空间向量与立体几何

黑龙江省2013届高考数学一轮复习单元训练：空间向量与立体几何 本 试卷 云南省高中会考试卷哪里下载南京英语小升初试卷下载电路下试卷下载上海试卷下载口算试卷下载 分第Ⅰ卷(选择 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 )和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟． 第Ⅰ卷(选择题　共60分) 一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．平面α，β的法向量分别是n1＝(1,1,1)，n2＝(－1,0，－1)，则平面α，β所成角的余弦值是(　　) A． B．－ C． D．－ 【 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 】C 2． 空间任意四个点A、B、C、D，则 等于 ( ） A． B． C． D． 【答案】C 3．四棱柱 中，AC与BD的交点为点M，设 ，则下列与 相等的向量是 ( ） A． B． C． D． 【答案】Ａ 4．在空间四边形ABCD中，若 ， ， ，则 等于 ( ） A． B． C． D． 【答案】D 5．平面α的一个法向量n＝(1，－1,0)，则y轴与平面α所成的角的大小为(　　) A． B． C． D． 【答案】B 6．在三棱柱 中，设M、N分别为 的中点，则 等于 ( ） A． B． C． D． 【答案】B 7．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为正方体内一动点(包括表面)，若＝x＋y＋z，且0≤x≤y≤z≤1.则点P所有可能的位置所构成的几何体的体积是(　　) A．1 B． C． D． 【答案】D 8．若A、B、C、D为空间四个不同的点，则下列各式为零向量的是 ( ） ① ② ③ ④ A．①② B．②③ C．②④ D．①④ 【答案】C 9．对于空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，有＝x＋y＋z(x，y，z∈R)，则x＝2，y＝－3，z＝2是P，A，B，C四点共面的(　　) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 10．以下命题中，不正确的命题个数为(　　) ①已知A、B、C、D是空间任意四点，则A＋B＋C＋D＝0 ②若{a，b，c}为空间一个基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间的另一个基底； ③对空间任意一点O和不共线三点A、B、C，若O＝x＋y＋z(其中x，y，z∈R)，则P、A、B、C四点共面． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 11．点M在z轴上，它与经过坐标原点且方向向量为s＝(1，－1,1)的直线l的距离为，则点M的坐标是(　　) A．(0,0，±2) B．(0,0，±3) C．(0,0，±) D．(0,0，±1) 【答案】B 12．如图所示，已知在直三棱柱ABO－A1B1O1中，∠AOB＝，AO＝2，BO＝6，D为A1B1的中点，且异面直线OD与A1B垂直，则三棱柱ABO－A1B1O1的高是(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 第Ⅱ卷(非选择题　共90分) 二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13． 线段AB，BD在平面α内，BD⊥AB，线段AC⊥α，如果＝a，＝b，＝c，则CD的长度为________．(用a，b，c表示) 【答案】 14．在空间直角坐标系中，点M(5,1，－2)关于xOz面的对称点坐标为________． 【答案】(5，－1，－2) 15．如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是________． 【答案】60° 16．在空间四边形ABCD中， ＝a－2c， ＝5a＋6b－8c，对角线AC、BD的中点分别为P、Q，则＝__________. 【答案】3a＋3b－5c 三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17． M为长方体AC1的棱BC的中点，点P在长方体AC1的一个平面CC1D1D内，若PM∥平面BB1D1D，试探讨点P的确切位置． 【答案】如图建立空间直角坐标系Dxyz，设A(a,0,0)，B(a，b,0)，C(0，b,0)，D1(0,0，c)，则M，根据题意可设P(0，y，z)， ∵PM∥平面BB1D1D， ∴存在实数对(m，n)，使得＝m＋n，即＝(ma，mb，nc)，可得解得 即点P． ∴点P在棱CD，C1D1的中点连线上． 18．已知斜三棱柱ABC-A1B1C1,∠BCA=90°,AC=BC=2,A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，又知BA1⊥AC1. (1)求证：AC1⊥平面A1BC； (2)求点C1到平面A1AB的距离； (3)求二面角A-A1B-C的余弦值. 【答案】(1)如图，取AB的中点E，则DE∥BC，因为BC⊥AC, 所以DE⊥AC, 且A1D⊥平面ABC, 以射线DE,DC,DA1分别为x,y,z轴的正半轴建立空间直角坐标系，则A(0,-1,0),C(0,1,0),B(2,1,0), 设A1(0,0,t),C1(0,2,t), 则 =(0,3,t), =(-2,-1,t), =(2,0,0), ∴AC1⊥CB,BA1⊥AC1,∴AC1⊥平面A1BC. (2)由(1)知AC1⊥平面A1BC,∴ =-3+t2=0, 得t= . 设平面A1AB的一个法向量为n=(x,y,z), =(0,1, ), =(2,2,0), 所以 设z=1, 则 . 所以点C1到平面A1AB的距离 . (3)设平面A1BC的一个法向量为m=(x1,y1,z1), =(0,-1, ), =(2,0,0), 所以 设z1=1，则m=(0, ,1), 故 , 由题意知二面角A-A1B-C为锐角. ∴二面角A-A1B-C的余弦值为 . 19．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°,∠BAC= 30°,BC=1,AA1= ,M是棱CC1的中点. (1)求证：A1B⊥AM； (2)求直线AM与平面AA1B1B所成角的正弦值. 【答案】(1)因为C1C⊥平面ABC，BC⊥AC，所以以C为原点，射线CA,CB,CC1分别为x轴，y轴，z轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 B(0,1,0),A1( ,0, ),A( ,0,0),M(0,0, ), 所以 , 所以 =3+0-3=0,所以 ，即A1B⊥AM. (2)由(1)知 =(- ,1,0), =(0,0,- ),设面AA1B1B的法向量为n=(x,y,z),则 不妨取n=(1, ,0),设直线AM与平面AA1B1B所成角为θ,则 所以直线AM与平面AA1B1B所成角的正弦值为 . 20．如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD. (1)证明：平面PQC⊥平面DCQ； (2)求二面角Q－BP－C的余弦值． 【答案】如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线OA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D－xyz. (1)依题意有Q(1,1,0)，C(0,0,1)，P(0,2,0)． 则＝(1,1,0)，＝(0,0,1)，＝(1，－1,0)． 所以·＝0，·＝0. 即PQ⊥DQ，PQ⊥DC.故PQ⊥平面DCQ. 又PQ⊂平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ。 (2)依题意有B(1,0,1)，＝(1,0,0)，＝(－1,2，－1)． 设n＝(x，y，z)是平面PBC的法向量， 即即 因此可取n＝(0，－1，－2)． 设m是平面PBQ的法向量，则 可取m＝(1,1,1)，所以cos〈m，n〉＝－． 故二面角Q－BP－C的余弦值为－． 21．如图，△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB＝2． (1)求点A到平面MBC的距离； (2)求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值． 【答案】解法一：(1)取CD中点O，连OB，OM，则OB＝OM＝，OB⊥CD，MO⊥CD， 又平面MCD⊥平面BCD，则MO⊥平面BCD，所以MO∥ AB，MO∥平面ABC，M、O到平面ABC的距离相等．作OH⊥BC于H，连MH，则MH⊥BC. 求得OH＝OC·sin60°＝， MH＝＝， 设点A到平面MBC的距离为d， 由VA－MBC＝VM－ABC得·S△MBC·d＝·S△ABC·OH. 即··2·d＝··2·2·， 解得d＝． (2)延长AM、BO相交于E，连CE、DE，CE是平面ACM与平面BCD的交线． 由(1)知，O是BE的中点，则四边形BCED是菱形． 作BF⊥EC于F，连AF，则AF⊥EC，∠AFB就是二面角A－EC－B的平面角，设为θ.因为∠BCE＝120°， 所以∠BCF＝60°.BF＝2sin60°＝， tanθ＝＝2，sinθ＝． 则所求二面角的正弦值为． 解法二：取CD中点O，连OB，OM，则OB⊥CD，OM⊥CD， 又平面MCD⊥平面BCD，则MO⊥平面BCD. 取O为原点，直线OC、BO、OM为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系如图．OB＝OM＝，则各点坐标分别为C(1,0,0)，M(0,0，)，B(0，－，0)，A(0，－，2)． (1)设n＝(x，y，z)是平面MBC的法向量，则 ＝(1，，0)，＝(0，，)． 由n⊥得x＋y＝0；由n⊥得y＋z＝0. 取n＝(，－1,1)，＝(0,0,2)则 d＝＝＝． (2)＝(－1,0，)，＝(－1，－，2)． 设平面ACM的法向量n1＝(x，y，z)，则n1⊥，n1⊥得， 解得x＝z，y＝z，取n1＝(，1,1)． 又平面BCD的法向量为n2＝(0,0,1)． 所以cos〈n1，n2〉＝＝， 设所求二面角为θ，则sinθ＝． 22．已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD=2，AB=1，PA⊥平面ABCD，E、F分别是线段AB、BC的中点． (1)证明：PF⊥FD； (2)判断并说明PA上是否存在点G，使得EG∥平面PFD； (3)若PB与平面ABCD所成的角为45°，求二面角A-PD-F的余弦值． 【答案】(1)∵PA⊥平面ABCD， ∠BAD=90°，AB=1，AD=2， 建立如图所示的空间直角坐标系Axyz， 则A(0,0,0),B(1,0,0),F(1,1,0),D(0,2,0) 不妨令P(0,0,t)，则 =(1,1,-t)， =(1,-1,0)， ∴ · =1×1+1×(-1)+(-t)×0=0， 即PF⊥FD． (2)设平面PFD的法向量为n=(x,y,z)， 由 得 令z=1， 解得：x=y= ． ∴n=( , ,1)． 设G点的坐标为(0,0,m)，E( ,0,0)， 则 =( ,0,m)， 要使EG∥平面PFD，只需 ·n=0， 即 ， 得m= t，从而满足AG= AP的点G即为所求． (3)∵AB⊥平面PAD，∴ 是平面PAD的法向量， 易得 =(1,0,0)， 又∵PA⊥平面ABCD， ∴∠PBA是PB与平面ABCD所成的角， 得∠PBA=45°，则PA=1， 平面PFD的法向量为n=( , ,1)， ∴ ， 由题意知二面角A-PD-F为锐角.故所求二面角A-PD-F的余弦值为 .