第一章 第九节　函数的图象

教材·知识·四基考点·考法·探究创新·应用·提能限时规范训练大一轮复习·数学·RJ（理）第九节　函数的图象教材·知识·四基考点·考法·探究创新·应用·提能限时规范训练大一轮复习·数学·RJ（理）教材·知识·四基考点·考法·探究创新·应用·提能限时规范训练大一轮复习·数学·RJ（理）定义域解析式性质教材细梳理知识点1　描点法作图步骤(1)确定函数的____________；(2)化简函数的____________；(3)讨论函数的____________即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图象．教材·知识·四基考点·考法·探究创新·应用·提能限时规范训练大一轮复习·数学·RJ（理）思考：函数y＝lgx与y＝eq\f(1,2)lgx2的图象相同吗？提示：不相同．函数y＝eq\f(1,2)lgx2的定义域为{x|x≠0}，偶函数当x＞0时，y＝eq\f(1,2)lgx2＝lgx.教材·知识·四基考点·考法·探究创新·应用·提能限时规范训练大一轮复习·数学·RJ（理）f(x－a)f(x)＋b－f(x)f(－x)－f(－x)知识点2　函数图象间的变换(1)平移变换①y＝f(x)eq\o(――――――――→,\s\up10(a＞0，右移a个单位),\s\do8(a＜0，左移|a|个单位))y＝________；②y＝f(x)eq\o(――――――――→,\s\up10(b＞0，上移b个单位),\s\do8(b＜0，下移|b|个单位))y＝________．(2)对称变换①y＝f(x)eq\o(―――→,\s\up10(关于x轴对称),\s\do5(　))y＝________；②y＝f(x)eq\o(――――→,\s\up10(关于y轴对称),\s\do5(　))y＝________；③y＝f(x)eq\o(――――→,\s\up10(关于原点对称))y＝________．教材·知识·四基考点·考法·探究创新·应用·提能限时规范训练大一轮复习·数学·RJ（理）f(|x|)|f(x)|f(ωx)(3)翻折变换①y＝f(x)eq\o(――――――――――→,\s\up10(去掉y轴左边图，保留y轴右边图),\s\do8(将y轴右边的图象翻折到左边去))y＝________；②y＝f(x)eq\o(―――――――→,\s\up10(留下x轴上方图),\s\do8(将x轴下方图翻折上去))y＝________．(4)伸缩变换①y＝f(x)y＝________；教材·知识·四基考点·考法·探究创新·应用·提能限时规范训练大一轮复习·数学·RJ（理）伸长缩短AAf(x)②y＝f(x)eq\o(―――――――――――――――→,\s\up10(\a\vs4\al(A＞1，横坐标不变，纵坐标___为原来的A倍)),\s\do7(0＜A＜1，横坐标不变，纵坐标_____为原来的___倍))y＝________．思考1：y＝f(x)到y＝Af(ωx＋φ)的变换与必修四中y＝sinx到y＝Asin(ωx＋φ)的变换一样吗？提示：平移和伸缩的图象变换是一样的．思考2：函数y＝f(－x)的图象怎样变换得到函数y＝f(－x－1)的图象．提示：∵y＝f(－x－1)＝f[－(x＋1)]，∴y＝f(－x)的图象向左平移一个单位得到y＝f(－x－1)的图象．教材·知识·四基考点·考法·探究创新·应用·提能限时规范训练大一轮复习·数学·RJ（理）××√√四基精演练1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)函数y＝af(x)与y＝f(ax)(a＞0且a≠1)的图象相同．(　　)(2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于原点对称．(　　)(3)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．(　　)(4)函数y＝2|x|的图象关于直线x＝0对称．(　　)教材·知识·四基考点·考法·探究创新·应用·提能限时规范训练大一轮复习·数学·RJ（理）C2．(知识点2)函数f(x)＝x＋eq\f(1,x)的图象关于(　　)　eq\a\vs4\al(⇐\x(源自必修一P35例5))A．y轴对称　　　　　　　B．x轴对称C．原点对称D．直线y＝x对称解析：选C.函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)且f(－x)＝－f(x)，即函数f(x)为奇函数，故选C.教材·知识·四基考点·考法·探究创新·应用·提能限时规范训练大一轮复习·数学·RJ（理）C3．(知识点1)李明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．则与以上事件吻合最好的图象是(　　)　eq\a\vs4\al(⇐\x(源自必修一P112A组T4))教材·知识·四基考点·考法·探究创新·应用·提能限时规范训练大一轮复习·数学·RJ（理）解析：选C.距学校的距离应逐渐减小，由于李明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，直线段比前段下降得快．教材·知识·四基考点·考法·探究创新·应用·提能限时规范训练大一轮复习·数学·RJ（理）B4．(知识点2)(2018·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝eq\f(ex－e－x,x2)的图象大致为(　　)　eq\a\vs4\al(⇐\x(源自必修一P58T1))教材·知识·四基考点·考法·探究创新·应用·提能限时规范训练大一轮复习·数学·RJ（理）解析：选B.∵f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，排除A选项，又∵f(2)＝eq\f(e2－e－2,4)＞1，排除C，D选项，故选B.教材·知识·四基考点·考法·探究创新·应用·提能限时规范训练大一轮复习·数学·RJ（理）考点一　作函数的图象[基础练通]作出下列函数的图象．(1)y＝eq\f(x＋2,x－1)；(2)y＝x2－2|x|－1.(3)y＝|log2(x＋1)|.教材·知识·四基考点·考法·探究创新·应用·提能限时规范训练大一轮复习·数学·RJ（理）解析：(1)因为y＝eq\f(x＋2,x－1)＝1＋eq\f(3,x－1)，先作出y＝eq\f(3,x)的图象，将其图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，即得y＝eq\f(x＋2,x－1)的图象，如图所示．(2)因为y＝x2－2|x|－1＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－2x－1，x≥0，,x2＋2x－1，x＜0))在平面直角坐标系中画出该函数的图象如图：教材·知识·四基考点·考法·探究创新·应用·提能限时规范训练大一轮复习·数学·RJ（理）(3)利用函数y＝log2x的图象进行平移和翻折变换，所求函数图象如图中实线所示．教材·知识·四基考点·考法·探究创新·应用·提能限时规范训练大一轮复习·数学·RJ（理）1．函数图象的画法(1)直接法：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出．(2)转化法：含有绝对值符号的函数，可去掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象．(3)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称得到，可利用图象变换作出．教材·知识·四基考点·考法·探究创新·应用·提能限时规范训练大一轮复习·数学·RJ（理）2．对称性的常用结论(1)函数y＝f(x)的图象关于x＝a对称⇔f(a＋x)＝f(a－x)⇔f(x)＝f(2a－x)．(2)函数y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称⇔f(a＋x)＝－f(a－x)⇔f(x)＝－f(2a－x)．(3)函数y＝f(a＋x)与y＝f(b－x)的图象关于x＝eq\f(b－a,2)对称．(4)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)对称．教材·知识·四基考点·考法·探究创新·应用·提能限时规范训练大一轮复习·数学·RJ（理）D考点二　函数图象的识别[创新贯通] 命题点1 已知函数的解析式确定其图象[例1]　[一题多解]函数y＝2x2－e|x|在[－2，2]的图象大致为(　　)教材·知识·四基考点·考法·探究创新·应用·提能限时规范训练大一轮复习·数学·RJ（理）解析：解法一：(利用特殊点进行排除求解)令y＝f(x)，则f(x)＝2x2－e|x|为偶函数，图象关于y轴对称．f(2)＝8－e2≈0.6，排除A，B.∵f(0)＝－1，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(1,2)－eq\r(e)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－f(0)＝eq\f(1,2)－eq\r(e)＋1＝eq\f(3,2)－eq\r(e)＝eq\r(\f(9,4))－eq\r(e)＜0，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＜f(0)，排除C，选D.教材·知识·四基考点·考法·探究创新·应用·提能限时规范训练大一轮复习·数学·RJ（理）解法二：∵f(x)＝2x2－e|x|，x∈[－2，2]是偶函数，∴f(x)的图象关于y轴对称．又f(2)＝8－e2∈(0，1)，故排除A，B.设g(x)＝2x2－ex，则g′(x)＝4x－ex.又g′(0)＜0，g′(2)＞0，∴g(x)在(0，2)内至少存在一个极值点，∴f(x)＝2x2－e|x|在(0，2)内至少存在一个极值点，排除C.故选D.教材·知识·四基考点·考法·探究创新·应用·提能限时规范训练大一轮复习·数学·RJ（理）B 命题点2 由实际情景探究函数图象[例2]　(2018·长春质检)如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)的图象大致为(　　)教材·知识·四基考点·考法·探究创新·应用·提能限时规范训练大一轮复习·数学·RJ（理）解析：当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))时，f(x)＝tanx＋eq\r(4＋tan2x)，图象不会是直线段，从而排除A、C.当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(3π,4)))时，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)))＝1＋eq\r(5)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝2eq\r(2).∵2eq\r(2)＜1＋eq\r(5)，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＜feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)))，从而排除D，故选B.教材·知识·四基考点·考法·探究创新·应用·提能限时规范训练大一轮复习·数学·RJ（理）1．知式识图、辨图的策略解决识图与辨图题，如果通过函数解析式不容易分辨时，那么可通过函数的奇偶性、单调性、对称性、定义域等性质及特殊点的位置排除不适合的选项．2．根据实际情景探究函数图象的方法(1)根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象(定量分析)；(2)根据自变量取不同值时函数值的变化、增减速度等判断函数图象(定性分析)．教材·知识·四基考点·考法·探究创新·应用·提能限时规范训练大一轮复习·数学·RJ（理）D1．(2018·浙江卷)函数y＝2|x|sin2x的图象可能是(　　)教材·知识·四基考点·考法·探究创新·应用·提能限时规范训练大一轮复习·数学·RJ（理）解析：选D.由y＝2|x|sin2x知函数的定义域为R，令f(x)＝2|x|sin2x，则f(－x)＝2|－x|sin(－2x)＝－2|x|sin2x.∵f(x)＝－f(－x)，∴f(x)为奇函数．∴f(x)的图象关于原点对称，故排除A，B.令f(x)＝2|x|sin2x＝0，解得x＝eq\f(kπ,2)(k∈Z)，∴当k＝1时，x＝eq\f(π,2)，故排除C.故选D.教材·知识·四基考点·考法·探究创新·应用·提能限时规范训练大一轮复习·数学·RJ（理）D考点三　函数图象的应用[探究变通] 命题点1 利用函数图象研究函数的性质[例3]　已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a＞0，且a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是(　　)A．a＞1，c＞1B．a＞1，0＜c＜1C．0＜a＜1，c＞1D．0＜a＜1，0＜c＜1教材·知识·四基考点·考法·探究创新·应用·提能限时规范训练大一轮复习·数学·RJ（理）解析：由题图可知，y＝loga(x＋c)的图象是由y＝logax的图象向左平移c个单位而得到的，其中0＜c＜1，再根据单调性易知0＜a＜1.教材·知识·四基考点·考法·探究创新·应用·提能限时规范训练大一轮复习·数学·RJ（理）C 命题点2 利用函数图象解不等式[例4]　(2018·哈尔滨调研)如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是(　　)A．{x|－1＜x≤0}　　　B．{x|－1≤x≤1}C．{x|－1＜x≤1}D．{x|－1＜x≤2}教材·知识·四基考点·考法·探究创新·应用·提能限时规范训练大一轮复习·数学·RJ（理）解析：因为函数y＝log2(x＋1)的定义域为(－1，＋∞)，排除B；在坐标系中作出函数y＝log2(x＋1)，x∈(－1，＋∞)的图象如图，且x＝1时，y＝log2(1＋1)＝1，即函数f(x)与y＝log2(x＋1)的交点坐标为(1，1)，故不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集为(－1，1]．教材·知识·四基考点·考法·探究创新·应用·提能限时规范训练大一轮复习·数学·RJ（理） 命题点3 利用函数图象求零点个数或参数范围[例5]　已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|x|，x≤m，,x2－2mx＋4m，x＞m，))其中m＞0，若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________．教材·知识·四基考点·考法·探究创新·应用·提能限时规范训练大一轮复习·数学·RJ（理）解析：作出f(x)的图象如图所示．当x＞m时，x2－2mx＋4m＝(x－m)2＋4m－m2，∴要使方程f(x)＝b有三个不同的根，则有4m－m2＜m，即m2－3m＞0.又m＞0，解得m＞3.答案：(3，＋∞)教材·知识·四基考点·考法·探究创新·应用·提能限时规范训练大一轮复习·数学·RJ（理）[母题变式]在本例中，当m＝6关于x的方程f(x)－b＝0有两个不同的根，则实数b的取值范围是________．教材·知识·四基考点·考法·探究创新·应用·提能限时规范训练大一轮复习·数学·RJ（理）解析：作出f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|x|，x≤6,x2－12x＋24，x＞6))的图象．从图象可知，当b＝0或b＞6时符合题意．答案：b＝0或b＞6教材·知识·四基考点·考法·探究创新·应用·提能限时规范训练大一轮复习·数学·RJ（理）1．利用图象研究方程的根及参数范围构造函数，转化为两函数图象的交点个数问题，在同一坐标系中分别作出两函数的图象，数形结合求解．2．利用函数的图象研究不等式的思路当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式适当变形，选择合适的函数进行作图，从而利用数形结合求解．3．利用函数的图象研究函数的性质(1)从左向右看可得到函数的单调性、周期性；(2)从下往上看可得出函数的最值、零点；(3)从函数的对称性能得出函数的奇偶性．教材·知识·四基考点·考法·探究创新·应用·提能限时规范训练大一轮复习·数学·RJ（理）B2．当x∈[1，2]时，函数y＝eq\f(1,2)x2与y＝ax(a>0)的图像有交点，则a的取值范围是(　　)A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\r(2)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，2))D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\r(2)))教材·知识·四基考点·考法·探究创新·应用·提能限时规范训练大一轮复习·数学·RJ（理）解析：选B.当a>1时，如图①所示，使得两个函数图像有交点，需满足eq\f(1,2)·22≥a2，即1＜a≤eq\r(2)；当0<a<1时，如图②所示，需满足eq\f(1,2)·12≤a1，即eq\f(1,2)≤a＜1，综上可知，a∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\r(2))).图①图②教材·知识·四基考点·考法·探究创新·应用·提能限时规范训练大一轮复习·数学·RJ（理）直观想象——数形结合思想在函数中的应用数形结合思想的主要方面是“以形助数”寻找解决问题的途径．在函数中数形结合思想有着广泛的应用．近几年来高考在此处不断创新命题，着重考查应用图象解决问题的能力．解决此类问题的关键在于准确作出已知函数的图象，并标清一些关键点，作图的规范性与准确性及识图、用图的能力，是此类问题考查的核心．教材·知识·四基考点·考法·探究创新·应用·提能限时规范训练大一轮复习·数学·RJ（理）B[例6]　[一题多解]已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝2－f(x)，若函数y＝eq\f(x＋1,x)与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则eq\i\su(i＝1,m,)(xi＋yi)＝(　　)A．0　　　　　　　　　B．mC．2mD．4m教材·知识·四基考点·考法·探究创新·应用·提能限时规范训练大一轮复习·数学·RJ（理）解析：解法一：y＝eq\f(x＋1,x)＝1＋eq\f(1,x)，其图象关于(0，1)对称如图，又f(－x)＝2－f(x)，即f(－x)＋f(x)＝2，∴f(x)的图象也关于(0，1)对称．又因为y＝eq\f(x＋1,x)与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，所以由对称性可知这些交点也关于(0，1)对称，不妨设(x1，y1)与(xm，ym)关于(0，1)对称，(x2，y2)与(xm－1，ym－1)关于(0，1)对称，….由对称性可知x1＋xm＝0，x2＋xm－1＝0，…，y1＋ym＝2，y2＋ym－1＝2，….教材·知识·四基考点·考法·探究创新·应用·提能限时规范训练大一轮复习·数学·RJ（理）∴eq\i\su(i＝1,m,)i＝0＋2×eq\f(m,2)＝m.故选B.解法二：(特殊函数法)f(－x)＋f(x)＝2，可取f(x)＝x＋1.此时m＝2，eq\i\su(i＝1,m,)(xi＋yi)＝2.故选B.教材·知识·四基考点·考法·探究创新·应用·提能限时规范训练大一轮复习·数学·RJ（理）B[素材库]1．(2018·湘东五校联考)函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,1＋ex)－1))cosx的图象的大致形状是(　　)教材·知识·四基考点·考法·探究创新·应用·提能限时规范训练大一轮复习·数学·RJ（理）解析：选B.∵f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,1＋ex)－1))cosx，∴f(－x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,1＋e－x)－1))cos(－x)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,1＋ex)－1))cosx＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，可排除选项A，C，又当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，ex＞e0＝1，eq\f(2,1＋ex)－1＜0，cosx＞0，∴f(x)＜0，可排除选项D，选B.教材·知识·四基考点·考法·探究创新·应用·提能限时规范训练大一轮复习·数学·RJ（理）D2．(2017·全国卷Ⅲ)函数y＝1＋x＋eq\f(sinx,x2)的部分图象大致为(　　)教材·知识·四基考点·考法·探究创新·应用·提能限时规范训练大一轮复习·数学·RJ（理）解析：选D.当x→＋∞时，eq\f(sinx,x2)→0，1＋x→＋∞，y＝1＋x＋eq\f(sinx,x2)→＋∞，故排除选项B.当0<x<eq\f(π,2)时，y＝1＋x＋eq\f(sinx,x2)>0，故排除选项A，C.故选D.教材·知识·四基考点·考法·探究创新·应用·提能限时规范训练大一轮复习·数学·RJ（理）