题
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型25奔驰定理与三角形的四心【方法点拨】奔驰定理:设是内一点,的面积分别记作则.说明:本定理图形酷似奔驰的车标而得名.奔驰定理在三角形四心中的具体形式:(1)是的重心.(2)是的内心.(3)是的外心.(4)是的垂心.3.奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一.4.奔驰定理对于利用平面向量解决平面几何问题,尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题,有着决定性的基石作用.【典型例题】例1为三角形内部一点,、、均为大于1的正实数,且满足,若、、分别
表
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示、、的面积,则为()A.B.C.D.【
答案
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】【解析一】由,,,,如图设,即是的重心,同理可得,,所以.故选:.【解析二】由,,,,由奔驰定理得:.故选:.例2在△ABC中,角A,B,C所对的边为a,b,c,a=b=4,c=6,I是△ABC中内切圆的圆心,若,则.【答案】【解析一】(向量的线性表示、数量积、三角形内切圆半径求法)易求得,而,所以另一方面,对上式两边同时作数量积得:,易知,,所以,所以.【解析二】(奔驰定理)联想到奔驰定理,将转化为整理为:由奔驰定理得解之得.点评:解法一中的很多
知识点
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并不为学生所熟悉,解决起来有较大难度,而解法二直接使用奔驰定理十分简洁.例3已知是的重心,且满足,则=.【答案】【分析】要牢记前面的系数之比为1:1:1,求得三内角的正弦比,再利用正、余弦定理求得.【解析】∵是的重心,∴∴∴由正弦定理,由余弦定理,∵,∴.例4设H是△ABC的垂心,若,则的值为()A.B.C.D.【答案】D【解析】因为,由三角形垂心的向量定理得设,,由代入得,解之得所以又因为,所以.例5已知点O为所在平面内一点,且,则下列选项正确的是()A.B.直线必过边中点C.D.若,且,则【答案】ACD【解析】对于A,插入点A,,所以;对于B,若直线过边的中点,则,由上知,不成立;对于C,由奔驰定理知;对于D,由得,两边平方得.例6在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,,若△ABC的外接圆的圆心为,且满足,则的值为.【答案】【解析】∵∴,即∵,∴,∵,∴,对两边同时点乘得:∵,∴,即由正弦定理知∴.【巩固练习】1.已知P是△ABC所在平面内一点,若eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))=eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))=eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(PA,\s\up6(→)),则P是△ABC的( )A.外心B.内心C.重心D.垂心2.已知O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足eq\o(OP,\s\up6(→))=eq\f(\o(OB,\s\up6(→))+\o(OC,\s\up6(→)),2)+λeq\o(AP,\s\up6(→)),λ∈R,则P点的轨迹一定经过△ABC的( )A.外心B.内心C.重心D.垂心3.点P在△ABC内部,满足eq\o(PA,\s\up6(→))+2eq\o(PB,\s\up6(→))+3eq\o(PC,\s\up6(→))=0,则S△ABC∶S△APC为( )A.2∶1B.3∶2C.3∶1D.5∶34.点O为△ABC内一点,若S△AOB∶S△BOC∶S△AOC=4∶3∶2,设eq\o(AO,\s\up6(→))=λeq\o(AB,\s\up6(→))+μeq\o(AC,\s\up6(→)),则实数λ和μ的值分别为( )A.eq\f(2,9),eq\f(4,9)B.eq\f(4,9),eq\f(2,9)C.eq\f(1,9),eq\f(2,9)D.eq\f(2,9),eq\f(1,9)5.设O是△ABC的内心,AB=c,AC=b,BC=a,若则()A.B.C.D.6.已知O为正内的一点,且满足,若的面积与的面积的比值为3,则的值为()A.B.C.2D.37.在△ABC中,角A,B,C所对的边为a,b,c,a=5,b=12,c=13,I是△ABC内切圆的圆心,若,则=________.8.在△ABC中,AB=3,BC=4,AC=5,I是△ABC内切圆的圆心,若,则=________.9.已知是锐角的外接圆圆心,,则实数的值为__________.10.已知是所在平面内一点,且满足,则=.【答案与提示】1.【答案】 D【解析】 由eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))=eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→)),可得eq\o(PB,\s\up6(→))·(eq\o(PA,\s\up6(→))-eq\o(PC,\s\up6(→)))=0,即eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))=0,∴eq\o(PB,\s\up6(→))⊥eq\o(CA,\s\up6(→)),同理可证eq\o(PC,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→)),eq\o(PA,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→)).∴P是△ABC的垂心.2.【答案】C【解析】 设BC的中点为M,则eq\f(\o(OB,\s\up6(→))+\o(OC,\s\up6(→)),2)=eq\o(OM,\s\up6(→)),则有eq\o(OP,\s\up6(→))=eq\o(OM,\s\up6(→))+λeq\o(AP,\s\up6(→)),即eq\o(MP,\s\up6(→))=λeq\o(AP,\s\up6(→)).∴P的轨迹一定通过△ABC的重心.3.【答案】 C【解析】 根据奔驰定理得,S△PBC∶S△PAC∶S△PAB=1∶2∶3.∴S△ABC∶S△APC=3∶1.4.【答案】 A【解析】 根据奔驰定理,得3eq\o(OA,\s\up6(→))+2eq\o(OB,\s\up6(→))+4eq\o(OC,\s\up6(→))=0,即3eq\o(OA,\s\up6(→))+2(eq\o(OA,\s\up6(→))+eq\o(AB,\s\up6(→)))+4(eq\o(OA,\s\up6(→))+eq\o(AC,\s\up6(→)))=0,整理得eq\o(AO,\s\up6(→))=eq\f(2,9)eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\f(4,9)eq\o(AC,\s\up6(→)),故选A.5.【答案】A【分析】根据奔驰定理的内心恒等式,利用向量的线性运算可以求得.进而根据平面向量基本定理中的唯一性可得到的值,进而得解.【解析】O是△ABC的内心,AB=c,AC=b,BC=a则,所以,所以,所以.又,所以,,所以.6.【答案】C【解析】由奔驰定理得,解之得,选C.7.【答案】8.【答案】9.【答案】10.【答案】