立几总复习

nullnullnullnullnull角的知识正弦定理:余弦定理:null直线与平面所成角平面与平面所成角异面直线所成的角null异面直线所成的角 已知异面直线 a、b，经过空间任一点o作直线 a′// a , b′// b ,b′O 直角），叫做异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角). 我们把a′与b′所成的锐角（或求异面直线所成角的方法:1)找(作)角; 2)求角.找角一般方法有：（1）平移法（常用方法）（2）补形法null在正方体AC1中，求异面直线A1B和B1C所成的角.A1B和B1C所成的角为 60°和A1B成角为60°的面对角线共有 条。8例1null在正方体AC1中，求异面直线D1B和B1C所成的角.ABDCA1B1D1C1例2null在正方体AC1中，M，N分别是A1A和B1B的 中点，求异面直线CM和D1N所成的角.MN例3nullPABCMN空间四边形P-ABC中，M，N分别是PB， AC的中点，PA=BC=4，MN=3，求PA与 BC所成的角.例4null如图，空间四边形P-ABC中，PA=PB=PC，且 PA、 PB、PC两两垂直， M，N分别是AB，PC的中点，求PM与BN所成的角.例5Onull已知两异面直线a,b所成的角是50 °，P为空间中 一定点，则过点P且与a,b都成30°角的直线有___ 条。abPO2例6nullnull斜线与平面所成的角平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角null当直线与平面垂直时，直 线与平面所成的角是90°当直线在平面内或与平面平行时，直线与平面所成的角是0°null斜线与平面所成的角（ 0°, 90°）直线与平面所成的角〔 0°, 90°〕异面直线所成的角（ 0°, 90°〕null若斜线段AB的长度是它在平面内的射影长的2倍， 则AB与所成的角为 。60°null最小角原理C 斜线与平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角。null 如图,直线OA与平面  所成的角为 ，平面内一条直线 OC 与 OA 的射影OB所成的角为 2 ，设∠AOC为 ，求证:cos  = cos 1 cos 21null 若直线 l1与平面所成的角为60 ° ，则这条直 线与平面内的直线所成的一切角中最小的角为 ， 最大的角为 。90°60°Ol1null求直线与平面所成的角时,应注意的问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 :(1)先判断直线与平面的位置关系(2)当直线与平面斜交时，常采用以下步骤：①作出或找出斜线上的点到平面的垂线②作出或找出斜线在平面上的射影③求出斜线段，射影，垂线段的长度④解此直角三角形,求出所成角的相应 函数 excel方差函数excelsd函数已知函数     2 f x m x mx m      2 1 4 2拉格朗日函数pdf函数公式下载 值null如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中， 求A1B与平面A1B1CD所成的角。O例1nullABCA1B1C1O例2nullSACBOFE如图，ACB=90，S为平面ABC外一点， SCA= SCB= 60，求SC与平面ABC所 成的角.例3nullSACBOFE如图，SA，SB，SC是三条射线，BSC=60, SA上一点P到平面BSC的距离是3,，P到SB， SC的距离是5,求SA与平面BSC所成的角。P例4null正四面体P—ABC中，求侧棱 PA与底面ABC所成的角PABCD例5nullnull从一条直线出发的两个半平面所形成的图形叫做二面角这条直线叫做二面角的棱从一条直线出发的两个半平面所形成的图形叫做二面角这条直线叫做二面角的棱null二面角的平面角以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角nullABCA′已知：如图⊿ABC的顶点A在平面上的射影 为点A′， ⊿ABC的面积是S,⊿A′BC的面积 是S′，设二面角A-BC-A′为. 求证：COS  = S ′÷ Snull在正方体AC1中，求二面角D1-AC-D的大小例1null如图，SA⊥底面ABCD，底面 ABCD为正方 形，平面SBC，SCD与底面ABCD都成45角， 求二面角B-SC-D的大小.E例2null在正方体AC1中，E，F分别是AB，AD的 中点，求二面角C1-EF-C的大小。EFABDCA1B1D1C1H例3null求正四面体的侧面与底面所成的二面角的大小。E例4null三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA=3， AC=4，PB=PC=BC. （1）求二面角P-BC-A的大小34H例5null （2）求二面角A-PC-B的大小COS =三棱锥P -ABC中，PA⊥平面ABC，PA=3， AC=4，PB=PC=BC.也可以用向量的方法null⊿ABC中，AB⊥BC，SA⊥平面ABC， DE垂直平分SC，又SA=AB，SB=BC， 求二面角E-BD-C的大小。SABCED例6nullE例7⊿ABC和⊿DBC 所在的平面互相垂直， 且AB = BC = BD， CBA=DBC=120，求： （1）AD与平面BCD所成的角； （2）AD与BC所成的角； （3）二面角A-BD-C的大小。O 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 ：nullnull直线和平面的位置关系直线和平面的平行关系平面和平面的平行关系null直线在平面内直线和平面相交直线和平面平行线面位置关系有无数个公共点有且仅有一个公共点没有公共点null（1）点A是平面外的一点，过A和平面平 行的直线有 条。无数（2）点A是直线 l 外的一点，过A和直线 l 平行的平面有 个。无数（3）过两条平行线中的一条和另一条平 行的平面有 个。无数null（5）如果l1 // l2 , l1 平行于平面,则 l 2 平面 或 //（6）如果两直线a，b相交,a平行于平面， 则b与平面的位置关是 。相交或平行（4）过两条异面直线中的一条和另一条平行 的平面有 个。且仅有一（7）平行于同一平面的两直线的位置关系是 _________________.平行，相交，异面null1、定义：直线与平面没有公共点2、判定定理：如果平面外一条直线 和这个平面内的一条直线平行，那 么这条直线和这个平面平行。null(1)如果一条直线与一个平面平行，则这条 直线与这个平面无公共点。(2)如果一条直线与一个平面平行，则这条 直线与这个平面内的直线成异面直线或 平行直线。(3)如果一条直线与一个平面平行，经过这 条直线的平面和这个平面相交，则这条 直线与交线平行。3、性质null（4）如果平面外的两条平行线中的一条与 这个平面平行，则另一条直线与这个 平面也平行。abcnull（5）如果一条直线和两个相交平面都平行， 则这条直线与它们的交线平行al已知：a // ， a //  ，   = l求证：a // lnull在正方体AC1中，E为DD1的中点， 求证：DB1//面A1C1EE∵DB1 // EF∴ DB1 //面A1C1E线线平行线面平行例1null如图，空间四面体P-ABC，M，N分别是 面PCA和面PBC的重心, 求证：MN// 面ABCEF例2null如图,两个全等的正方形ABCD和ABEF所在 平面交于AB，M、N分别是对角线上的点， AM=FN。求证:MN//面BCE。ABCDEFMN∵MN // GH∴ MN //面BCE线线平行线面平行例3方法一nullABCDEFMN∵AF // BH∴ AN：NH=FN：BN∴ AN：NH=AM：MC∴ MN//CH∴ MN //面BCE如图,两个全等的正方形ABCD和ABEF所在 平面交于AB，M、N分别是对角线上的点， AM=FN。求证:MN//面BCE。方法二线线平行线面平行面面平行线面平行方法三null在正方体AC1中，O为平面ADD1A1的中心， 求证：CO // 面A1C1BO例4线线平行线面平行方法一面面平行线面平行方法二nullabABOMNP如图，a，b是异面直线，O为AB的中点，过 点O作平面与两异面直线a，b 都平行，MN 交平面  于点P，求证：MP = PNQ例5null如图, A、B、C、D是空间不共面的四点， E、F、G、H分别在AD、AC、BC、BD上， 且四边形EFGH是平行四边形, 求证:CD//面EFGH。例6nullnull两个平面平行的判定方法1、两个平面没有公共点2、一个平面内有两条相交直线 都平行于另一个平面3、都垂直于同一条直线的两个 平面两个平面平行4、都平行于同一平面的两个 平面null两个平面平行的性质4、一直线垂直于两个平行平面中的一个， 则它也垂直于另一个平面2、其中一个平面内的直线平行于另一 个平面3、两个平行平面同时和第三个平面相交， 它们的交线平行两个平面平行5、夹在两个平行平面间的平行线段相等1、两个平面没有公共点null判断下列命题是否正确1、平行于同一直线的两平面平行2、垂直于同一直线的两平面平行3、与同一直线成等角的两平面平行例1null4、垂直于同一平面的两平面平行5、若 ∥β，则平面  内任一直线a ∥β6、若n  ，m  ，n∥β，m∥β则 ∥β∩∩null如图,在正方体AC1中， 求证：面AB1D1∥面BDC1证法一：B1D1∩AB1=B1面AB1D1∥ 面BDC1线∥线线∥面面∥面例2null证法二：A1C⊥BDBD∩BC1=BA1C⊥面BDC1面AB1D1∥面BDC1nullnull面∥面由变式一知： EFG∥面BDC1线∥面OC1 ∥面EFG 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 ：null如图，在正方体AC1中，E，F，M，N分别为 A1B1，A1D1，B1C1， C1D1 的中点。求证：面AEF∥面BDNM变式三null小结：线线 平行线面 平行面面 平行线面平行判定线面平行性质面面平行判定面面平行性质三种平行关系的转化nullnull线面垂直的判定与性质面面垂直的判定与性质nullnull线面垂直的判定方法1、如果一条直线和一个平面内的任意一条直 线都垂直，则直线与平面垂直。2、如果两条平行线中的一条垂直于一个平 面，则另一条也垂直于这个平面。3、如果一条直线和一个平面内的两条相交直 线都垂直，则直线与平面垂直。null线面垂直的性质1、如果一条直线和一个平面垂直，则这条直 线垂直于平面内的任意一条直线。2、如果两条直线同垂直于一个平面，则这两 条直线平行。nullPABC如图，AB是圆O的直径，C是异于A，B 的圆周上的任意一点，PA垂直于圆O所 在的平面，（1）求证：BC⊥面PAC例1nullPABC（2）若AH⊥PC，则AH⊥面PBC如图，AB是圆O的直径，C是异于A，B 的圆周上的任意一点，PA垂直于圆O所 在的平面，nullO在正方体AC1中，O为下底面的中心，求证：AC⊥面D1B1BD例1nullOH在正方体AC1中，O为下底面的中心， B1H ⊥D1O,求证：B1H⊥面D1AC例2null已知：l //  ，m  求证: l  m m例3null如图, ABCD是矩形， PA⊥平面ABCD， ⊿PAD 是等腰三角形，M、N分别在AB、PC的中点， 求证:MN ⊥ 面PCD。例4null如图，空间四边形ABCD中， AD = BD， AC = BC ，E、F、G、H分别是AC 、 BC 、 BD、 AD 的中点 求证:四边形EFGH是平行四边形。 例5nullnull定义null如果一个平面经过另一个平面的一条垂线， 则这两个平面互相垂直。null如果两个平面垂直，则在一个平面内垂直于 它们的交线的直线垂直于另一个平面null 如图，C为以AB为直径的圆周上一点， PA⊥面ABC，找出图中互相垂直的平面。∵PA⊥面ABC∴面PAC⊥面ABC∴面PAB⊥面ABC∵BC⊥面PAC∴面PBC⊥面PACnull求证：如果一个平面与另一个平面的 垂线平行，则这两个平面互相垂直null求证：如果两个相交平面都与另一个平面垂直，则这两个平面的交线 l 垂直于另一个平面lnull求证：如果两个相交平面都与另一个平面垂直，则这两个平面的交线 l 垂直于另一个平面lnull四面体ABCD中，面ADC⊥面BCD，面ABD ⊥面BCD，设DE是BC边上的高， 求证： 平面ADE ⊥面ABC 面ADC⊥面BCD面ABD ⊥面BCDAD ⊥面BCDAD ⊥BCDE ⊥BCBC ⊥面ADE面ABC ⊥面ADE①②③④null⊿ABC是直角三角形, ∠ACB=90°,P为平面外一点，且PA=PB=PC . 求证： 平面PAB ⊥面ABC null课堂练习课堂练习空间四面体ABCD中，若AB=BC，AD=CD，E为AC的中点，则有( ）(A) 平面ABD ⊥面BCD(B) 平面BCD ⊥面ABC(C) 平面ACD ⊥面ABC(D) 平面ACD ⊥面BDEnull如图，ABCD是正方形，PA ⊥面ABCD，连接PB,PC,PD,AC,BD,问图中有几对互相垂直的平面？面PAC⊥面ABCD面PAB⊥面ABCD面PAD⊥面ABCD面PAD⊥面PAB面PAD⊥面PCD面PBC⊥面PAB面PBD⊥面PACnull如图，三棱锥P-ABC中，PB⊥底面ABC，∠ACB= 90°,PB=BC=CA,E为PC中点，null如图，四棱锥P-ABCD的底面是菱形，PA⊥底面ABCD，∠BAD= 120°,E为PC上任意一点，nullnull点—点点—线点—面线—线线—面null点—点PABOsin60°= 2R= POnullnull点—线ABCDA1B1C1D1H 已知：长方体AC1中，AB=a，AA1=AD=b,求点C1到BD的距离.C1H=null线—线ABCDEF矩形CDFE和矩形ABFE所在的平面相交，EF=5,AD=13,求平行线AB和CD的距离？null点—面从平面外一点引这个平面的垂线垂足叫做点在这个平面内的射影这个点和垂足间的距离叫做点到平面的距离线面垂直点的射影点面距离null已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA=PB=PC 试判断点P在底面ABC的射影的位置？PABCOOA=OB=OCO为三角形ABC的外心null已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA,PB,PC两两垂直,试判断点P在底面ABC的射影的位置？PABCO为三角形ABC的垂心DOnull已知三棱锥P-ABC的顶点P到底面三角形ABC的三条边的距离相等,试判断点P在底面ABC的射影的位置？PABCO为三角形ABC的内心OEFnull已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA=PB=PC 试判断点P在底面ABC的射影的位置？已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA,PB,PC两两垂直,试判断点P在底面ABC的射影的位置？已知三棱锥P-ABC的顶点P到底面三角形ABC的三条边的距离相等,试判断点P在底面ABC的射影的位置？PABCO外心垂心内心null直角三角形ACB确定平面,点P在平面外，若点P到直角顶点C的距离是24，到两直角边的距离都是6,求点P到平面的距离？PABCEFOnull例：已知一条直线 l 和一个平面平行，求证：直线 l 上各点到平面的距离相等AA`BB`lnull线—面一条直线和一个平面平行时，直线上任意一点到这个平面的距离叫做直线到平面的距离nulllA`ABnull如果一条直线上有两个点到平面的距离 相等，则这条直线和平面平行吗？null已知一条直线上有两个点A,B到平面的距离 分别为3cm和5cm，求AB中点到平面的距离null空间四面体ABCD，问和点A,B,C,D 距离相等的平面有几个？ABCD4null空间四面体ABCD，问和点A,B,C,D 距离相等的平面有几个？ABCDABCD43nullABCA1B1D1C1正方体AC1的棱长为1,求下列距离问题(1)A到CD1的距离DnullABCA1B1D1C1正方体AC1的棱长为1,求下列距离问题(1)A到CD1的距离D(2)A到BD1的距离nullABCA1B1D1C1正方体AC1的棱长为1,求下列距离问题(1)A到CD1的距离D(2)A到BD1的距离(3)A到面A1B1CDnullABCA1B1D1C1正方体AC1的棱长为1,求下列距离问题(1)A到CD1的距离D(2)A到BD1的距离(3)A到面A1B1CD(4)A到平面BB1D1nullABCDPFE已知:ABCD是边长为4的正方形,E,F分别是AD,AB的中点,PC⊥面ABCD，PC=2， 求点B到平面PEF的距离？GOH点—线点—面线—面null棱长为1的正四面体P—ABC中，求点P到平面ABC的距离？ABCOPnull四个半径均为r的小球放置在水平桌面上，形成一个下3上1的金字塔型，求此金字塔的高度nullnullnullnullnull将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使B，D两点间距离变为a，求所得三棱锥D-ABC的体积？ABCDnull将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使B，D两点间距离变为a，求所得三棱锥D-ABC的体积？ABCDnull正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，DD1的中点，棱长为a,求四棱锥D1-AEC1F的体积？EFnull平行六面体中,已知AB=AD=2a，AA1=a，∠ A1AD= ∠ A1AB= ∠ DAB= 60°（1）求证：AA1⊥面B1CD1A1B1C1D1ABCDnullA1B1C1D1ABCD平行六面体中,已知AB=AD=2a，AA1=a，∠ A1AD= ∠ A1AB= ∠ DAB= 60°（1）求证：AA1⊥面B1CD1null（2）求平行六面体的体积？A1B1C1D1ABCDV= SA1B1CD1×CE平行六面体中,已知AB=AD=2a，AA1=a，∠ A1AD= ∠ A1AB= ∠ DAB= 60°（1）求证：AA1⊥面B1CD1nullA1B1C1D1ABCDS⊿B1CD1=（2）求平行六面体的体积？平行六面体中,已知AB=AD=2a，AA1=a，∠ A1AD= ∠ A1AB= ∠ DAB= 60°（1）求证：AA1⊥面B1CD1nullA1B1C1D1ABCDS⊿B1CD1=V= ( 2 S⊿B1C1D1)×h（2）求平行六面体的体积？平行六面体中,已知AB=AD=2a，AA1=a，∠ A1AD= ∠ A1AB= ∠ DAB= 60°（1）求证：AA1⊥面B1CD1null求多面体的体积时常用的方法直接法割补法变换法根据条件直接用柱体或锥体的体积公式如果一个多面体的体积直接用体积公式计算用困难，可将其分割成易求体积的几何体，逐块求积，然后求和。如果一个三棱锥的体积直接用体积公式计算用困难，可转换为等积的另一三棱锥，而这一三棱锥的底面面积和高都是容易求得null求棱长为a的正四面体的体积.null已知正三棱锥的侧面积是18 ，高为3，求它的体积？null若正四棱锥的底面积是S，侧面积是Q，则它的体积为？null过棱锥的高的三等分点作两个平行于底面的截面，它将棱锥分为三部分体积之比（自上而下）为 。nullPABC三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直，PA=a, PB=b, PC=c , ⊿ABC的面积为S求点P到底面ABC的距离nullABCDPFE已知:ABCD是边长为4的正方形,E,F分别是AD，AB的中点，PC⊥面ABCD，PC=2， 求点B到平面PEF的距离？GOH点—线点—面线—面nullABCDPFEG已知:ABCD是边长为4的正方形,E,F分别是AD，AB的中点，PC⊥面ABCD，PC=2， 求点B到平面PEF的距离？null斜三棱柱ABC-A`B`C`的侧面BB`C`C的面积为S，AA`到此侧面的距离是a，求此三棱柱的体积？nullABCA`B`C`斜三棱柱ABC-A`B`C`的侧面BB`C`C的面积为S，AA`到此侧面的距离是a，求此三棱柱的体积？null如图,在多面体ABCDEF中,已知面ABCD是边长为3的正方形,EF//AB,EF=1.5, EF与面AC的距离为2,求此多面体的体积？=4.5=3null=6=1.5如图,在多面体ABCDEF中,已知面ABCD是边长为3的正方形,EF//AB,EF=1.5, EF与面AC的距离为2,求此多面体的体积？null正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为3，侧棱长为4，求四面体ABB1C1的体积null已知三棱锥有一条棱长为4，其余各棱长为3，求其体积？null已知三棱锥有一条棱长为4，其余各棱长为3，求其体积？null已知三棱锥P-ABC中，PA=1，AB=AC=2， ∠ PAB= ∠PAC= ∠BAC= 60°，求三棱锥的体积？null已知三棱锥P-ABC中，PA=1，AB=AC=2， ∠ PAB= ∠PAC= ∠BAC= 60°，求三棱锥的体积？解法一直接法null解法二变换法已知三棱锥P-ABC中，PA=1，AB=AC=2， ∠ PAB= ∠PAC= ∠BAC= 60°，求三棱锥的体积？null解法三割补法已知三棱锥P-ABC中，PA=1，AB=AC=2， ∠ PAB= ∠PAC= ∠BAC= 60°，求三棱锥的体积？null解法四割补法已知三棱锥P-ABC中，PA=1，AB=AC=2， ∠ PAB= ∠PAC= ∠BAC= 60°，求三棱锥的体积？nullnullnullPCBDA棱锥基本概念棱锥的底面棱锥的侧面棱锥的侧棱棱锥的顶点棱锥的高棱锥的斜高null棱锥基本性质如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么截面和底面相似，并且它们面积的比等于截得的棱锥的高与已知棱锥的高的平方比null棱锥基本性质棱锥的高、斜高和斜高在底面的射影组成一个直角三角形。棱锥的高、侧棱和侧棱在底面的射影组成一个直角三角形PCBDARt⊿ PEHRt⊿ PHBRt⊿ PEBRt⊿ BEHnull正棱锥如果一个棱锥 的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面中心这样的棱锥叫做正棱锥null1、侧面与底面所成的角都相等的棱锥是正棱锥2、棱锥的高可以等于它的一条侧棱长3、棱锥的高一定在棱锥的内部4、侧面均为全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥判断正误null1、三条侧棱相等2、侧棱与底面所成的角相等3、侧面与底面所成的角相等4、顶点P到⊿ABC的三边距离相等5、三条侧棱两两垂直6、相对棱互相垂直7、三个侧面两两垂直外心外心内心内心垂心垂心垂心null正三棱锥如果一个三棱锥的底面是正三角形，并且顶点在底面的射影是正三角形的中心，这样的三棱锥叫做正三棱锥正四面体null有没有侧棱长和底面边长相等的正四棱锥？有没有侧棱长和底面边长相等的正五棱锥？有没有侧棱长和底面边长相等的正六棱锥？nullnull棱锥基本性质如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么截面和底面相似，并且它们面积的比等于截得的棱锥的高与已知棱锥的高的平方比棱锥的高、斜高和斜高在底面的射影组成一个直角三角形。棱锥的高、侧棱和侧棱在底面的射影组成一个直角三角形null设棱锥的底面积是8cm2,则这个棱锥的中截面（过棱锥的高的中点且平行于底面的截面）的面积是多少？S中=2null过棱锥的高的三等分点作两个平行于底面的截面,它将棱锥的侧面分为三部分面积之比(自上而下)为 。null过棱锥的高作两个平行于底面的截面，它将棱锥的侧面分为三部分面积相等则它分棱锥的高的比是(自上而下） 。null正三棱锥的底面边长为a.侧棱长为b,求它的高和侧面积？PABCOnull正四棱锥的底面边长为1.侧面与底面所成的角为60,求它的高和相邻两侧面所成的二面角的大小？PABDCOnullnull球面可看作与定点(球心)的距离等于定长(半径)的所有点的集合null球的大圆球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的大圆null经度纬度经度是指0°经线与另一条经线所在半平面所成的二面角的度数纬度是指赤道及一条纬线同一条经线相交所得两个交点与球心的连线所成的角度null球的性质OO`球心与截面圆的圆心的连线垂直于截面圆null球的公式球的体积球的 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 面积null例题选讲OO2O1nullnull求正方体的内切球和它的外接球的表面积之比null求正四面体的内切球和它的外接球的体积之比HOnull