构造函数
方法
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在导数中的应用
泉州现代中学高中数学组
在导数的学习中,我们有时需根据对条件和结论的分析,构造一个恰当的辅助函数,通过导数知识对辅助函数的性质进行探讨,化难为易,从而使原问题得到解决.这种方法称为构造函数法,该方法在比较大小、证明不等式、求参数的取值范围等问题中有着广泛的应用。证明不等式是导数的一个非常重要的应用，导数法解决这些问题的关键是根据不等式的结构特点，构造恰当的辅助函数，进而通过研究函数的单调性和最值，最终解决问题。运用构造函数法来解题是培养学生创造意识和创新思维的手段之一，同时对提高学生的解题能力也有所帮助。具体地说构造函数法就是根据题设条件和结论的特殊性，构造出一些新的函数，并借助它认识与解决原问题的一种思想方法。通过巧妙地构造辅助函数，把原来的问题转化为研究辅助函数的性质，从而达到解题目的。本文主要运用构造辅助函数的方法来比较大小、证明不等式、求参数的取值范围等问题。
一、 构造函数比较大小
例1． 对任意
，函数
的导数存在，若
且
，，则
的大小关系为
解析： 令
，则
，
所以
在Ｒ上为增函数，
因为
，所以
。 故
点评：此类问题，通常需要根据已知条件提供的与
有关的不等式，结合需比较大小的两个
表
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达式的特征构造函数，利用所构造函数的单调性进行大小比较。
二、 构造函数证明不等式
例２：设函数
,它们的图象在
轴上的公共点处有公切线.
求证:当
解析：因为
与
轴的公共点为(1,0),
的图象在
轴上的公共点处有公切线.所以
.故可得
令
, 由
所以
,所以
点评：在证明不等式时，通常根据要证明结论的特点合理的构造函数（不一定要把不等式右边的项全移到左边），将问题转化为证明新函数的最大值非正或最小值非负的问题来解决。
三、 构造函数求参数值
例3：已知函数
若方程
有唯一解，试求实数
的值。
解析：原方程等价于
令
则原方程
因为
且原方程有唯一解，
所以函数
的图象在
右侧有唯一的交点。 又
所以当
即
故
处取得极小值，此极小值也是最小值，因为当
且原方程有唯一解，所以
点评：对于方程解的个数问题，通常转化为函数图象交点的个数问题来处理，此时可构造合适的新函数，利用导数知识探讨该函数的性质（如单调性、极值情况等）再结合函数图象来解决。
四、 构造函数求参数范围
例4. 已知函数
。若对于任意的
都
有
成立，求实数
的取值问题
解析：对于任意的
都有
恒成立，
等价于
在
上恒成立。
令
，则
，
当
时，
即
在
上递增，
故
所以
在
上递增，
，所以
，即实数
的取值范围是
点评：对于含参不等式恒成立的问题，通常要先将参数从不等式中分离出来，通过构造新函数，将问题转化为使参数大于新函数的最大值或小于新函数的最小值的问题，再利用导数知识求解。
总之，构造函数具有较强的灵活性和创新性，在解数学题时，观察题目的特点，发现条件中的关系，结合所学函数以及数学问题所处的背景，灵活构造出符合题目特点的函数，必会事半功倍，收到意想不到的效果。
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