延长AD、AE分别交⊙O于F、G，连接BF、CG， ∵∠1＝∠2， ∴ ＝ ， ∴BF＝CG， ＝ ， ∴∠FBD＝∠GCE. 又∵BD＝CE， ∴△BFD≌△CGE，∴∠F＝∠G， ∴ ＝ ，∴AB＝AC. (1)有关圆的题目中，圆周角与它所对的弧经常相互转化，即欲证圆周角相等，可转化为证明它们所对的弧相等；要证线段相等可以转化为证明它们所对的弧相等，这是证明圆中线段相等的常见策略． (2)若已知条件中出现直径，则常用到“直径所对的圆周角为直角”这一性质解决问题． 1.如图，OA是⊙O的半径，以OA为直径的⊙C与⊙O的弦AB相交于点D. 求证：D是AB的中点． 证明：连接OD、BE. 因为∠ADO＝∠ABE＝90°， 所以OD和BE平行． 又因为O是AE的中点， 所以D是AB的中点． 2．已知AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆的直径． 求证：∠BAE＝∠DAC. 证明：连接BE， 因为AE为直径， 所以∠ABE＝90°. 因为AD是△ABC的高， 所以∠ADC＝90°. 所以∠ADC＝∠ABE. 因为∠E＝∠C， 所以∠BAE＝90°－∠E， ∠DAC＝90°－∠C. 所以∠BAE＝∠DAC. 3．已知⊙O中，AB＝AC，D是BC延长线上一点，AD交⊙O于E. 求证：AB2＝AD·AE. 证明：如图， ∵AB＝AC，∴ ＝ . ∴∠ABD＝∠AEB. 在△ABE与△ADB中， ∠BAE＝∠DAB， ∠AEB＝∠ABD， ∴△ABE∽△ADB. ∴ ＝ ，即AB2＝AD·AE. 利用圆周角进行计算     [例2]　如图，已知BC为半⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为D，BF交AD于E，且AE＝BE. (1)求证： ＝ ； (2)如果sin ∠FBC＝ ，AB＝4 ，求AD的长． [思路点拨]　BC为半⊙O的直径，连接AC，构造Rt△ABC. [解]　(1)证明：如图， 连接AC. ∵BC是半⊙O的直径， ∴∠BAC＝90°， 又AD⊥BC，垂足为D， ∴∠1＝∠3. 在△AEB中，AE＝BE， ∴∠1＝∠2. ∴∠2＝∠3，即A ＝A . (2)设DE＝3x， ∵AD⊥BC，sin∠FBC＝ ， ∴BE＝5x，BD＝4x. ∵AE＝BE， ∴AE＝5x，AD＝8x. 在Rt△ADB中，∠ADB＝90°，AB＝4 ， ∴(8x)2＋(4x)2＝(4 )2， 解得x＝1， ∴AD＝8. 与圆周角定理有关的线段的计算、角的计算，不仅可以通过计算弧、圆心角、圆周角的度数来求相关的角、线段，有时还可以通过三角形相似、解三角形等来计算． 4．如图，△ABC内接于⊙O，OD⊥BC于D，∠A＝50°，则∠OCD的度数是(  ) A．40°          　    B．25° C．50°      D．60° 解析：连接OB.因为∠A＝50°，所以弦BC所对的圆心角∠BOC＝100°，∠COD＝ ∠BOC＝50°，∠OCD＝90°－∠COD＝40°. 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 ：A 5.如图，△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E. (1)证明：△ABE∽△ADC； (2)若△ABC的面积S＝ AD·AE， 求∠BAC的大小． 解：(1)证明：由已知条件可得∠BAE＝∠CAD. 因为∠AEB与∠ACB是同弧上的圆周角， 所以∠AEB＝∠ACD. 故△ABE∽△ADC. (2)因为△ABE∽△ADC， 所以 ＝ ，即AB·AC＝AD·AE. 又S＝ AB·AC·sin ∠BAC，且S＝ AD·AE， 所以AB·AC·sin ∠BAC＝AD·AE. 则sin ∠BAC＝1. 又∠BAC为三角形内角， 所以∠BAC＝90°. [对应学生用书P20] 一、选择题 1．如图，在⊙O中，∠BOC＝50°，则∠A的大小为(  ) A．25°            B．50° C．75°      D．100° 解析：由圆周角定理得∠A＝ ∠BOC＝25°. 答案：A 2.如图所示，若圆内接四边形的对角线相交于E，则图中相似三角形有(  ) A．1对      B．2对 C．3对      D．4对 解析：由推论1知： ∠ADB＝∠ACB，∠ABD＝∠ACD， ∠BAC＝∠BDC，∠CAD＝∠CBD， ∴△AEB∽△DEC，△AED∽△BEC. 答案：B 3．Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝2 ，则此三角形外接圆半径为(  ) A.       B．2 C．2       D．4 解析：由推论2知AB为Rt△ABC的外接圆的直径，又AB＝ ＝4，故外接圆半径r＝ AB＝2. 答案：B 4.如图，已知AB是半圆O的直径，弦AD，BC相交于P，若CD＝3，AB＝4，则tan ∠BPD等于(  ) A.       B. C.       D. 解析：连接BD，则∠BDP＝90°. ∵△CPD∽△APB，∴ ＝ ＝ . 在Rt△BPD中，cos ∠BPD＝ ＝ ， ∴tan ∠BPD＝ . 答案：D 二、填空题 5．在⊙O中，已知∠ACB＝∠CDB＝60°，AC＝3，则△ABC的周长是________． 解析：由圆周角定理， 得∠A＝∠D＝∠ACB＝60°. ∴AB＝BC. ∴△ABC为等边三角形． ∴周长等于9. 答案：9 6．如图，AB为半圆O的直径，OC⊥AB，OD平分∠BOC，交半圆于点D，AD交OC于点E，则∠AEO的度数是________． 解析：因为OD平分∠BOC， 且∠BOC＝90°， 所以∠BOD＝ ∠BOC＝45°， 所以∠OAD＝ ∠BOD＝22.5°. 在Rt△AEO中，∠AOE＝90°， 则∠AEO＝90°－∠OAE＝67.5°. 答案：67.5° 7．如图所示，已知⊙O为△ABC的外接圆，AB＝AC＝6，弦AE交BC于D，若AD＝4，则AE＝________. 解析：连接CE，则∠AEC＝∠ABC， 又△ABC中，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∴∠AEC＝∠ACB， ∴△ADC∽△ACE， ∴ ＝ ， ∴AE＝ ＝9. 答案：9 三、解答题 8.(2012·江苏高考)如图，AB是圆O的直径，D，E为圆O上位于AB异侧的两点，连结BD并延长至点C，使BD＝DC，连结AC，AE，DE. 求证：∠E＝∠C. 解：连结OD，因为BD＝DC，O为AB的中点， 所以OD∥AC，于是∠ODB＝∠C. 因为OB＝OD，所以∠ODB＝∠B.于是∠B＝∠C. 因为点A，E，B，D都在圆O上，且D，E为圆O上位于AB异侧的两点，所以∠E和∠B为同弧所对的圆周角，故∠E＝∠B.所以∠E＝ ∠C. 9．如图，已知△ABC内接于圆，D为 中点，连接AD交BC于E.