陕西高考数学8年真题 数列汇编陕西省近五年高考数学解答题分类汇编（数列） 陕西省近五年高考数学解答题分类汇编（数列） 2006 . (本小题满分12分) 已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列， 求数列{an}的通项an . 20.解: ∵10Sn=an2+5an+6, ① ∴10a1=a12+5a1+6,解之得a1=2或a1=3. 又10Sn－1=an－12+5an－1+6(n≥2),② 由①－②得 10an=(an2－an－12)+6(an－an－1),即(an+an－1)(an－...
陕西省近五年高考数学解答题分类汇编（数列） 陕西省近五年高考数学解答题分类汇编（数列） 2006 . (本小题满分12分) 已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列， 求数列{an}的通项an . 20.解: ∵10Sn=an2+5an+6, ① ∴10a1=a12+5a1+6,解之得a1=2或a1=3. 又10Sn－1=an－12+5an－1+6(n≥2),② 由①－②得 10an=(an2－an－12)+6(an－an－1),即(an+an－1)(an－an－1－5)=0 ∵an+an－1>0 , ∴an－an－1=5 (n≥2). 当a1=3时,a3=13,a15=73. a1, a3,a15不成等比数列∴a1≠3; 当a1=2时, a3=12, a15=72, 有 a32=a1a15 , ∴a1=2, ∴an=5n－3. 2007.22．（本小题满分12分） 已知各项全不为零的数列 的前 项和为 ，且 ，其中 ． （I）求数列 的通项公式； （II）对任意给定的正整数 ，数列 满足 （ ）， ，求 ． 解：（Ⅰ）当 ，由 及 ，得 ． 当 时，由 ，得 ． 因为 ，所以 ．从而 ． ， ．故 ． （Ⅱ）因为 ，所以 ． 所以 ． 故 ． 2008．22．（本小题满分14分） 已知数列 的首项 ， ， ． （Ⅰ）求 的通项公式； （Ⅱ）证明：对任意的 ， ， ； （Ⅲ）证明： ． 解法一：（Ⅰ） ， ， ， 又 ， 是以 为首项， 为公比的等比数列． ， ． （Ⅱ）由（Ⅰ）知 ， ， 原不等式成立． （Ⅲ）由（Ⅱ）知，对任意的 ，有 ． 取 ， 则 ． 原不等式成立． 解法二：（Ⅰ）同解法一． （Ⅱ）设 ， 则 ， 当 时， ；当 时， ， 当 时， 取得最大值 ． 原不等式成立． （Ⅲ）同解法一． 2009．22．（本小题满分12分） 已知数列 满足， . 猜想数列 的单调性，并证明你的结论； (Ⅱ)证明： 。 证明：（1）由 由 猜想：数列 是递减数列 下面用数学归纳法证明： （1）当n=1时，已证命题成立 （2）假设当n=k时命题成立，即 易知 ，那么 = 即 也就是说，当n=k+1时命题也成立，结合（1）和（2）知，命题成立 （2）当n=1时， ，结论成立 当 时，易知 2010.16.（本小题满分12分） 已知 是公差不为零的等差数列， 且 成等比数列 求数列 的通项公式 求数列的前n项和 解： （1）由题设知公差d≠0 由 且 成等比数列得 解得d=1,d=0（舍去） 故 的通项 （2）由（1）知 ，由等比数列前n项和公式得 2011.19．（本小题满分12分） 如图，从点P1（0,0）作x轴的垂线交于曲线y=ex于点Q1（0,1），曲线在Q1点处的切线与x轴交与点P2。再从P2作x轴的垂线交曲线于点Q2，依次重复上述过程得到一系列点：P1，QI；P2，Q2…Pn，Qn，记 点的坐标为（ ，0）（k=1,2，…，n）。 （Ⅰ）试求 与 的关系（2≤k≤n）； （Ⅱ）求 解（Ⅰ）设 ，由 得 点处切线方程为 由 得 。 （ Ⅱ） ，得 ， 所以 于是， 2012 17.（本小题满分12分） 设 的公比不为1的等比数列，其前 项和为 ，且 成等差数列． （1）求数列 的公比； （2）证明：对任意 ， 成等差数列． 【解析】（1）设数列 的公比为 （ ）。 由 成等差数列，得 ，即 。 由 得 ，解得 ， （舍去），所以 。 （2）证法一：对任意 ， ， 所以，对任意 ， 成等差数列。 证法二：对任意 ， ， ， ， 因此，对任意 ， 成等差数列。 2013 17. (本小题满分12分) 设 是公比为q的等比数列. (Ⅰ) 导 的前n项和公式; (Ⅱ) 设q≠1, 证明数列 不是等比数列. 【答案】(Ⅰ) ; (Ⅱ) 见下； 【解析】(Ⅰ) 分两种情况讨论。 ① ② . 上面两式错位相减: 。 ③综上， (Ⅱ) 使用反证法。 设 是公比q≠1的等比数列, 假设数列 是等比数列.则 ①当 =0成立，则 不是等比数列。 ②当 成立，则 。这与题目条件q≠1矛盾。 ③综上两种情况，假设数列 是等比数列均不成立，所以当q≠1时, 数列 不是等比数列。（证毕）
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