甘肃省兰州一中2010届高三诊断考试数学试卷(文科)

兰州一中 2010年高三年级诊断考试 数学试题（文科） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。 2．本卷满分150分，考试用时120分钟。 3．答题全部在答题纸上完成，试卷上答题无效。 参考公式： 如果事件A、B互斥，那么            P(A+B)=P(A)+P(B)[来源:Z|xx|k.Com] 如果事件A、B相互独立，那么        P(A·B)=P(A)·P(B) 球的表面积公式              其中R表示球的半径 球的体积公式            其中R表示球的半径 如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 第Ⅰ卷（选择题  共60分） 一、本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的。 1．若知集         （    ） A．         B． C．         D． 2．当 时，在同一坐标系中，函数 与 的图象是    （    ） 3．若向量 垂直，其中向量 ，则实数 的值是（    ） A．-2    B．-1    C．1    D．2 4．已知双曲线 的离心率为 ，且抛物线 的焦点为 ，则 的值为                （    ） A．-2    B．-4    C．2    D．4 5．已知直线 ，平面 ，有以下命题： ① ； ② ； ③ ； ④若平面 内不共线的三点到平面 的距离相等，则 。 则正确命题有                （    ） A．0个    B．1个    C．2个    D．3个[来源:Z+xx+k.Com] 6．若称 的“均倒数”，数列 的各项均为正，但其前 项的“均倒数”为 ，则数列 的通项公式为        （    ） A．     B．     C．     D． [来源:学§科§网] 7．某位高三学生要参加高校自主招生考试，现从6所高校中选择3所报考，由于其中两所学校的考试时间相同，因此该生不能同时报考这两所学校，则该学生不同的报名方法种数是                （    ） A．12    B．15    C．16    D．20 8．把一 枚骰子投掷两次，第一次出现的点数记为 ，第二次出现的点数记为 。 设事件A为“方程组 只有一组解”，则事件A发生的概率等于    （    ） A．     B．     C．     D． 9．若函数 对任意实数 都有 ，则 （    ） A．-3    B．0    C．3    D． 10．已知奇函数 为减函数，且 ，则不等式 的解集为                （    ） A．     B． C．     D． 11．设二元一次不等式组 所表示的平面区域为M，若直线 总经过区域M，则实数 的取值范围是            （    ） A．     B．     C．     D． 12．已经点 在双曲线 的左准线上，过点P且方向向量为 的光线，经直线 反射后通过双曲线的左焦点，则该双曲线的离心率为                （    ） A．     B．     C．     D． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。 13． 的展开式中含 项的系数等于28，则           。 14．学校为研究男女同学数学学习的差异情况，对某班50名同学（其中男同学30名，女同学 20名）采取分层抽样的方法，抽取一个样本容量为10的样本进行研究，女同学甲被抽到的概率为        。 15．在半径为R的球面上有不同的三点A、B、C，已知A、B、C三点中任意两点的球面距离均为 ，O为球心，则三棱锥O—ABC的体积为            。 16．已知某河流的一段西岸边是直线段 ，东岸边是曲线段PQ如图，在河岸东部有A、B两地，其中A地距西岸边 ，B地在A地的北偏东30°方向 处，河流的东岸边PQ（曲线）上任意一点到A地的距离等于到河西岸边 的距离。现要在河东岸曲线PQ上选一处M建一座码头，向A、B两地转运货物，经测算，从M到A、B修建公路的费用均为 万元/ ，那么修建这两条公路的总费用最低是          万元。 三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17．（本小题满分10分） 在 中， 分别是角A，B，C的对边，A为锐角，已知向量 ，且 （1）若角A的大小； （2）求函数 的最大值。 [来源:Z_xx_k.Com] [来源:学科网ZXXK] 18．（本小题满分12分） 已知在各项不为零的数列 中， 。 （1）求数列 的通项； （2）若数列 满足 ，数列 的前 项和 。 [来源:学科网ZXXK] [来源:学*科*网] 19．（本小题满分12分） 在美 化校园的植树活动中，某同学共种了6棵树，各棵树的成活与否是相互独立的，每棵树成活的概率均为 。已知该同学所种树中有3棵成活的概率为 [来源:Z+xx+k.Com] （1）求 的值； （2）若有3棵或3棵以上的树未成活，则需要补种，求需要补种的概率； 20．（本小题满分12分） 如图 ，在四棱锥S—ABCD中，底面ABCD是正方形， 底面ABCD，SA=AB，点M是SD上的点，AM与BC所成的角为 ，垂足为点N。 （1）求证：SB//平面ACM； （2）求直线AC与平面SDC所成的角； （3）求证：平面 平面AMN。 21．（本小题满分12分） 设函数 （1）如果 ，点P为曲线 上一动点，求以点P为切点的切线斜率最小时的切线方程； （2）若 时， 恒成立，求 的取值范围。 22．（本小题满分12分） 已知椭圆C1的方程为 ，双曲线C2的左、右焦点分别为C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点。 （1）求双曲线C2的方程； （2）若直线 与椭圆C1及双曲线C2都恒有两个不同的交点，且 与C2的两个交点A和B满足 （其中O为原点），求实数 的取值范围。[来源:学+科+网Z+X+X+K] 参考答案 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的） 1—5BCBDB  6—10BCCDD  11—12BA 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）[来源:学+科+网Z+X+X+K] 13．8 14． 15． 16． 解：依题意知PMQ曲线是以A为焦点， 为准线抛物线的一部分，如图（图略）建立平面直角坐标系，则该曲线的方程为 ，点B的坐标为 ，则修建这条公路的总费用 设点B、M在抛物线准线上的射影分别为点B1、M1，根据抛物线的定义有 ，所以 当且仅当点M为线段BB1与曲线PQ的交点时取等号，故W的最小值是 万元。 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。） 17．解： （1）由 得 ， 所以 又A为锐角 5分 （2）由（1）及条件得 8分 时， 取得最大为值1。    10分 18．解： （1）依题意， ， 故可将 整理得： 3分 所以 即     5分 ，上式也成立，所以       6分 （2） 9分 12分 19．解： （1） 各棵树成活与否是相互独立的，每棵树成活的概率均为 2分 解得   5分 （2）记“需要补种”为事件A，则包括有A1：3棵未成活，A2：有棵未成活、A3：5棵未成活，A4：有6棵未成自学成才共四种情况  7分 10分 12分 20．解法一：依题意有AD//BC， 所以 所以点M是SD的中点，且         3分 （1）证明：连结BD交AC于E，连结ME，    4分 ABCD是正方形， E是BD的中点， M是SD的中点， ME是 的中位线 ME//SB。      5分 又 平面ACM， 平面ACM SB//平面ACM。    6分 （2）由题可得， 平面SAD，所以有 又 平面SCD 为直线AC与平面SDC所成的角    8分 在 即直线AC与平面SDC所成的角为 9分 （3） 平面SCD 平面AMN    10分 平面SAC 平面SAC 平面AMN      12分 解法二：依题意有AD//BC，所以 所以点M是SD的中点，且AM SD 如图，以A为坐标原点， 建立空间直角坐标系 ， 由SA=AB故设AB=AD=AS=1， 则 [来源:学.科.网Z.X.X.K] 3分 （1）连结BD交AC于E， 则 平面ACM  6分 （2）由题可得， 平面SAD，所以有CD AM 又SD AM 平面SCD， 为平面SCD的一个法向量 直线AC于平面SDC所成的角为   9分 （3） 又 平面AMN，又 平面SAC， 平面AMN。      12分 21．解： （1） 此时 切线方程为： 即 1分 （2）由 知 在 和 上递增 在[-1，3]上递减， ①当 时 这与 矛盾      7分 ②当 即 时， 在 上递减，在 上增。 ， 即 0不可能      9分 ③当 ， 在 上递增， ， 即 ， （舍）    11分[来源:学§科§网] 综上所述， 时， 恒成立， 则 的取值范围是     12分 22．解：（1）依题意设双曲线C2的方程为 ， 则 ， 再由 得 故C2的方程为     4分 （2）将 代入 得 由直线 与椭圆C1恒有两个不同的交点得： 即     ① 将 代入 得 由直线 与双曲线C2恒有两个不同的交点A、B 故 所以 且       ②    6分 设 则 由 得 而 9分 于是 解得     ③ 由①②③得：     11分 故 的取值范围为   12分