2014年高考一轮复习热点难点精讲精析：
选修系列（第5部分：矩阵与变换）
1、 线性变换与二阶矩阵
（一）矩阵相等的应用
〖例〗已知A=，B=，若A=B，求，。
思路解析：由矩阵相等的定义，知矩阵A，B对应元素相等，列出方程组后求解。
解答：由矩阵相等的定义知
，解得
（二）二阶矩阵与平面向量乘法的应用
〖例〗在平面直角坐标系xOy中，设椭圆在矩阵对应的变换作用下得到曲线F，求F的方程。
思路解析：由已知矩阵可得坐标变换公式，从而得到椭圆上点与曲线上F上点坐标间的关系，再代入椭圆方程即可得F的方程。
解答：设是椭圆上任意一点，点P在矩阵A=的作用下的像为。
∵A=，∴坐标变换公式∴∵点P在椭圆上，故，
∴，∴曲线F的方程为。
（三）线性变换性质的应用
〖例〗二阶矩阵M对应的变换将点（1，-1）与（-2，1）分别变成点（-1，-1）与（0，-2）。
（1）求矩阵M；
（2）设直线在变换M作用下得到了直线求直线的方程。
思路解析：由已知条件下可利用待定系数法求矩阵M，再通过矩阵M对应的坐标变换公式确定直线与直线上点坐标间的关系，即可求直线的方程。
解答：
二、变换的复合与二阶矩阵的乘法及逆变换与逆矩阵
（一）与矩阵乘法的相关问题
〖例〗⊿ABC的顶点为A（0，0），B（0，0），C（0，1）。如果将三角形先后经过和两次变换变成⊿，求⊿的面积。
思路解析：先将两次变换转化成矩阵的乘法，再利用矩阵与向量的乘法求出变换后的点的坐标，最后用三角形的知识求面积。
解答：
（二）与逆矩阵（变换相关的问题）
〖例〗已知矩阵A=。
（1）求逆矩阵A-1；
（2）若二阶矩阵X满足AX=，试求矩阵X。
思路解析：利用可以求出A-1，再利用A·A-1=E2，可求出二阶矩阵X。
解答：（1）∵==-1≠0。∴矩阵A是可逆的，且A-1=
（2）∵AX=，∴A-1 AX= A-1，∴X==。
（三）用矩阵知识解二元一次方程组
〖例〗用矩阵知识解二元一次方程组
思路解析：用二阶行列式可以
表
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示二元一次方程组的一般解，计算出相应量后代入即可。用逆矩阵从几何变换的角度也可求解二元一次方程组。
解答：二元一次方程组可化为
其系数矩阵为A=该方程组的矩阵形式为A=，
∵∴方程组有唯一解=A-1，
∵A-1=代入上式得= A-1= =，
∴原方程组的解为。
三、变换的不变量与矩阵的特征向量
（一）二阶矩阵的特征值、特征向量的求法
〖例〗设A=，求A的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量。
思路解析：求特征向量要先求出特征多项式及特征方程的根（特征值），再将特征值代入方程（组），求出一组非零解，即得对于相应特征值的特征向量。
解答：矩阵A的特征多项式为
（二）的简单表示
〖例〗已知矩阵，，试计算。
思路解析：利用特征值和特征向量，可以方便地计算多次变换的结果，应用公式时要熟悉各个系数的意义，并分别求出代入。
解答：设矩阵的特征多项式为
（三）矩阵的简单应用
〖例〗工业发展时常伴有环境污染，怎样减少甚至消除环境污染是很重要的问题。某研究机构提出了有关污染和工业发展的工业增长模型。设P是目前的污染程度，D是目前的工业发展水平，和分别是5年以后的污染程度和工业发展水平。在许多发展中国家，工业发展模型实际上是：=P+2D，=2P+D。
（1）设和分别是第二个5年以后的污染程度和工业发展水平，试求、与P、D的关系式；
（2）某发展中国家目前的污染程度和工业发展水平都是1，设第n个5年以后，污染程度和工业发展水平分别为和，试求、，并说明污染程度和工业发展的趋势。
思路解析：由、表达式可以得相应的变换矩阵，再将实际问题转化成矩阵的运算。
解答：（1）∵= P+2D，=2P+D，∴设A=，
∴
（2）
说明污染程度和工业发展水平同时以3倍的速度发展，高水平工业能提高人们的生活水平，但处理不当，随之加重的环境污染会造成不堪设想的后果，这个结果告诫人们在发展工业的同时，一定要注意减轻污染，治理污染。
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