平面向量的数量积
平面向量的数量积
1 . 平面向量的数量积
已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫作a和b的数量积(或内积)，记作a·b＝__________. 规定：零向量与任一向量的数量积为____.
两个非零向量a与b垂直的充要条件是a·b＝___，两个非零向量a与b平行的充要条件是a·b＝_______.
2． 平面向量数量积的几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．
3． 平面向量数量积的重要性质
(1)e·a＝a·e＝|a|cos θ；
(2)非零向量a，b，a⊥b⇔a·b＝0； (3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；
当a与b反向时，a·b＝－|a||b|，a·a＝a2，|a|＝a·a；
a·b
|a||b|
(5)|a·b|____|a||b|. (4)cos θ＝
4． 平面向量数量积满足的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律)；
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ为实数)； (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
5． 平面向量数量积有关性质的坐标
表
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示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到 (1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝x2＋y2.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A、B两点间的距离|AB|＝|→AB|
＝
.
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
型：
1、平行问题
这类题主要考查向量平行的充要条件：若向量
，则
例1. 已知向量2、垂直问题
。 ，且
，则
_______。
，且
这类问题主要考查两向量垂直的充要条件：若向量则
。
，
例2. 在△ABC中，∠C＝90°，3、求模问题 若
则
，或
，若
，则k的值是________.
，对于求模有时还运用平方法。
不超过5，则k的取值范
例3. 已知向量
围是__________。 例4. （1）已知_______. （2
）已知向量
___________。 4、求夹角问题
均为单位向量，它们的夹角为60°，那么＝
，向量，则的最大值是
求夹角可用例5. 若_________. 5、求向量 例6. 平面向量____________。 6、求数量积
解决。
，且
，则向量
与
的夹角为
中，已知，且，则向量
例7. 已知平面上三点A、B、C满足
的值等于___________。
，则
练习：
__________
1、若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，满足条件(8a－b)·c＝30，则x等于 __________
2、已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则→DE·→CB的值为
________； →
DE·→DC的最大值为________．
3、已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61，
(1)求a与b的夹角θ； (2)求|a＋b|； (3)若→AB＝a，→BC＝b，求△ABC的面积．
4、已知向量a、b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角为_______
5、已知向量a＝(13)，b＝(－1,0)，则|a＋2b|等于 ________
6、已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)(0<α<β<π)．
(1)求证：a＋b与a－b互相垂直；
(2)若ka＋b与a－kb的模相等，求β－α.(其中k为非零实数)
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7、已知平面向量a＝3，－1)，b＝，.
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(1)证明：a⊥b；
(2)若存在不同时为零的实数k和t，使c＝a＋(t2－3)b，d＝－ka＋tb，且c⊥d，试求函数关系式k＝f(t)．
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