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高考调研 · 高三总复习· 数学（文）
第三章 导数及应用
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第1课时 导数的概念及运算
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…2018考纲下载…
1．了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等)，掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念．
2．熟记基本导数公式(c，xm(m为有理数)，sinx，cosx，ex，ax，lnx，logax的导数)，掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数．
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请注意
本章中导数的概念，求导运算、函数的单调性、极值和最值是重点知识，其基础是求导运算，而熟练记忆基本导数公式和函数的求导法则又是正确进行导数运算的基础，复习中要引起重视．
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课前自助餐
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导数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数就是f(x)在x＝x0处的瞬时变化率，记作：y′|x＝x0或f′(x0)，
即f′(x0)＝eq^\o(lim,\s\do14(Δx→0)) eq \f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx).
(2)当把上式中的x0看做变量x时，f′(x)即为f(x)的导函数，简称导数，即y′＝f′(x)＝eq^\o(lim,\s\do14(Δx→0)) eq \f(f（x＋Δx）－f（x）,Δx).
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导数的几何意义
函数f(x)在x＝x0处的导数就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k＝f′(x0)，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
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基本初等函数的导数公式
(1)C′＝0(C为常数)；
2)(xn)′＝nxn－1(n∈Q*)；
(3)(sinx)′＝cosx；
4)(cosx)′＝－sinx；
(5)(ax)′＝axlna；
6)(ex)′＝ex；
(7)(logax)′＝eq \f(1,xlna)；
8)(lnx)′＝eq \f(1,x)．
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两个函数的四则运算的导数
若u(x)，v(x)的导数都存在，则
(1)(u±v)′＝u′±v′；
(2)(u·v)′＝u′v＋uv′；
(3)(eq \f(u,v))′＝eq \f(u′v－uv′,v2)(v≠0)；
(4)(cu)′＝cu′(c为常数)．
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1．判断下列说法是否正确(打“√”或“×”)．
(1)f′(x)与f′(x0)(x0为常数)表示的意义相同．
(2)在曲线y＝f(x)上某点处的切线与曲线y＝f(x)过某点的切线意义是相同的．
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(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．
(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．
(5)若f(x)＝a3＋2ax－x2，则f′(x)＝3a2＋2x.
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×
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2．计算：
(1)(x4－3x3＋1)′＝________；
(2)(xex)′＝______；
(3)(sinx·cosx)′＝______；
(4)(eq \f(1,lnx))′＝________．
答案 (1)4x3－9x2 (2)ex＋xex (3)cos2x (4)－eq \f(1,xln2x)
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3．(2017·课标全国Ⅰ，文)曲线y＝x2＋eq \f(1,x)在点(1，2)处的切线方程为________．
答案 y＝x＋1
解析 因为y′＝2x－eq \f(1,x2)，所以在点(1，2)处的切线方程的斜率为y′eq \b\lc\|(\a\vs4\al\co1(,,,))
eq \s\do7(x＝1)＝2×1－eq \f(1,12)＝1，所以切线方程为y－2＝x－1，即y＝x＋1.
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4．设正弦函数y＝sinx在x＝0和x＝eq \f(π,2)附近的平均变化率为k1，k2，则k1，k2的大小关系为( )
A．k1>k2
B．k1k2.
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5．(2018·陕西检测)已知直线y＝－x＋m是曲线y＝x2－3lnx的一条切线，则m的值为( )
A．0
B．2
C．1
D．3
答案 B
解析 因为直线y＝－x＋m是曲线y＝x2－3lnx的切线，所以令y′＝2x－eq \f(3,x)＝－1，得x＝1或x＝－eq \f(3,2)(舍去)，即切点为(1，1)，又切点(1，1)在直线y＝－x＋m上，所以m＝2，故选B.
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授 人 以 渔
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题型一 导数的概念
利用导数定义求函数f(x)＝eq \r(x)在x＝1处的导数．
【解析】 f′(1)＝eq^\o(lim,\s\do14(Δx→0)) eq \f(f（1＋Δx）－f（1）,Δx)＝eq^\o(lim,\s\do14(Δx→0)) eq \f(\r(1＋Δx)－1,Δx)
＝eq^\o(lim,\s\do14(Δx→0)) eq \f(（\r(1＋Δx)－1）（\r(1＋Δx)＋1）,Δx（\r(1＋Δx)＋1）)＝eq^\o(lim,\s\do14(Δx→0)) eq \f(1,\r(1＋Δx)＋1)＝eq \f(1,2).
【答案】 eq \f(1,2)
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★状元笔记★
导数定义探究
(1)判断一个函数在某点是否可导就是判断该函数的平均变化率eq \f(Δy,Δx)当Δx→0时极限是否存在．
(2)利用导数定义求函数的导数时，先算函数的增量Δy，再算比值eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(f（x＋Δx）－f（x）,Δx)，再求极限y′＝eq^\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq \o(lim,\s\do10(Δx→0))eq \f(Δy,Δx).
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(3)导数定义中，x在x0处增量是相对的，可以是Δx，也可以是2Δx，－Δx等，做题要将分子分母中增量统一为一种．
(4)导数定义eq \o(lim,\s\do10(Δx→0))eq^\o(,\s\do14(Δx→0)) eq \f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)＝f′(x0)，也即eq \o(lim,\s\do10(Δx→0))eq \f(f（x）－f（x0）,x－x0)＝f′(x0)．
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eq^\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq \o(lim,\s\do10(Δx→0))eq \f(f（2＋Δx）－f（2）,Δx)＝________；
eq \o(lim,\s\do10(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do14(Δx→0))
eq \f(f（2－Δx）－f（2）,Δx)＝________；
eq^\o(lim,\s\do14(x→2))eq \o(lim,\s\do10(x→2))eq \f(f（x）－f（2）,x－2)＝________．
【答案】 4，－4，4
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题型二 导数的基本运算
求下列函数的导数：
(1)y＝(3x3－4x)(2x＋1)；
(2)f(x)＝x2sinx；
(3)y＝3xex－2x＋e；
(4)y＝eq \f(lnx,x2＋1).
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【解析】 (1)方法一：y＝(3x3－4x)(2x＋1)
＝6x4＋3x3－8x2－4x，∴y′＝24x3＋9x2－16x－4.
方法二：y′＝(3x3－4x)′·(2x＋1)＋(3x3－4x)(2x＋1)′
＝(9x2－4)(2x＋1)＋(3x3－4x)·2
＝24x3＋9x2－16x－4.
(2)f′(x)＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx.
(3)y′＝(3xex)′－(2x)′＋e′＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′
＝3xln3·ex＋3xex－2xln2＝(ln3＋1)·(3e)x－2xln2.
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(4)y′＝eq \f(（lnx）′（x2＋1）－lnx·（x2＋1）′,（x2＋1）2)
＝eq \f(\f(1,x)·（x2＋1）－lnx·2x,（x2＋1）2)＝eq \f(x2＋1－2x2·lnx,x（x2＋1）2).
【答案】 (1)y′＝24x3＋9x2－16x－4
(2)f′(x)＝2xsinx＋x2cosx
(3)y′＝(ln3＋1)·(3e)x－2xln2
(4)y′＝eq \f(x2＋1－2x2·lnx,x（x2＋1）2)
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★状元笔记★
导数的计算方法
(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导．
(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导．
(3)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导．
(4)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导．
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(1)f(x)＝(x3＋1)(2x2＋8x－5)；
(2)f(x)＝eq \f(1＋\r(x),1－\r(x))＋eq \f(1－\r(x),1＋\r(x))；
(3)f(x)＝eq \f(lnx＋2x,x2)；
(4)y＝－sineq \f(x,2)(1－2cos2eq \f(x,4))．
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【解析】 (1)∵f′(x)＝(2x5＋8x4－5x3＋2x2＋8x－5)′，
∴f′(x)＝10x4＋32x3－15x2＋4x＋8.
(2)∵f(x)＝eq \f(1＋\r(x),1－\r(x))＋eq \f(1－\r(x),1＋\r(x))＝eq \f(（1＋\r(x)）2,1－x)＋eq \f(（1－\r(x)）2,1－x)
＝eq \f(2＋2x,1－x)＝eq \f(4,1－x)－2，
∴f′(x)＝(eq \f(4,1－x)－2)′＝eq \f(－4（1－x）′,（1－x）2)＝eq \f(4,（1－x）2).
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(3)f′(x)＝(eq \f(lnx,x2)＋eq \f(2x,x2))′＝(eq \f(lnx,x2))′＋(eq \f(2x,x2))′
＝eq \f(\f(1,x)·x2－lnx·2x,x4)＋eq \f(2x（ln2·x2－2x）,x4)
＝eq \f(（1－2lnx）x＋（ln2·x2－2x）·2x,x4)
＝eq \f(1－2lnx＋（ln2·x－2）2x,x3).
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【答案】 (1)f′(x)＝10x4＋32x3－15x2＋4x＋8
(2)f′(x)＝eq \f(4,（1－x）2)
(3)f′(x)＝eq \f(1－2lnx＋（ln2·x－2）2x,x3)
(4)y′＝(eq \f(1,2)sinx)′＝eq \f(1,2)(sinx)′＝eq \f(1,2)cosx.
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题型三 导数的几何意义(微专题)
微专题1：求曲线的切线方程
已知曲线y＝x3－2x.
(1)求曲线在点P(1，－1)处的切线方程；
(2)求曲线过点P(1，－1)的切线方程．
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【解析】 (1)∵y′＝3x2－2，
∴在点P(1，－1)处的切线的斜率k＝y′|x＝1＝1.
∴曲线在点P(1，－1)处的切线方程为y＋1＝x－1，即x－y－2＝0.
(2)设P(x0，y0)为切点，则切线的斜率为f′(x0)＝3x02－2.故切线方程为y－y0＝(3x02－2)(x－x0)．
即y－(x03－2x0)＝(3x02－2)(x－x0)．
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又知切线过点(1，－1)，代入上述方程，
得－1－(x03－2x0)＝(3x02－2)(1－x0)．
解得x0＝1或x0＝－eq \f(1,2).
故所求的切线方程为y＋1＝x－1或y＋1＝－eq \f(5,4)(x－1)．
即x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0.
【答案】 (1)x－y－2＝0 (2)x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0
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求曲线的切线方程的两种类型
(1)在求曲线的切线方程时，注意两个“说法”：求曲线在点P处的切线方程和求曲线过点P的切线方程，在点P处的切线，一定是以点P为切点，过点P的切线，不论点P在不在曲线上，点P不一定是切点．
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(2)求过点P的曲线的切线方程的步骤为：
第一步，设出切点坐标P′(x1，f(x1))；
第二步，写出过P′(x1，f(x1))的切线方程为y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)；
第三步，将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程，求出x1；
第四步，将x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)可得过点P(x0，y0)的切线方程．
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A．y＝－πx＋π2
B．y＝πx＋π2
C．y＝－πx－π2
D．y＝πx－π2
【解析】 因为y＝f(x)＝xsinx，所以f′(x)＝sinx＋xcosx，在点P(π，0)处的切线斜率为k＝sinπ＋πcosπ＝－π，所以曲线y＝xsinx在点P(π，0)处的切线方程是y＝－π(x－π)＝－πx＋π2.故选A.
【答案】 A
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(2)求过点(2，4)的曲线y＝eq \f(1,3)x3＋eq \f(4,3)的切线方程．
【解析】 设曲线y＝eq \f(1,3)x3＋eq \f(4,3)与过点P(2，4)的切线相切于点A(x0，eq \f(1,3)x03＋eq \f(4,3))，则切线的斜率k＝y′|x＝x0＝x02.∴切线方程为y－(eq \f(1,3)x03＋eq \f(4,3))＝x02(x－x0)，即y＝x02·x－eq \f(2,3)x03＋eq \f(4,3).
∵点P(2，4)在切线上，∴4＝2x02－eq \f(2,3)x03＋eq \f(4,3)，
即x03－3x02＋4＝0，解得x0＝－1或x0＝2.
故所求切线方程为4x－y－4＝0或x－y＋2＝0.
【答案】 4x－y－4＝0或x－y＋2＝0
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微专题2：求曲线的切点坐标或参数值
(1)(2018·唐山一中模拟)若曲线y＝e－x上点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是________．
【解析】 设P(x0，y0)，∵y＝e－x，∴y′＝－e－x，
∴点P处的切线斜率为k＝－e－x0＝－2，
∴－x0＝ln2，∴x0＝－ln2，
∴y0＝eln2＝2，∴点P的坐标为(－ln2，2)．
【答案】 (－ln2，2)
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(2)(2013·江西，文)若曲线y＝xa＋1(a∈R)在点(1，2)处的切线经过坐标原点，则a＝________．
【解析】 由题意y′＝αxα－1，在点(1，2)处的切线的斜率为k＝α，又切线过坐标原点，所以α＝eq \f(2－0,1－0)＝2.
【答案】 2
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导数几何意义的应用方向
(1)已知切点A(x0，f(x0))求斜率k，即求该点处的导数值：k＝f′(x0)；
(2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k；
(3)已知过某点M(x1，f(x1))(不是切点)的切线斜率为k时，常需设出切点A(x0，f(x0))，利用k＝eq \f(f（x1）－f（x0）,x1－x0)求解．
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A．(0，1)
B．(1，－1)
C．(1，3)
D．(1，0)
【解析】 由题意知y′＝eq \f(3,x)＋1＝4，解得x＝1，此时4×1－y－1＝0，解得y＝3，故点P0的坐标是(1，3)．
【答案】 C
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(2)(2017·天津，文)已知a∈R，设函数f(x)＝ax－lnx的图像在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为________．
【解析】 因为f′(x)＝a－eq \f(1,x)，所以f′(1)＝a－1，又f(1)＝a，所以切线l的方程为y－a＝(a－1)(x－1)，令x＝0，得y＝1.
【答案】 1
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1．熟记基本初等函数的导数公式及法则是导数运算的前提．
2．公式不仅要会正用，而且要求会逆用！
3．若f(x)在x＝x0处存在导数，则f′(x0)即为曲线f(x)在点x0处的切线斜率．
4．求曲线的切线方程时，若不知切点，则应先设切点，列等式求切点．
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