2004高考浙江卷理科数学试题及答案

2004年普通高等学校招生浙江卷理工类数学试题 第Ⅰ卷 (选择题 共60分) 一.选择题: 本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1) 若U={1,2,3,4}, M={1,2},N={2,3}, 则 =                   (A) {1,2,3}    (B) {2}        (C) {1,3,4}      (D) {4} (2) 点P从(1,0)出发,沿单位圆 逆时针方向运动 弧长到达Q点,则Q的坐标为 (A)         (B) ( (C) (           (D) ( (3) 已知等差数列 的公差为2,若 成等比数列, 则 = (A) –4      (B) –6      (C) –8    (D) –10 (4)曲线 关于直线x=2对称的曲线方程是 (A)       (B)   (C)     (D) (5) 设z=x—y ,式中变量x和y满足条件 则z的最小值为 (A) 1          (B) –1    (C) 3          (D) –3 (6) 已知复数 ,且 是实数,则实数t= (A)       (B)         (C) --     (D) -- (7) 若 展开式中存在常数项,则n的值可以是 (A) 8        (B) 9          (C) 10          (D) 12 (8)在ΔABC中,“A>30o”是“sinA> ”的 (A) 充分而不必要条件      (B) 必要而不充分条件 (C) 充分必要条件          (D) 既不充分也必要条件 (9)若椭圆 的左、右焦点分别为F1、F2，线段F1F2被抛物线y2=2bx的焦点分成5：3两段，则此椭圆的离心率为 （A）       （B）       （C）       （D） （10）如图，在正三棱柱ABC—A1B1C1中已知AB=1，D在棱BB1上，且BD=1，若AD与平面AA1C1C所成的角为α，则α= （A） （B） （C） （D） （11）设 是函数f(x)的导函数，y= 的图象 如图所示，则y= f(x)的图象最有可能的是 （12）若 和g(x)都是定义在实数集R上的函数，且方程 有实数解，则 不可能是 （A）   （B）     （C）   （D） 第Ⅱ卷 （非选择题 共90分） 二.填空题：三大题共4小题，每小题4分，满分16分。把答案填在题中横线上。 （13）已知 则不等式 ≤5的解集是        。 （14）已知平面上三点A、B、C满足 则 的值等于        。 （15）设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿x轴跳动，每次向正方向或负方向跳1个单位，经过5次跳动质点落在点（3，0）（允许重复过此点）处，则质点不同的运动方法共有        种（用数字作答）。 （16）已知平面α和平面交于直线 ，P是空间一点，PA⊥α，垂足为A，PB⊥β，垂足为B，且PA=1，PB=2，若点A在β内的射影与点B在α内的射影重合，则点P到 的距离为                  。 三. 解答题：本大题共6小题，满分74分。解答应写出文字说明， 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 过程或演算步骤。  （17）（本题满分12分） 在ΔABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且 。 （Ⅰ）求 的值； （Ⅱ）若 ，求bc的最大值。 （18） （本题满分12分） 盒子中有大小相同的球10个，其中标号为1的球3个，标号为2的球4个，标号为5的球3个，第一次从盒子中任取1个球，放回后第二次再任取1个球（假设取到每个球的可能性都相同）。记第一次与第二次取到球的标号之和为ε。 （Ⅰ）求随机变量ε的分布列； （Ⅱ）求随机变量ε的期望Eε。 （19）（本题满分12分） 如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直， AB= ，AF=1，M是线段EF的中点。 （Ⅰ）求证AM∥平面BDE； （Ⅱ）求二面角A—DF—B的大小； （20）（本题满分12分） 设曲线 ≥0）在点M（t,c--1）处的切线 与x轴y轴所围成的三角表面积为S（t）。 （Ⅰ）求切线 的方程； （Ⅱ）求S（t）的最大值。 （21）（本题满分12分） 已知双曲线的中心在原点，右顶点为A（1，0）点P、Q在双 曲线的右支上，支M（m,0）到直线AP的距离为1。 （Ⅰ）若直线AP的斜率为k，且 ，求实数m的 取值范围； （Ⅱ）当 时，ΔAPQ的内心恰好是点M，求此双曲 线的方程。 （22）（本题满分14分） 如图，ΔOBC的在个顶点坐标分别为（0,0）、（1,0）、（0,2）,设P为线段BC的中点,P为线段CO的中点,P3为线段OP1的中点,对于每一个正整数n,Pn+3为线段PnPn+1的中点,令Pn的坐标为(xn,yn), （Ⅰ）求 及 ; （Ⅱ）证明 (Ⅲ)若记 证明 是等比数列. 2004年普通高等学校招生浙江卷理工类数学试题 参考答案 一.选择题: 本大题共12小题,每小题5分,共60分. 1. D  2.A    3.B  4.C  5.A  6.A  7.C  8.B  9.D  10.D  11.C  12.B 二.填空题:本大题共4小题,每小题4分,满分16分. 13.             14. 14  --25  15. 5    16.   三.解答题:本大题共6小题,满分74分. 17. (本题满分12分) 解: (Ⅰ) = = = = (Ⅱ) ∵ ∴ , 又∵ ∴ 当且仅当 b=c= 时,bc= ,故bc的最大值是 . (18) (满分12分) 解: (Ⅰ)由题意可得,随机变量ε的取值是2、3、4、6、7、10。 随机变量ε的概率分布列如下 ε 2 3 4 6 7 10 P 0.09 0.24 0.16 0.18 0.24 0.09               随机变量ε的数学期望 Eε=2×0.09+3×0.24+4×0.13+6×0.18+7×0.24+10×0.09=5.2. (19) (满分12分) 方法一 解: (Ⅰ)记AC与BD的交点为O,连接OE, ∵O、M分别是AC、EF的中点，ACEF是矩形， ∴四边形AOEM是平行四边形， ∴AM∥OE。 ∵ 平面BDE， 平面BDE， ∴AM∥平面BDE。 (Ⅱ)在平面AFD中过A作AS⊥DF于S，连结BS， ∵AB⊥AF， AB⊥AD， ∴AB⊥平面ADF， ∴AS是BS在平面ADF上的射影， 由三垂线 定理 三点共线定理勾股定理的证明证明勾股定理共线定理面面垂直的性质定理 得BS⊥DF。 ∴∠BSA是二面角A—DF—B的平面角。 在RtΔASB中， ∴ ∴二面角A—DF—B的大小为60o。 （Ⅲ）设CP=t（0≤t≤2）,作PQ⊥AB于Q，则PQ∥AD， ∵PQ⊥AB，PQ⊥AF， ， ∴PQ⊥平面ABF， 平面ABF， ∴PQ⊥QF。 在RtΔPQF中，∠FPQ=60o， PF=2PQ。 ∵ΔPAQ为等腰直角三角形， ∴ 又∵ΔPAF为直角三角形， ∴ ， ∴ 所以t=1或t=3(舍去) 即点P是AC的中点。 方法二 （Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系。 设 ，连接NE， 则点N、E的坐标分别是（ 、（0,0,1）, ∴ =( , 又点A、M的坐标分别是 （ ）、（ ∴ =（ ∴ = 且NE与AM不共线， ∴NE∥AM。 又∵ 平面BDE， 平面BDE， ∴AM∥平面BDF。 （Ⅱ）∵AF⊥AB，AB⊥AD，AF ∴AB⊥平面ADF。 ∴ 为平面DAF的法向量。 ∵ =（ · =0， ∴ =（ · =0得 , ∴NE为平面BDF的法向量。 ∴cos< >= ∴ 的夹角是60o。 即所求二面角A—DF—B的大小是60o。 （Ⅲ）设P(t,t,0)(0≤t≤ )得 ∴ =（ ，0，0） 又∵PF和CD所成的角是60o。 ∴ 解得 或 （舍去）， 即点P是AC的中点。 （20）（满分12分） 解：（Ⅰ）因为 所以切线 的斜率为 故切线 的方程为 即 。 （Ⅱ）令y=0得x=t+1, 又令x=0得 所以S（t）= = 从而 ∵当 （0，1）时， >0, 当 （1,+∞）时, <0, 所以S(t)的最大值为S(1)= (21) (满分12分) 解: (Ⅰ)由条件得直线AP的方程 即 因为点M到直线AP的距离为1, ∵ 即 . ∵ ∴ 解得 +1≤m≤3或--1≤m≤1-- . ∴m的取值范围是 (Ⅱ)可设双曲线方程为 由 得 . 又因为M是ΔAPQ的内心,M到AP的距离为1,所以∠MAP=45o,直线AM是∠PAQ的角平分线,且M到AQ、PQ的距离均为1。因此， （不妨设P在第一象限） 直线PQ方程为 。 直线AP的方程y=x-1, ∴解得P的坐标是（2+ ，1+ ），将P点坐标代入 得， 所以所求双曲线方程为 即 （22）（满分14分） 解：(Ⅰ)因为 ， 所以 ，又由题意可知 ∴ = = ∴ 为常数列。 ∴ (Ⅱ)将等式 两边除以2，得 又∵ ∴     （Ⅲ）∵ = = 又∵ ∴ 是公比为 的等比数列。