初高中物理衔接—数学专题.word(教师版)

数学知识的准备  一、乘法公式 1、我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： （1）平方差公式      （2）完全平方公式    2、我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式： （1）立方和公式          （2）立方差公式          （3）两数和立方公式      （4）两数差立方公式      对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明． 【课堂练习1】  已知 ， ，求 的值． 解： ． 二、 一元二次方程 1、根的判别式 我们知道，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），用配方法可以将其变形为 ．            ① （1）当b2－4ac＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根 x1，2＝ ； （2）当b2－4ac＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根 x1＝x2＝－ ； （3）当b2－4ac＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边 一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根． 由此可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的情况可以由b2－4ac来判定，我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示． 综上所述，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），有 （1） 当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根 x1，2＝ ； （2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根 x1＝x2＝－ ； （3）当Δ＜0时，方程没有实数根． 【课堂练习2】  判定下列关于x的方程的根的情况（其中a为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根． （1）x2－3x＋3＝0；            （2）x2－2x＋a＝0． 解：（1）∵Δ＝32－4×1×3＝－3＜0，∴方程没有实数根． （2）由于该方程的根的判别式为 Δ＝22－4×1×a＝4－4a＝4(1－a)， 所以 ①当Δ＞0，即4(1－a) ＞0，即a＜1时，方程有两个不相等的实数根 ，  ； ②当Δ＝0，即a＝1时，方程有两个相等的实数根 x1＝x2＝1； ③当Δ＜0，即a＞1时，方程没有实数根． 说明：在第3，4小题中，方程的根的判别式的符号随着a的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对a的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论．分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题． 2.2  根与系数的关系（韦达定理）    如果ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别是x1，x2，那么x1＋x2＝ ，x1·x2＝ ．这一关系也被称为韦达定理．    【选用例题】  已知方程 的一个根是2，求它的另一个根及k的值． 分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k的值，再由方程解出另一个根．但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k的值． 解法一：∵2是方程的一个根， ∴5×22＋k×2－6＝0， ∴k＝－7． 所以，方程就为5x2－7x－6＝0，解得x1＝2，x2＝－ ． 所以，方程的另一个根为－ ，k的值为－7． 解法二：设方程的另一个根为x1，则  2x1＝－ ，∴x1＝－ ． 由  （－ ）＋2＝－ ，得 k＝－7． 所以，方程的另一个根为－ ，k的值为－7． 三、直角三角形 1、弧度与角度的转换关系 1度=π/180弧度( ≈0.017453弧度 )      1弧度＝180°/π （≈57.3°） 【课堂练习3】  360°＝360×π/180 ＝2π 弧度    4π/3 弧度＝4π/3 ×180°/π  ＝ 240° 2、弧长与圆心角、半径的关系 弧长   为圆心角（弧度单位） 周长 3、在Rt△ABC中，∠C＝90゜，AB＝c,BC＝a，AC＝b, 1）、三边关系（勾股定理）：                    2）、锐角间的关系：∠  +∠    = 90° 3）、边角间的关系： sinA =          ； cosA =          ； tanA =        ； cotA =         ； sinB =        ；  cosB=          ；  tanB =        ；  cotB =         4、填表 sin cos tan cot 300         450       600                   5、同角三角函数的基本关系式 6、正弦、余弦的诱导公式 诱导公式一： 诱导公式二： 诱导公式三： sin（ ＋α）＝－sinα    cos（ ＋α）＝－cosα    tan（ ＋α）＝tanα 诱导公式四： sin（ －α）＝sinα      cos（ －α）＝－cosα  tan（ －α）＝－tanα            诱导公式五 (k∈Z)： sin（2k· ＋α）＝sinα    cos（2k· ＋α）＝cosα    tan（2k· ＋α）＝tanα 诱导公式六： sin（2 －α）＝sin（－α）＝－sinα cos（2 －α）＝cos（－α）＝cosα  tan（2 －α）＝ tan（－α）＝－tanα 【课堂练习4】（2009全国卷Ⅰ文） 的值为 (A)     (B)   (C)   (D) 解析：本小题考查诱导公式、特殊角的三角函数值，基础题。 ，故选择A. 【课堂练习5】（2010年全国理科）记 ,那么 A.   B. - C. D. - 命题意图：本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式等三角函数知识，并突出了弦切互化这一转化思想的应用. 解析： , 所以 故选择B 7、三角形的“四心” 三角形是最重要的基本平面图形，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题. 在三角形中，角平分线、中线、高是三角形中的三种重要线段.      重心：三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心（如图7.1）。 三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点. 图7.1                              图7.2 垂心：三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心。 锐角三角形的垂心一定在三角形的内部，直角三角形的垂心为它的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部.（如图7.2） 外心：过不共线的三点A、B、C有且只有一个圆，该圆是三角形ABC的外接圆，圆心O为三角形的外心（如图7.3）。三角形的外心到三个顶点的距离相等，是各边的垂直平分线的交点. 内心：三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心. 三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等.（如图7.4） O 图7.3                      图7.4 【选用例题2】已知 的三边长分别为 ，I为 的内心，且I在 的边 上的射影分别为D、E、F，求证： . 证明  作 的内切圆，则 分别为内切圆在三边上的切点， 为圆的从同一点作的两条切线， ， 同理，BD=BF，CD=CE. 即 . 【选用例题3】若三角形的内心与重心为同一点，求证：这个三角形为正三角形。  证明：如图，O为三角形ABC的重心和内心。连AO并延长交BC于D。O为三角形的内心，故AD平分 ， （角平分线性质定理） O为三角形的重心，D为BC的中点，即BD=DC. ，即 . 同理可得，AB=BC.  为等边三角形. 四、函数及图像 1、 一次函数及图像： （1）若两个变量 , 间的关系式可以表示成 （ 为常数， 不等于0）的形式，则称 是 的一次函数。 一次函数y=kx+b(k≠0)是过(0,b),( ,0)两点的一条直线. （2）当 =0时，称 是 的正比例函数。 正比例函数是当y=kx+b中b=0时特殊的一次函数. 正 比例函数y=kx(k≠0)是过(0,0),(1,k)两点的一条直线，是经过原点的一条直线。 （3）一次函数的图象斜率 ①斜率的定义：平面直角坐标系中，已知两点P(x1,y1)，Q(x2,y2)， 如果x1≠x2，则直线PQ的斜率是 ． ② 几何意义：斜率是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度，