均值不等式练习题

利用均值不等式求最值的方法一．均值不等式1.（1）若，则 (2)若，则（当且仅当时取“=”）2.(1)若，则  (2)若，则（当且仅当时取“=”）(3)若，则 (当且仅当时取“=”）3.若，则(当且仅当时取“=”）;若，则(当且仅当时取“=”）若，则 (当且仅当时取“=”）3.若，则 (当且仅当时取“=”）若，则 (当且仅当时取“=”）4.若，则（当且仅当时取“=”）注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．一、配凑1.凑系数例1.当时，求的最大值。解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到为定值，故只需将凑上一个系数即可。当且仅当，即x＝2时取等号。所以当x＝2时，的最大值为8。评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。2.凑项例2.已知，求 函数 excel方差函数excelsd函数已知函数     2 f x m x mx m      2 1 4 2拉格朗日函数pdf函数公式下载 的最大值。解析：由题意知，首先要调整符号，又不是定值，故需对进行凑项才能得到定值。∵∴当且仅当，即时等号成立。评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。3.分离例3.求的值域。解析：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分离。当，即时（当且仅当x＝1时取“＝”号）。当，即时（当且仅当x＝－3时取“＝”号）。∴的值域为。评注：分式函数求最值，通常化成，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。二、整体代换例4.已知，求的最小值。解法1：不妨将乘以1，而1用a＋2b代换。当且仅当时取等号，由即时，的最小值为。解法2：将分子中的1用代换。评注：本题巧妙运用“1”的代换，得到，而与的积为定值，即可用均值不等式求得的最小值。三、换元例5.求函数的最大值。解析：变量代换，令，则当t＝0时，y＝0当时，当且仅当，即时取等号。故。评注：本题通过换元法使问题得到了简化，而且将问题转化为熟悉的分式型函数的求最值问题，从而为构造积为定值创造有利条件。四、取平方例6.求函数的最大值。解析：注意到的和为定值。又，所以当且仅当，即时取等号。故。评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件。总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用均值不等式。［练一练］1.若，求的最大值。2.求函数的最小值。3.求函数的最小值。4.已知，且，求的最小值。参考答案：1. 2.5 3.8 4. 新课标 新课标二年级音乐教学计划新课标语文课程标准小学新课标语文课程标准物理新课标解读英语新课标解读 人教A版高中数学必修五典题精讲（3.4基本不等式）典题精讲例1（1）已知0＜x＜，求函数y=x(1-3x)的最大值;（2）求函数y=x+的值域.思路 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 ：（1）由极值定理,可知需构造某个和为定值，可考虑把括号内外x的系数变成互为相反数；（2）中，未指出x＞0，因而不能直接使用基本不等式，需分x＞0与x＜0讨论.（1）解法一：∵0＜x＜,∴1-3x＞0.∴y=x(1-3x)=·3x(1-3x)≤［］2=，当且仅当3x=1-3x，即x=时，等号成立.∴x=时，函数取得最大值.解法二：∵0＜x＜,∴-x＞0.∴y=x(1-3x)=3x(-x)≤3［］2=，当且仅当x=-x,即x=时，等号成立.∴x=时，函数取得最大值.（2）解：当x＞0时，由基本不等式，得y=x+≥2=2，当且仅当x=1时，等号成立.当x＜0时，y=x+=-［(-x)+］.∵-x＞0,∴(-x)+≥2,当且仅当-x=,即x=-1时，等号成立.∴y=x+≤-2.综上,可知函数y=x+的值域为(-∞,-2］∪［2,+∞).绿色通道：利用基本不等式求积的最大值，关键是构造和为定值，为使基本不等式成立创造条件，同时要注意等号成立的条件是否具备.变式训练1当x＞-1时，求f(x)=x+的最小值.思路分析：x＞-1x+1＞0,变x=x+1-1时x+1与的积为常数.解：∵x＞-1,∴x+1＞0.∴f(x)=x+=x+1+-1≥2-1=1.当且仅当x+1=,即x=0时,取得等号.∴f(x)min=1.变式训练2求函数y=的最小值.思路分析：从函数解析式的结构来看，它与基本不等式结构相差太大，而且利用前面求最值的方法不易求解，事实上，我们可以把分母视作一个整体，用它来 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示分子，原式即可展开.解：令t=x2+1，则t≥1且x2=t-1.∴y==.∵t≥1,∴t+≥2=2,当且仅当t=,即t=1时，等号成立.∴当x=0时，函数取得最小值3.例2已知x＞0,y＞0，且+=1，求x+y的最小值.思路分析：要求x+y的最小值，根据极值定理，应构建某个积为定值，这需要对条件进行必要的变形，下面给出三种解法，请仔细体会.解法一：利用“1的代换”,∵+=1,∴x+y=(x+y)·(+)=10+.∵x＞0,y＞0,∴≥2=6.当且仅当，即y=3x时，取等号.又+=1,∴x=4,y=12.∴当x=4,y=12时，x+y取得最小值16.解法二：由+=1，得x=.∵x＞0,y＞0,∴y＞9.x+y=+y=y+=y++1=(y-9)++10.∵y＞9,∴y-9＞0.∴≥2=6.当且仅当y-9=，即y=12时，取得等号，此时x=4.∴当x=4,y=12时，x+y取得最小值16.解法三：由+=1，得y+9x=xy,∴(x-1)(y-9)=9.∴x+y=10+(x-1)+(y-9)≥10+2=16,当且仅当x-1=y-9时取得等号.又+=1,∴x=4,y=12.∴当x=4,y=12时，x+y取得最小值16.绿色通道：本题给出了三种解法，都用到了基本不等式，且都对式子进行了变形，配凑出基本不等式满足的条件，这是经常需要使用的方法，要学会观察,学会变形，另外解法二，通过消元,化二元问题为一元问题，要注意根据被代换的变量的范围对另外一个变量的范围的影响.黑色陷阱：本题容易犯这样的错误：+≥2①,即≤1,∴≥6.∴x+y≥2≥2×6=12②.∴x+y的最小值是12.产生不同结果的原因是不等式①等号成立的条件是=，不等式②等号成立的条件是x=y.在同一个题目中连续运用了两次基本不等式,但是两个基本不等式等号成立的条件不同，会导致错误结论.变式训练已知正数a,b,x,y满足a+b=10,=1，x+y的最小值为18，求a,b的值.思路分析：本题属于“1”的代换问题.解：x+y=(x+y)()=a++b=10+.∵x,y＞0,a,b＞0，∴x+y≥10+2=18，即=4.又a+b=10，∴或例3求f(x)=3+lgx+的最小值（0＜x＜1）.思路分析：∵0＜x＜1,∴lgx＜0,＜0不满足各项必须是正数这一条件，不能直接应用基本不等式，正确的处理方法是加上负号变正数.解：∵0＜x＜1,∴lgx＜0,＜0.∴-＞0.∴(-lgx)+(-)≥2=4.∴lgx+≤-4.∴f(x)=3+lgx+≤3-4=-1.当且仅当lgx=,即x=时取得等号.则有f(x)=3+lgx+(0＜x＜1)的最小值为-1.黑色陷阱：本题容易忽略0＜x＜1这一个条件.变式训练1已知x＜，求函数y=4x-2+的最大值.思路分析：求和的最值，应凑积为定值.要注意条件x＜，则4x-5＜0.解：∵x＜,∴4x-5＜0.y=4x-5++3=-［(5-4x)+］+3≤-2+3=-2+3=1.当且仅当5-4x=,即x=1时等号成立.所以当x=1时，函数的最大值是1.变式训练2当x＜时，求函数y=x+的最大值.思路分析：本题是求两个式子和的最大值,但是x·并不是定值,也不能保证是正值,所以,必须使用一些技巧对原式变形.可以变为y=（2x-3）++=-（）+,再求最值.解：y=（2x-3）++=-（）+，∵当x＜时，3-2x＞0，∴≥=4，当且仅当，即x=-时取等号.于是y≤-4+=，故函数有最大值.例4如图3-4-1，动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成.图3-4-1（1）现有可围36m长网的材料，每间虎笼的长、宽各 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 为多少时，可使每间虎笼面积最大？（2）若使每间虎笼面积为24m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋总长度最小？思路分析：设每间虎笼长为xm，宽为ym，则（1）是在4x+6y=36的前提下求xy的最大值；而(2)则是在xy=24的前提下来求4x+6y的最小值.解：（1）设每间虎笼长为xm，宽为ym，则由条件,知4x+6y=36，即2x+3y=18.设每间虎笼的面积为S，则S=xy.方法一：由于2x+3y≥2=2,∴2≤18,得xy≤，即S≤.当且仅当2x=3y时等号成立.由解得故每间虎笼长为4.5m，宽为3m时，可使面积最大.方法二:由2x+3y=18，得x=9-y.∵x＞0,∴0＜y＜6.S=xy=(9-y)y=(6-y)y.∵0＜y＜6,∴6-y＞0.∴S≤［］2=.当且仅当6-y=y,即y=3时，等号成立，此时x=4.5.故每间虎笼长4.5m,宽3m时，可使面积最大.(2)由条件知S=xy=24.设钢筋网总长为l,则l=4x+6y.方法一:∵2x+3y≥2=2=24,∴l=4x+6y=2(2x+3y)≥48,当且仅当2x=3y时,等号成立.由解得故每间虎笼长6m，宽4m时，可使钢筋网总长最小.方法二:由xy=24，得x=.∴l=4x+6y=+6y=6(+y)≥6×2=48,当且仅当=y，即y=4时，等号成立，此时x=6.故每间虎笼长6m,宽4m时，可使钢筋总长最小.绿色通道：在使用基本不等式求函数的最大值或最小值时，要注意：（1）x,y都是正数；继续阅读