证明不等式的基本
方法
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现实世界中的量，相等是局部的、相对的，而不等则是普遍的、绝对的，不等式的本质是研究“数量关系”中的“不等关系”．对于两个量，我们常常要比较它们之间的大小，或者证明一个量大于另一个量，这就是不等式的证明．不等式的证明因
题
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而异，灵活多变，常常要用到一些基本的不等式，如平均不等式，柯西不等式等，其中还需用到一些技巧性高的代数变形．本节将介绍证明不等式的一些最基本的方法．
比较法
比较法一般有两种形式；
（1）差值比较欲证A≥B．只需证A—B≥0；
（2）商值比较若B>0，欲证A≥B，只需证
≥1．
在用比较法时，常常需要对式子进行适当变形，如因式分解、拆项、合并项等．
例l 实数x、y、z满足
，求证：
．
例2 设
，试证：对任意实数x、y、z，有：
，并指出等号成立的充要条件．
例3 设
，试证：
．
例4 设
，
，求
的最小值．
说明先猜后证是处理许多极值问题的有效手段．猜，一猜答案，二猜等号成立的条件；证明的时候要注意等号是否能取到．
放缩法
有时我们直接证明不等式A≤B比较困难，可以试着去找一个中间量C，如果有A≤C及C≤B同时成立，自然就有A≤B成立．所谓“放缩”即将A放大到C，再把C放大到B或者反过来把B缩小到C再缩小到A．不等式证明的技巧，常体现在对放缩尺度的把握上．
例5 证明：对任意
，均有
．
例6 设
，求证：
．
分析
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法
所谓分析法就是先假定要证的不等式成立，然后由它出发推出一系列与之等价的不等式（即
要求
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推理过程的每一步都可逆），直到得到一个较容易证明的不等式或者一个明显成立的不等式．分析法是一种执果索因的证明方法，在寻求证明思路时尤为有效．
例7 若
，且
．求证；
．
例8 设
，求证：
．
引入参数法
引入适当的参数，根据题中式子的特点，将参数确定，从而使不等式获得证明．
例12 设
，且
，求证：
．
例13 设
，且
，求证：
．
例14 设
是3个不全为零的实数，求
的最大值．
标准化（归一化）
当不等式为齐次式的时候，常可设变量之和为
（某个常数），这样不仅简化了式子，而且增加了条件，有助于我们解决问题．
例15 设
是正实数，求证：
．
例16 已知
有实根，求证：
．
习题
1．设
，求证：
．
2．设
，求证：
．
3．设实数
满足：
（1）
；
（2）
；
（3）
．
求
的最大值．
4．如果
，求证：
．
5．设
，求证：
．并确定等号成立的条件．
6．设
，求证：
．
7．求证：
．
变量代换法
变量代换是数学中常用的解题方法之一．将一个较复杂的式子视为一个整体，用一个字母去代换它，从而使复杂问题简单化．有时候．有些式子可以用三角换元，从而使问题简化．当问题的条件或结论中出现“
”，“
”，“
”或“
”等形式时，可以考虑用“sin
”与“cos
”代换；问题的条件或结论中出现“
”．“
”形式时，可作“
”或“
”代换等．在作代换时，要特别注意
的取值范围是由原变量
的取值范围决定．
例l 已知00≤
≤900，求证：
．
例2 已知实数
满足
，求证：
．
例3 设
是三角形的三边长，求证：
．
已知。，‘门E矿．求击十石主石十石等于6的最小值．
若椭圆弓+壬＝1（m，n>o）经过点户（d，^）（e6；io，，d，乒，b，），
求航十”的最小值．
在厶ABC中．求证；
疗亏气+片言与+呻亏骂≤o．
设I，9，tE旷，求证：
“户·凉《（中·牛·宁）十
若；，》正旷，证明：
（牛·学）’≥／；·（牛）’．
设实数。、b满足。b>。．求证：√Z亘丐王工正≤上i里告旦i旦，并确
定等号成立的条件．一般地，对任意实数。、b，求证：守迂亘丐王工正≤
3·
设O，6，‘正R十，abc＝1，求证：，
面1刁十万1石+万1石≤『1飞+『1二6+『1工·
已知o、6、f、d、f为正数且obcde＝1，求证：
i；a+abc面十万b－t－bcd盂+i；cd－cde石十
万dd－dea丽+i；ed－eab盂≥誓．
设。、6、c是正实数，求证：·
D’+b’+‘’≥c（a2z_b2）·+b（d+az）·+a（b2+cz）．
设工，》／，z仨R／，且满足xyz+工十z＝夕，求户＝／2内一／2而十
／3刁的最大值．
求证：在开区间（0，1）内一定能找到四对两两不同的正数（d，6）（o乒
6），满足：。
,7（1－－aZ）（1－－bz）—>荔+主—d6—瓦1古
设‘是所有满足下列条件的三角形集合：
5（》1巨十五1壬+亡1臣）—盂而『3sS飞可—手，
其中r为厶ABC内，切圆半径，户、Q、及分别是内切圆切边AB、BC、
CA的切点．证明：5中所有三角形都是等腰三角形并且均相似．
设d，凸，‘仨R／，且满足abc＝1，证明：
（o—l+言）（6一l+÷）（‘一1+÷）≤1．
设“，凸，‘正R’，证明不等式：
石寺盂’万b衰盂’万C云≥：．
反证法
反证法是我们论证数学命题时常用的有力工具．有些问题从正面很难
下手，就应试着用反证法来考虑，因为当我们从正面去看问题而发现条件不
多时，反证假设就相当于又加了一个条件，这样自然更易人手．
反证法有着广泛的应用，这一章我们就来看一下它在不等式证明中的
应用．
例1求证：对任何实数I，y＼z，下述三个不等式不可能同时成立：
iJ，<，y—cI，1y<，c—II，1z，<，J一91．
证明用反证法，假设三个不等式都成立，那么
r／<（y—z）’，
。／／<（z一；）!’
[z2<（；一y）’．
／（1一y+：）（，+J—c）<0，
则有{（》一：十；）（y+z一；）
c+d，则a－]－b≥‘+d+1．故
（a+6）’+3d+2乙＝（d+6）’+2（o+凸）+o
≥（‘+d十1）’+2（f+d十1）+觋
＝（‘+d）’+4（f+d）+3+d
>（‘+d）‘+3‘+2d．
矛盾!所以a+6＝‘+d，代人原式即得d＝f，进而有凸＝d．
说明对于整数工、》／，若工>了，则工≥》／+1．这一性质在处理与整数’
有关的不等式时很有用．
例3已知12个实数d1，a：，…，a12满足：
／02（d1一02+as）<0，
／d，（d：一d，+d+）0，O抖：>0，且
／dA一觋计1+aA／2<0，·
1ak+l—ak+2+ak－－3<0．
两式相加得dA+a抖，<0，此式与oA≥0，ak+3≥0矛盾!所以d1，dz’…’a12
中至少有3个正数和3个负数．
例4已知正整数o、凸、‘、d、72满足：，2’1，有声≥g+1，则
；言≥l+亍①又由6＝等得出gI呼，故glo，同理有g，c．于是，gI‘一o，所以‘一
o≥g，‘≥o+g，因此
言—扣三<帮·②．
由①、②可知弓专宁>l+言，np
2n>g+亍
矛盾!故od尹6‘．
例5已知o、凸、‘是正实数，满足a+6+‘≥衄6c．求证：下列三个式子
中至少有两个成立：
÷+芸+÷≥2，鲁+÷十号≥2，÷+÷十号≥2．
证明用反证法．
‘i，如果÷+号十÷<2，号+÷+÷<2，÷+÷十号<2，
则¨（÷+专+÷）<6，与（÷+÷+÷）‘≥3（三+去十三）≥3矛盾．
（6）不妨设三式中仅有2个小于2，即设
[号+÷+÷<2，①
／÷+÷+号<2，②
[旦+寻+旦≥2．③
由①X1+②X7一③X1可得：
竺+誓+誓<14．
但上式左端>17（÷十专+÷）≥17点>14，矛盾!
因此结论成立．
例6证明：对任意正数工、》／、z，都有：证明用反证法．
若存在正实数co、yo、zo，使√co牛振二石<3~XoyoZo—，那么我们
就有
[7570<32伍瓦云，
／YTyo<32／；蠃云，
124倚<3~XoyoZo—，
／工；6sin（bcosx），求证：
衄’+6’<于
证明用反证法．设d’+b2≥吾，将asinx+bcosx
表
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为而呵Vsin（z+
y）的形式．其中，COSy—万a旨’siny—万b而·
由于抓尹干矿≥号，故存在实数J。，使得
x／a2－[－b2—sin（co十甲）—导
即asmXo+bcosxo—号．
由此即得COS（asinXo）＝sin（bcosXo），与题设矛盾!
所以。‘+b’<吾·
例8将一些整数排在数轴的一切有理点上，求证：可以找到这样一个
区间，使这区间的两个端点上的数之和不大于区间中点上的数的2倍．
证明用反证法．设存在一些整数的这样的排列，使得对于含中点C的
习。。。，—题。：i、+；小：；：+，．
已知^，凸，‘正R，且o+6+c>0，Q凸+6‘+ce>0，abc>0．求证：
O>0，6>0，‘>0．
求证：下列不等式组无实数解：
／I工1>I》／一z+‘I，
，，》／[>I工一z+‘1，
，Iz，>IJ一）／+‘I，
l，c，>[工一》／+zI．
设实数o、6、‘、d、户、g满足：
觏厶+‘d＝2夕g，Oc≥声9>0，
求证：Ad≤g‘．
设ci、b、c为正实数，且d+6+‘≥abc，证明：
a2+b2+c2≥abc．
设／（工）、g<工）是[0，1]上的实值函数．证明：存在co，yo正[0，1），使得：
1Xoyo—／（zo）——g（yo）I≥手
求证：对于任意实数a、凸，存在[o，1）中的工和》／，使得：
浙公网安备 33021202002483