第2课时 几何概型(2)【课标要求】1．正确理解几何概型的概念，掌握几何概型的概率公式；2．通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯；3．感知用图形解决概率问题的方法，掌握数形结合数学思想与逻辑推理的数学方法．【核心扫描】1．几何概型的概念、公式及应用．(重点)2．通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法．(难点)1．几何概型的概率是用几何测度来表示的，首先根据几何概型的特点判断其为几何概型，然后利用长度比，面积比，体积比来表示其发生的可能性的大小．2．应用性问题转化为几何概型问题，仅有一个变量时，转化为线段的长度比，若有两个变量时，转化为区域的面积比．自学导引想一想：1.几何概型的适用范围是什么？提示 适用有无限多个试验结果，且每种结果的出现也是等可能的．2．如果P(A)＝0，那么A一定是不可能事件吗？提示 不一定．在几何概型中，区域是无限个单个点构成，由于点的长度、面积、体积均为0，所以它出现的概率为0，显然它不是不可能事件．求几何概型概率的关键有二：(1)明确类型，即要明确是长度型、面积型，还是体积型，判断的方法是看基本事件发生在一个几维空间内；(2)准确求出相应的几何度量.题型一 与角度有关的几何概型问题【例1】在Rt△ABC中，∠A＝30°，过直角顶点C作射线CM交线段AB于点M，求使AM＞AC的概率．[思路探索]图中因为过一点作射线是均匀的，因而应把在∠ACB内作射线CM看做是等可能的，基本射线CM落在∠ACB内任一点，使AM＞AC的概率只与∠BCC′的大小有关，这符合几何概型的条件．规律方法 我们知道如果一个随机试验有无限多个等可能的基本结果，每个基本结果可以用平面(或直线、空间)中的一点来表示，而所有基本结果对应于一个区域D，这时与试验有关的问题即可利用几何概型来解决．题型二 测度为长度的几何概型的应用问题【例2】平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径r＜a的硬币任意掷在这个平面上，求硬币不与任何一条平行线相碰的概率．规律方法 判断基本事件应从“等可能”的角度入手，选择好观察的角度．本题是从圆心在线段AB上每一个点的出现都是一个等可能的基本事件入手的．题型三 测度为面积的几何概型的应用问题【例3】(14分)两人相约7h到8h在某地会面，先到者等候另一人20min，这时就可离去，试求这两人能会面的概率．审题指导当两人到达某地的时间差小于或等于20min时，两人能会面，由于涉及两个变量，因此利用平面直角坐标转化为平面点集即与面积有关的问题研究．【题后反思】当实际问题涉及两个变量时，要利用平面直角坐标系来讨论，当实际问题只涉及一个变量时，要利用数轴成一条线段来讨论．【变式3】假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30～7：30把报纸送到你家，你母亲离开家去买菜的时间是7：00～8：00，问你母亲在离开家前能得到报纸的概率是多少？转化与化归思想是处理数学问题最重要的思想方法之一．其目的在于化繁为简，化难为易，其作用是将问题简单化，帮助我们抓住问题的实质，找到解决问题的突破口，从而简便地解决问题，在本章中用到了较多的转化与化归思想，比如把一段长度问题转化为平面图形的二维面积问题，进一步转化成面积型几何概型问题．【示例】将长为l的木棒随机折成3段，求3段的长度能构成三角形的概率．[思路分析]可以考虑先将三段的长度用两个字母x、y表示出来，然后找出x、y应该满足的关系式，从而找出x与对应的y构成的点的坐标．根据其满足的关系，点(x，y)构成的集合是平面图形，从而我们可以利用几何概型求得其概率．方法技巧 转化与化归思想方法点评 解答此类问题的关键是将问题几何化，易出现的错误是几何度量不清楚，不知道是以长度还是以面积、体积作为几何度量.
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