求数列通项公式的常用方法

高 考 数 学 《语数外学习》（高中版）2011年9月号中旬刊 求数列的通项公式是各种考试的常考 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 型之一．本文对求通项公式进行了较为全面 的整理． 类型 1：an+1= can+daan+b ， 解决这类问题涉及特征根方程 x= cx+d ax+b ， 当方程有两根 x1，x2时，则数列{ an-x1an-x2 }是等比 数列，当方程有两相等根时，记为 x0，则数列 { 1 an-x0 }是等差数列，没有实根时，一般为周期 数列，可以借助三角函数来解． [例1]设数列{an}满足 a1=1，8an+1·an- 16an+1 +2an+5=0， 求数列{an}的通项公式。 解：由已知可得 an+1= 2an+516- 8an ，其特征根方 程为 x= 2x+516- 8x ，解之得 x1 = 12 ，x2= 5 4 ， ∴an+1- 12 = 6(an- 12 ) 16- 8an ，an+1- 54 = 12(an- 54 ) 16- 8an ， ∴ an+1- 12 an+1- 54 = 12 an- 12 an- 54 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ， 而 a1- 12 a1- 54 =- 2 ∴ an- 12 an- 54 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 是等比数列， an- 12 an- 54 =- 2 12� �n- 1， ∴an= 2 n- 1+5 2n+4 [例 2]设数列{an}满足 an+1= 12- an ，a1= 12 ， 求数列{an}的通项公式． ■ 刘 杰 求数列通项公式的常用 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 JIETI YANJIU解题研究解题研究 16 高 考 数 学 《语数外学习》（高中版）2011年9月号中旬刊 解：特征根方程为 x= 12- x ，Δ =0，记根为 x0=1，设 bn= 12 ，则 bn+1= 1 1- an+1 =bn+1 ∴ 数列{bn}为等差数列，又 b1= 11- a1 =2， ∴bn=b1+(n- 1)·2=n+1= 11- an ， ∴an= nn+1 ． [例 3]已知数列 {an} 满足 a1=0，an+1= an- 3姨 3姨 an+1 ，a20=（ ） A.0 B.- 3姨 C. 3姨 D. 3姨2 解：解特征根方程 x= x- 3姨 3姨 x+1 ，可知无实 数根，因此该数列周期数列，由递推关系可知 a2=- 3姨 ，a3= 3姨 ，a4=0，周期为 3，故 a20=a2=- 3姨 ． 另解：设 an=tanθn，θ1=0，由递推关系可知 tanθn+1=tan(θn- π3 )， ∴θn+1=θn- π3 +kπ，k∈Z，取 k=0，则 θ n=θ1- π 3 (n- 1)， 从而 θ20=- 19π3 ，a20=tanθ20=- 3姨 ． 类型 2：an+1=f(n)an+g(n) [例 4]在数列{an}中，a1=1 且 an=an- 1+2n- 1， 求数列{an}的通项公式。 解析：当 f(n)=1时，一般用累差法。 an= (an -an- 1)+ (an -an- 1)+… + (a2- a1)+a1=2n- 1 +2n- 2+…+2+1=2n- 1 [例 5]在数列 {an}中，an+1=2an+1，求数列 {an}的通项公式。 解析：当 f(n)，g(n)都为常数时，一般用待 定系数法构造等比数列解题。 设 an+1λ=2(an+λ)，与原递推式比较可知 λ=1， 而 a1+1=2，∴ {an+1} 是等比数列，an+1=2· 2n- 1=2n，∴an=2n- 1． [例 6]已 知 数 列 {an} 满 足 a1=1，an = a1+2a2+3a3+…+(n- 1)an- 1，(n≥2)则数列的通项 公式 an= 1 n=1 _______n≥ ≥ 2 ， 解：由已知得 an+1=a1+2a2+3a3+…+nan，用此 式减已知式，可得 an+1= (1+n)an，(n≥2)，又 a2=a1=1，∴an= anan- 1 ·an- 1an- 2 … a2a1 ·a1，从而求得 an= n! 2 ，(n≥2). 当 g(n)=0时，一般用累积法． [例 7]设数列{an}前 n 项和 Sn= 43 an- 1 3 ×2n+1+ 23 ，n∈N *，求数列{an}的通项公式。 解：当 n=1 时，a1=S1= 43 a1- 4 3 + 2 3 ，解得 a1=2， 当 n≥2时，an=Sn-Sn- 1= 43 an- 1 3 ×2 n+1+ 23 - ( 43 an- 1- 1 3 ×2 n+ 23 )， 即 an=4an- 1+2n①，设 an+λ·2n=4(an- 1+λ·2n- 1)， 整理并与①比较得 λ=1， ∴an+2n=4(an- 1+2n- 1)，又 a1+2=4， 故 an+2n=4×4n- 1=4n，∴an=4n- 2n. JIETI YANJIU 解题研究解题研究 17 高 考 数 学 《语数外学习》（高中版）2011年9月号中旬刊 [例 8]已知{an}中，a1=3 且 nan+1=(n+2)an+ n，求数列{an}的通项公式。 解：将等式两边同除以 n (n+1)(n+2)，得 an+1 (n+1)(n+2) = an n(n+1) + 1(n+1)(n+2) ， 令 bn = an n(n+1)，bn+1 =bn+ 1(n+1)(n+2) =bn+ 1n+1 - 1 n+2 ， ∴bn=(bn-bn- 1)+(bn- 1- bn- 2)+…+(b2- b1)+b1 ( 1 n - 1 n+1 )+( 1 n- 1 - 1 n )+…+( 12 - 1 3 )+ 3 2 = 2n+1 n+1 ，故 an=n (n+1)bn=n(2n+1)． 类型 3：an+2=pan+1+qan 解决这类问题涉及特征根方程 x2=px+q， 设其根为 α，β，一般利用 an+2- αan+1=β(an+1- αan) 构造等比数列来解决． [例 9]已知数列 {an} 满足 a1=1，a2=3， an+1=3an- 2an- 1，(n≥2)求数列{an}的通项公式． 解：由特征根方程 x2=3x- 2，得 x1=1，x2=2 ∴an+1- an=2(an-an- 1) ∴an+1- an=(a2- a1)·2n- 1=2n①， 又 an+1- 2an=an- 2an- 1， ∴an+1- 2an =a2- 2a1=1 ② ， 联 立 ① ② 得 an=2n- 1． 类型 4：an+1=g(n)·af(n )n 这种类型一般涉及到取对数． [例 10]已知数列 {an} 满足：an 为正数， a1=2，且 an+1=2·a3n，求数列{an}的通项公式． 解：∵an 为正数，两边取自然对数得： lnan+1=ln2+3lnan，lnaa+1+λ=3(lnan+λ)， 从而 λ= 12 ln2， ∴lnan+ 12 ln2=(lna1+ 1 2 ln2)·3 n- 1， ∴lnan= 12 (3 n- 1)ln2， ∴an=2 1 2 (3 n - 1) ． 类型 5：Sn=f(an) 这种类型一般利用 an=Sn-Sn- 1，(n≥2)，消 去 Sn求 an，有时消去 an先求 Sn． [例11]已知数列{an}前 n 项和为 Sn，满足 an+Sn=n 求数列{an}的通项公式． 解：由 an+Sn=n 知 an+1+Sn+1=n+1，a1= 12 ，则 2an+1- an=1，仿例 5可求 an=1- ( 12 ) n． 类型 6：an+an+1=pn+q，或者 anan+1=p·qn 这种类型一般可转化为{a2n- 1}与{a2n}是等 差数列或者等比数列来求解． [例12]已知数列 {an} 满足 a1=1，an+1=6n- an，求数列{an}的通项公式． ②已知数列{an}满足 a1=1，anan+1=3n，求数列 {an}的通项公式． 解：①∵an+1=6n-an，∴an+1+an=6n，an +2+an+1=6 (n+1)， 则 an+2- an=6， ∴{a2n- 1}与{a2n}均是公差为 6的等差数列， 易求得 an= 3n- 2 n 为奇数 3n- 1 n 为偶 n 数 ． ②∵anan+1=3n，∴an+1an+2=3n+1，∴ an+2an+1 =3， ∴{a2n- 1}与{a2n}均是公比为 3 的等差数列， 易求得 an= 3 n- 1 2 n 为奇数 3 n 2 n 为偶 n n n n n n n n n n n 数 ． 还有一些数列可以先猜想，然后证明的 办法，以上这些办法供参考。 JIETI YANJIU解题研究解题研究 18