高中数学导数练习题(分类练习)讲义

导数专题 经典例题剖析 考点一：求导公式。 例1. 是 的导函数，则 的值是              。 解析： ，所以 答案：3 考点二：导数的几何意义。 例2. 已知函数 的图象在点 处的切线方程是 ，则             。 解析：因为 ，所以 ，由切线过点 ，可得点M的纵坐标为 ，所以 ，所以 答案：3 例3.曲线 在点 处的切线方程是          。 解析： ， 点 处切线的斜率为 ，所以设切线方程为 ，将点 带入切线方程可得 ，所以，过曲线上点 处的切线方程为： 答案： 点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。 考点三：导数的几何意义的应用。 例4.已知曲线C： ，直线 ，且直线 与曲线C相切于点 ，求直线 的方程及切点坐标。 解析： 直线过原点，则 。由点 在曲线C上，则 ，     。又 ，     在 处曲线C的切线斜率为 ，     ，整理得： ，解得： 或 （舍），此时， ， 。所以，直线 的方程为 ，切点坐标是 。 答案：直线 的方程为 ，切点坐标是 点评：本小题考查导数几何意义的应用。解决此类问题时应注意“切点既在曲线上又在切线上”这个条件的应用。函数在某点可导是相应曲线上过该点存在切线的充分条件，而不是必要条件。 考点四：函数的单调性。 例5.已知 在R上是减函数，求 的取值范围。 解析：函数 的导数为 。对于 都有 时， 为减函数。由 可得 ，解得 。所以，当 时，函数 对 为减函数。 （1） 当 时， 。 由函数 在R上的单调性，可知当 是，函数 对 为减函数。 （2） 当 时，函数 在R上存在增区间。所以，当 时，函数 在R上不是单调递减函数。 综合（1）（2）（3）可知 。 答案： 点评：本题考查导数在函数单调性中的应用。对于高次函数单调性问题，要有求导意识。 考点五：函数的极值。 例6. 设函数 在 及 时取得极值。 （1）求a、b的值； （2）若对于任意的 ，都有 成立，求c的取值范围。 解析：（1） ，因为函数 在 及 取得极值，则有 ， ．即 ，解得 ， 。 （2）由（Ⅰ）可知， ， 。 当 时， ；当 时， ；当 时， 。所以，当 时， 取得极大值 ，又 ， 。则当 时， 的最大值为 。因为对于任意的 ，有 恒成立， 所以　 ，解得　 或 ，因此 的取值范围为 。 答案：（1） ， ；（2） 。 点评：本题考查利用导数求函数的极值。求可导函数 的极值步骤：①求导数 ； ②求 的根；③将 的根在数轴上标出，得出单调区间，由 在各区间上取值的正负可确定并求出函数 的极值。 考点六：函数的最值。 例7. 已知 为实数， 。求导数 ；（2）若 ，求 在区间 上的最大值和最小值。 解析：（1） ，     。 （2） ， 。 令 ，即 ，解得 或 ， 则 和 在区间 上随 的变化情况如下表：   ＋ 0 — 0 ＋   0 增函数 极大值 减函数 极小值 增函数 0                 ， 。所以， 在区间 上的最大值为 ，最小值为 。 答案：（1） ；（2）最大值为 ，最小值为 。 点评：本题考查可导函数最值的求法。求可导函数 在区间 上的最值，要先求出函数 在区间 上的极值，然后与 和 进行比较，从而得出函数的最大最小值。 考点七：导数的综合性问题。 例8. 设函数 为奇函数，其图象在点 处的切线与直线 垂直，导函数 的最小值为 。（1）求 ， ， 的值； （2）求函数 的单调递增区间，并求函数 在 上的最大值和最小值。 解析： （1）∵ 为奇函数，∴ ，即 ∴ ，∵ 的最小值为 ，∴ ，又直线 的斜率为 ，因此， ，∴ ， ， ． （2） 。　 ，列表如下： 增函数 极大 减函数 极小 增函数             所以函数 的单调增区间是 和 ，∵ ， ， ，∴ 在 上的最大值是 ，最小值是 。 答案：（1） ， ， ；（2）最大值是 ，最小值是 。 点评：本题考查函数的奇偶性、单调性、二次函数的最值、导数的应用等基础知识，以及推理能力和运算能力。 导数强化训练 （一） 选择题 1. 已知曲线 的一条切线的斜率为 ，则切点的横坐标为（  A  ） A．1            B．2            C．3            D．4 2. 曲线 在点（1，－1）处的切线方程为    （  B    ） A．     B．     C．     D． 3. 函数 在 处的导数等于  （ D    ） A．1    B．2    C．3    D．4 4. 已知函数 的解析式可能为    （  A  ） A．     B． C．     D． 5. 函数 ，已知 在 时取得极值，则 =（ D  ） （A）2                （B）3                （C）4                （D）5 6. 函数 是减函数的区间为(  D  ) （Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ） 7. 若函数 的图象的顶点在第四象限，则函数 的图象是（  A  ） B 8. 函数 在区间 上的最大值是（　A　） A．                 B．                 C．                 D． 9. 函数 的极大值为 ，极小值为 ，则 为  （  A  ） A．0                  B．1            C．2            D．4 10. 三次函数 在 内是增函数，则  （  A  ） A．             B．         C．             D． 11. 在函数 的图象上，其切线的倾斜角小于 的点中，坐标为整数的点的个数是            （  D  ） A．3    B．2    C．1    D．0 12. 函数 的定义域为开区间 ，导函数 在 内的图象如图所示，则函数 在开区间 内有极小值点（　A  ） A．1个                 B．2个 C．3个                D． 4个 （二） 填空题 13. 曲线 在点 处的切线与 轴、直线 所围成的三角形的面积为____ ____。 14. 已知曲线 ，则过点 “改为在点 ”的切线方程是__ _ 15. 已知 是对函数 连续进行n次求导，若 ，对于任意 ，都有 =0，则n的最少值为  7     。 16. 某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买 吨，运费为4万元／次，一年的总存储费用为 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 　20　吨． （三） 解答题 17. 已知函数 ，当 时，取得极大值7；当 时，取得极小值．求这个极小值及 的值． J解析： 。 据题意，－1，3是方程 的两个根，由韦达定理得 ∴ ∴ ∵ ，∴ 极小值 ∴极小值为－25， ， 。 18. 已知函数 （1）求 的单调减区间； （2）若 在区间[－2，2].上的最大值为20，求它在该区间上的最小值. 解析： （1） 令 ，解得 所以函数 的单调递减区间为 （2）因为   所以 因为在（－1，3）上 ，所以 在[－1，2]上单调递增，又由于 在[－2，－1]上单调递减，因此 和 分别是 在区间 上的最大值和最小值.于是有 ，解得 故   因此 即函数 在区间 上的最小值为－7. 19. 设 ，点P（ ，0）是函数 的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线。 （1）用 表示 ； （2）若函数 在（－1，3）上单调递减，求 的取值范围。 解析： （1）因为函数 ， 的图象都过点（ ，0），所以 ， 即 .因为 所以 . 又因为 ， 在点（ ，0）处有相同的切线，所以 而 将 代入上式得   因此 故 ， ， （2） . 当 时，函数 单调递减. 由 ，若 ；若 由题意，函数 在（－1，3）上单调递减，则 所以 又当 时，函数 在（－1，3）上单调递减. 所以 的取值范围为 20. 设函数 ，已知 是奇函数。 （1）求 、 的值。 （2）求 的单调区间与极值。 解： （1）∵ ，∴ 。从而 ＝ 是一个奇函数，所以 得 ，由奇函数定义得 ； （2）由（Ⅰ）知 ，从而 ，由此可知， 和 是函数 是单调递增区间； 是函数 是单调递减区间； 在 时，取得极大值，极大值为 ， 在 时，取得极小值，极小值为 。 21. 用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？ 解：设长方体的宽为 （m），则长为 (m)，高为 . 故长方体的体积为 从而 令 ，解得 （舍去）或 ，因此 . 当 时， ；当 时， ， 故在 处 取得极大值，并且这个极大值就是 的最大值。 从而最大体积 ，此时长方体的长为2 m，高为1.5 m. 答：当长方体的长为2 m时，宽为1 m，高为1.5 m时，体积最大，最大体积为 。 22. 已知函数 在区间 ， 内各有一个极值点． （1）求 的最大值； （2）当 时，设函数 在点 处的切线为 ，若 在点 处穿过函数 的图象（即动点在点 附近沿曲线 运动，经过点 时，从 的一侧进入另一侧），求函数 的表达式． 解析：（1）因为函数 在区间 ， 内分别有一个极值点，所以 在 ， 内分别有一个实根， 设两实根为 （ ），则 ，且 ．于是 ， ，且当 ，即 ， 时等号成立．故 的最大值是16． （2）解法一：由 知 在点 处的切线 的方程是 ，即 ， 因为切线 在点 处空过 的图象， 所以 在 两边附近的函数值异号，则 不是 的极值点． 而 ，且 ． 若 ，则 和 都是 的极值点． 所以 ，即 ，又由 ，得 ，故 ． 解法二：同解法一得 ． 因为切线 在点 处穿过 的图象，所以 在 两边附近的函数值异号，于是存在 （ ）． 当 时， ，当 时， ； 或当 时， ，当 时， ． 设 ，则 当 时， ，当 时， ； 或当 时， ，当 时， ． 由 知 是 的一个极值点，则 ， 所以 ，又由 ，得 ，故 ．