高考数学复习详细资料——导数概念与运算知识

2010高考数学复习详细资料——导数概念与运算知识1．导数的概念函数y=f(x),如果自变量x在x处有增量，那么函数y相应地有增量=f（x+）－f（x），比值叫做函数y=f（x）在x到x+之间的平均变化率，即=。如果当时，有极限，我们就说函数y=f(x)在点x处可导，并把这个极限叫做f（x）在点x处的导数，记作f’（x）或y’|。即f（x）==。说明：（1）函数f（x）在点x处可导，是指时，有极限。如果不存在极限，就说函数在点x处不可导，或说无导数。（2）是自变量x在x处的改变量，时，而是函数值的改变量，可以是零。由导数的定义可知，求函数y=f（x）在点x处的导数的步骤（可由学生来归纳）：（1）求函数的增量=f（x+）－f（x）；（2）求平均变化率=；（3）取极限，得导数f’(x)=。2．导数的几何意义函数y=f（x）在点x处的导数的几何意义是曲线y=f（x）在点p（x，f（x））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f（x）在点p（x，f（x））处的切线的斜率是f’（x）。相应地，切线方程为y－y=f/（x）（x－x）。3．几种常见函数的导数:①②③;④;⑤⑥;⑦;⑧.4．两个函数的和、差、积的求导法则法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即：(法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：若C为常数,则.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：‘=（v0）。形如y=f的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解——求导——回代。法则：y＇|=y＇|·u＇|2010高考数学复习详细资料——导数应用知识清单单调区间：一般地，设函数在某个区间可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数；如果在某区间内恒有，则为常数；2．极点与极值：曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；3．最值：一般地，在区间[a，b]上连续的函数f在[a，b]上必有最大值与最小值。①求函数ƒ在(a，b)内的极值；②求函数ƒ在区间端点的值ƒ(a)、ƒ(b)；③将函数ƒ的各极值与ƒ(a)、ƒ(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。4．定积分（1）概念：设函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0<x1<…<xi－1<xi<…xn＝b把区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间[xi－1，xi]上取任一点ξi（i＝1，2，…n）作和式In＝(ξi)△x（其中△x为小区间长度），把n→∞即△x→0时，和式In的极限叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作：，即＝(ξi)△x。这里，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式。基本的积分公式：＝C；＝＋C（m∈Q，m≠－1）；dx＝ln＋C；＝＋C；＝＋C；＝sinx＋C；＝－cosx＋C（表中C均为常数）。（2）定积分的性质①（k为常数）；②；③（其中a＜c＜b。（3）定积分求曲边梯形面积由三条直线x＝a，x＝b（a<b），x轴及一条曲线y＝f（x）(f(x)≥0)围成的曲边梯的面积。如果图形由曲线y1＝f1(x)，y2＝f2(x)（不妨设f1(x)≥f2(x)≥0），及直线x＝a，x＝b（a<b）围成，那么所求图形的面积S＝S曲边梯形AMNB－S曲边梯形DMNC＝。课前预习1．求下列函数导数（1）（2）（3）（4）y=（5）y＝2．若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为（）A．B．C．D．3．过点（－1，0）作抛物线的切线，则其中一条切线为（）（A）（B）（C）（D）4．半径为r的圆的面积S(r)＝r2,周长C(r)=2r，若将r看作(0，＋∞)上的变量，则(r2)`＝2r1，1式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。对于半径为R的球，若将R看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于1的式子：；2式可以用语言叙述为：。5．曲线和在它们交点处的两条切线与轴所围成的三角形面积是。6．对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x－1）0，则必有（）A．f（0）＋f（2）2f（1）B.f（0）＋f（2）2f（1）C．f（0）＋f（2）2f（1）D.f（0）＋f（2）2f（1）7．函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（　）A．1个B．2个C．3个D．4个8．已知函数。（Ⅰ）设，讨论的单调性；（Ⅱ）若对任意恒有，求的取值范围。9．在区间上的最大值是（）(A)－2(B)0(C)2(D)410．设函数f(x)=（Ⅰ）求f(x)的单调区间；（Ⅱ）讨论f(x)的极值。11．设函数分别在处取得极小值、极大值.平面上点的坐标分别为、，该平面上动点满足,点是点关于直线的对称点.求(I)求点的坐标；(II)求动点的轨迹方程.12．请您 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点O到底面中心的距离为多少时，帐篷的体积最大？13．计算下列定积分的值（1）（2）；（3）；（4）；14．（1）一物体按规律x＝bt3作直线运动，式中x为时间t内通过的距离，媒质的阻力正比于速度的平方．试求物体由x＝0运动到x＝a时，阻力所作的功。（2）抛物线y=ax2＋bx在第一象限内与直线x＋y=4相切．此抛物线与x轴所围成的图形的面积记为S．求使S达到最大值的a、b值，并求Smax．典型例题一导数的概念与运算EG：如果质点A按规律s=2t3运动，则在t=3s时的瞬时速度为（）A.6m/sB.18m/sC.54m/sD.81m/s变式：定义在D上的函数，如果满足：，常数，都有≤M成立，则称是D上的有界函数，其中M称为函数的上界.【文】（1）若已知质点的运动方程为，要使在上的每一时刻的瞬时速度是以M=1为上界的有界函数，求实数a的取值范围.【理】（2）若已知质点的运动方程为，要使在上的每一时刻的瞬时速度是以M=1为上界的有界函数，求实数a的取值范围.EG：已知的值是（） A.B.2C.D.－2变式1：（） A．－１ Ｂ．－2 C．－3 D．1变式2： （） A． B． C． D．根据所给的函数图像比较变式：函数的图像如图所示，下列数值排序正确的是（）A.yB.C.D.O1234xEG：求所给函数的导数：。变式：设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x＜0时,＞0.且g(3)=0.则不等式f(x)g(x)＜0的解集是 A．(－3,0)∪(3,+∞) B．(－3,0)∪(0,3)C．(－∞,－3)∪(3,+∞) D．(－∞,－3)∪(0,3)EG：已知函数.(1)求这个函数的导数；（2）求这个函数在点处的切线的方程.变式1：已知函数.（1）求这个函数在点处的切线的方程；（2）过原点作曲线y＝ex的切线，求切线的方程.变式2：函数y＝ax2＋1的图象与直线y＝x相切，则a＝()A.B.C.D.1EG：判断下列函数的单调性，并求出单调区间：变式1：函数的一个单调递增区间是A.B.C.D.变式2：已知函数(1)若函数的单调递减区间是（-3，1），则的是.(2)若函数在上是单调增函数，则的取值范围是.变式3：设，点P（，0）是函数的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线.（Ⅰ）用表示a，b，c；（Ⅱ）若函数在（－1，3）上单调递减，求的取值范围.EG：求函数的极值.求函数在上的最大值与最小值..变式1：函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（　）A．1个B．2个C．3个D．4个变式2：已知函数在点处取得极大值，其导函数的图象经过点，，如图所示.求：（Ⅰ）的值；（Ⅱ）的值.变式3：若函数，当时，函数极值，（1）求函数的解析式；（2）若函数有3个解，求实数的取值范围．变式4：已知函数，对x〔－1，2〕，不等式f（x）c2恒成立，求c的取值范围。EG：利用函数的单调性，证明：变式1：证明：，变式2：（理科）设函数f(x)=(1+x)2－ln(1+x)2.若关于x的方程f(x)=x2+x+a在[0，2]上恰好有两个相异的实根，求实数a的取值范围.EG：函数若恒成立,求实数的取值范围变式1:设函数若恒成立，求实数的取值范围.变式2:如图,曲线段OMB是函数的图象,轴于点A,曲线段OMB上一点M处的切线PQ交x轴于点P,交线段AB于点Q，(1)若t已知,求切线PQ的方程(2)求的面积的最大值变式3:用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻折900角，再焊接而成，问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大的容积是多少？变式4:某厂生产某种产品件的总成本（万元），已知产品单价的平方与产品件数成反比，生产100件这样的产品单价为50万元，产量定为多少时总利润最大？EG：计算下列定积分：（理科定积分、微积分）变式1：计算：；（1）；（2）变式2：求将抛物线和直线围成的图形绕轴旋转一周得到的几何体的体积.变式3：在曲线上某一点A处作一切线使之与曲线以及轴所围的面积为，试求：（1）切点A的坐标；（2）在切点A的切线方程.　实战训练1.设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如右图所示，则导函数y=f(x)的图象可能为(　)2.已知曲线S:y=3x－x3及点,则过点P可向S引切线的条数为()(A)0 (B)1 (C)2 (D)33.C设S上的切点求导数得斜率，过点P可求得:.4.函数在下面哪个区间内是增函数（）.5.y=2x3－3x2+a的极大值为6，那么a等于()(A)6 (B)0(C)5 (D)16.函数f(x)＝x3－3x+1在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是()(A)1，－1 　(B)3，-17 (C)1，－17(D)9，－197.设l1为曲线y1=sinx在点(0，0)处的切线，l2为曲线y2=cosx在点(,0)处的切线，则l1与l2的夹角为___________.8.设函数f(x)=x3+ax2+bx－1，若当x=1时，有极值为1，则函数g(x)=x3+ax2+bx的单调递减区间为.9．（07湖北）已知函数的图象在点处的切线方程是，则10．（07湖南）函数在区间上的最小值是11．（07浙江）曲线在点处的切线方程是9．.已知函数（Ⅰ）若函数图像上任意一点处的切线的斜率小于1，求证：；（Ⅱ）若，函数图像上任意一点处的切线的斜率为，试讨论的充要条件。12．(07安徽)设函数f（x）=-cos2x-4tsincos+4t2+t2-3t+4,x∈R,其中≤1，将f(x)的最小值记为g(t).(Ⅰ)求g(t)的表达式；(Ⅱ)诗论g(t)在区间（-1,1）内的单调性并求极值.实战训练B1．（07福建）已知对任意实数，有，且时，，则时（）A． B．C． D．2．（07海南）曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．3．（07海南）曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．4．（07江苏）已知二次函数的导数为，，对于任意实数都有，则的最小值为（）A．B．C．D．5．（07江西）5．若，则下列命题中正确的是（　　）A． B． C． D．6．（07江西）若，则下列命题正确的是（）A． B． C． D．7．（07辽宁）已知与是定义在上的连续函数，如果与仅当时的函数值为0，且，那么下列情形不可能出现的是（）A．0是的极大值，也是的极大值B．0是的极小值，也是的极小值C．0是的极大值，但不是的极值D．0是的极小值，但不是的极值8．（07全国一）曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（）A． B． C． D．9．（07全国二）已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（）A．1 B．2 C．3 D．410．（07浙江）设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）11．(07北京)是的导函数，则的值是12．（07广东）函数的单调递增区间是13．（07江苏）已知函数在区间上的最大值与最小值分别为，则14．（07福建）设函数．（Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）若对恒成立，求实数的取值范围．15．(07广东)已知是实数，函数．如果函数在区间上有零点，求的取值范围．