椭圆双曲线离心率取值范围的求法

椭圆双曲线离心率取值范围的求法 30 中学数学教学 2008年第2期例谈椭圆双曲线离心率取值范围的求法湖北省阳新县高级中学邹生书 (邮编：435200) 离心率是圆锥曲线的核心概念，在求椭圆、双曲线离心率取值范围的问题中更显得异常活跃．这类问题往往是数学知识的交汇点，数学思想和方法的综合点，使之成为模拟考试和高考的热点．由于问题综合性强，思维能力和运算能力要求高，学生在解题中普遍存在三难：进入难、深入难、析出难．纵观各种模拟考试和高考试题，求离心率取值范围问题有两种题型，即显示约束条件和隐藏约束条件两种题型．两种解...

30 中学数学教学 2008年第2期例谈椭圆双曲线离心率取值范围的求法湖北省阳新县高级中学邹生书 (邮编：435200) 离心率是圆锥曲线的核心概念，在求椭圆、双曲线离心率取值范围的问题中更显得异常活跃．这类问题往往是数学知识的交汇点，数学思想和方法的综合点，使之成为模拟考试和高考的热点．由于问题综合性强，思维能力和运算能力要求高，学生在解题中普遍存在三难：进入难、深入难、析出难．纵观各种模拟考试和高考试题，求离心率取值范围问题有两种题型，即显示约束条件和隐藏约束条件两种题型．两种解题方向，即以“形”为主的解题的方向和以“数”为主的解题方向．两种求取值范围的方法，即解不等式法和函数值域法．下面举例说明．例1(2007，湖南卷)设F。、F2分别是椭圆 _2 ．．2 鲁+告一1(口>b>o)的左右焦点，若在其右准 “ U 线上存在点P，使线段PF。的中垂线过点F2，则椭圆的离心率的取值范围是( ) A．(o，譬) B．(o，每) 、厶7 o c．|譬，1) D．I枣，1) L．厶 Lo ·解．．。点F2在线段PF。的中垂线上，．‘．F1F2=PF2，又PF2≥F2H，．．．FlF2≥F2H，即2f≥芷一f， f ．．．3f2≥口2， ly P 9j《一 ≮．0R》H髫．—夕 Z ，．．．e22争≥专，．．．e≥枣，又e<1'．．．√--C3≤e<1，应选D．点评以“形”为解题方向，从线段人手，用垂线段最短列不等式．例2过双曲线紊一等一1的右焦点作渐近线y一岛的垂线与双曲线左、右两支都相交，则双曲线的离心率e的取值范围是( ) A．1厄D．e>2 ‘V 穴怨一 17心盯i ．．．f2>2a2，．．．e2=1C>2，．．．e>√2，故应选C．点评以“形”为解题方向，从角人手，用正切函数的单调性列不等式．例3 椭圆乏+荠=1的左、右焦点分别为 F。、F。，P为椭圆上的任意一点，向量两、剪专的数量积的最大值的取值范围是[f2，3c2]，则离心率的取值范围是( ) A．。[{，丢] B．[专，譬] C．巨，]D．陟1] 解设P(x，y)，‘．‘点P在椭圆上，．．．鲁+ 芳一1’．．·Y2：62_≯，两·两=市· F≯=(z+f，y)·(z—f，y)=一十y2一c2= z2+62一笃z2一c2一妄z2+62一f2，‘．．0≤z2≤ 口z，．．．当一一口z时，砑彳．两专其最大值为bz，依题意，，≤b2≤3c2，即C2≤a2一c2≤3c2，故2c2 ≤口2 4C2．．．÷≤薯≤丢，即{≤e2≤丢，．．．百1≤e≤等，放应选& 点评此题属显示约束条件题型，以“数” 为解题方向，从向量数量积的坐标运算人手，用曲线上点的坐标的范围求数量积的最大值，再根据最大值的范围列不等式．例4 椭圆与+告=1(口>b>o)上一点 a。扫。 P，使么OPA=90。，0为坐标原点，A为右顶点，万方数据 2008年第2期中学数学教学 31 则椭圆的离心率的取值范围是( ) 八(譬萼)＆(譬，-) c(i1，1)D．(o'1) -y ／_一锶一＼＼?选纱i 解设P(x，y)，。．‘么OPA=90。，．．．点P在以OA为直径的圆上，其方程为： (z一号)。+62一百az，即一+扩一凹=0① 又点P在椭圆上，孑X-+旁一1 ② 由①、②消去y，得f222一a3z+口2b2—0，此方程有两个根，它们分别是圆与椭圆交点 A、P的横坐标zA、zP，．．．z^=口，由根与系数关系得，zAzP；Tazbz，．口2b2． ab2 一仳P一7⋯却一7’ 又却<口，．．．哗<口'．．．b2a2，．．．e2=≯cz夕虿1，．．．e>譬，又e<1，．．．譬< e<1，应选B．点评以“数”为解题方向，从两曲线交点人手，解方程组求出交点坐标，然后用曲线上点的坐标范围列不等式．例5 已知点F，、F。为双曲线蓦一菩一1的左、右焦点，P为右支上一点，点P至右准线的距离为d，若PF。、PF：、d成等差数列，则此双曲线的离心率取值范围是( ) A．(1，√3] B．(1，2+,／g)． C．[2+万，+oo) 方法1 设P(x，y)，．．‘PFl+d一2PF：，由焦半径公式，得la+％f+z一 _az=2I口一凹I，．．．a+ex+ z一生：2(ez一口)，．．．3口一 D．(1，2+同，，。 >尔一 F r I R互 Z一∥I 生一(e一1)x，又e>1，z≥a，．．．3a—a一≥(e C f 1 —1)n，两边都除以口，得3一土≥e一1，．．．e2—4e e =l≤0，又e>1，．’．11．．‘．1b>o)， n O 长轴两端点A、B．如果C上存在一点Q，使么A‘如一120。，求椭圆离心率e的取值范围．方法1‘．。么APB≥ 么AQB一120。，．‘．么APO≥ 60。，．．．tan么APO≥tan60。，即 a6≥捂，．．以≥届，口2≥362 —3(a2--E)，．．．3c2≥搿，．‘．e2 lV j谚躐一 4《0．一／㈦＼．一手≥号，e≥雩，又e<1'．．．雩≤e<1．点评以“形”为解题方向，从角入手，用正切函数单调性列不等式． ⋯ ．方法2 设Q(。，y)，则事+荸一1，．．．≯_口2=一务3，2，。‘ 由到角公式，得 tan么螂一卉毒％：． 2 — 2 r—a二r+a 2nv2五二厂j一丁i有了1 Y+—里一．阜z。一∥十。一 !型一一—2a—b y2一矿azy2 cZy =tanl20。=一幅，．．．2ab2=屈2Y，又Y≤b，．‘．2ab2≤√爵2b，．。．2ab≤49c2，两边平方，得4a2b2≤3c4，4a2(口2一C2)·≤ 3c4，．．．3c4+4a2C2—4a4≥0，两边都除以a4，得3e4+4e2—4≥0，．．．(e2+2)(3e2—2)≥0，．．．e2≥÷，万方数据 32 中学数学教学 2008年第2期．’磅譬'又e<1'．‘．譬≤e<1．点评以“数”为解题方向，从到角公式人手，用曲线上的点的坐标范围列不等式．例7 F-、F。为焦点的椭圆上存在一点Q，使么F，QFz为钝角，求椭圆离心率的取值范围．方法1 。．。么F1PF2≥ 么FlQF2>90。，．’．么FlPo>45。，．。．凹l>0P，即c>b，．。．c2>护=a2一c2。．．．2f2>白2， j L1，叨邸。 A弋／阶 ● ·一_e2一a￡2>吉，e>雩一又e<1，．。．华定理得QFi+QF；2e222≥0，，7 1 ·’·4c2>2a2，·‘·e2一。c_22>专，．·．e>缮，又e<1'．．．辱c_2，x2≥0，．．．f2>bz=口2一f2，．．．2c2>口2，．．．孑一事>虿1，．．．e>弩，又e<1，矿 Z Z ．．．华90。，由余弦定理得 4c2>一+理一(，．1+r2)2—2rlr2，由第一定义得，rl+T"2—2a，．。．4c2>4a2—2rlr2，．．．2，．1r2>4口2—4f2，又由重要不等式得rl+ r2≥2~／r1r2，即2n≥2~／rlr2，．‘．rlt-2≤a2，．2 1 ．．．4a2--4c2<2a2，．。．2c2>a2，e2=与>妄， n。厶，丽畸．．．e>华，又e<1，．．．等b>o)的左、右焦点分别为F，、口 O F2，A是椭圆上的一点，AF：j-F。Fz，原点。到直 1 线AF。的距离为÷10F-I． o (I) 证明口一√26； (Ⅱ)设Q。、Q：为椭圆上的两个动点，∞。上 ∞。，过原点O作直线Q，Q2的垂线OD，垂足为 D，求点D的轨迹方程．解 (Ⅱ)由(1)知椭圆的方程为：，+2y2 =2b2．设点D的坐标为(z。，Y。)．．当y。≠0时，由 ODj-Q。Qz知，直线Q。Q2的斜率为～竺，所以直 yo 线Q。Q§的方程为Y一一生(z—zo)+Y。，或y= yo 一一2 缸+m，其中忌一一竖，m—Yo+生． yo yo 点Q。(z，，y。)，Q2(z：，Y。)的坐标满足方程组防暑226：害将①式代入②式，得 z2+2(如+研)2—2b2，整理得．(1+2k2)z2+4枷z+2m2--2b2=O，于是z1 h一尚幽zz=爷等．由①式得：十z2一一r丽’zlz221了万。田ⅢA得。 Y1Y2一(kxl+m)(hx2+优)一k2zlz2+km(zl h)+m2甜爷警+加高+m2— 1+2足2’ 由∞lj-∞2知zlz2+y1Y2—0．代入得 3m2—2b2—2b2忌2^——T干夏广一叭。．．．3m2—2b2—2b2k2=0．将忌一一生，m— Yo Y。+旦代人上式，整理得z3+Y：一-虿‘b2．当Yo=0时，直线QlQ的方程为z一知，Q(xl， Y1)，Q(恐，Y2)的坐标满足方程组{≥i≥：劈．所以五一忍一面，m一±√孚．由∞1J-∞2知zlz2+yly2—0，即z：一下2b2--x02：o，解得z5一昙62． AcI=la+exc2n+ezc2口+詈， AEI—I口+眦，I一一n一盯。一一d— c(X一2)¨及而’ 又’．．窟=A蔚，．．．IAE2南IACI，．．．一a--e·筹苦=南(口+詈)，一 ‘瓦河可2r瓦I口十虿J’ 两边都除以n得，一1一e2‘赫； fb(·+虿Ie2)，解得e2=罕等一一2+r马，又．．．詈≤A≤导，．．．e2一一2+r马在A∈ [号，导]上单调递减增，当A一睾时，e乙。一7，当A一÷时，e‰，一10，．．．7≤e2≤10，．．．√7≤e≤~／10．点评以“形”为解题方向，从焦半径公式人手，求出e2一，(A)，再求此函数值域就可求出 e的范围． (收稿日期：2007—11—26) 万方数据例谈椭圆双曲线离心率取值范围的求法作者：邹生书作者单位：湖北省阳新县高级中学,435200 刊名：中学数学教学英文刊名： HIGH SCHOOL MATHEMATICS TEACHING 年，卷(期)： 2008(2) 本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_zxsxjx200802014.aspx

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