以抛物线内任意一点为圆心的“三角切圆”方程

_5|6 中学数学教学爹考 2013年 第4期 (上 句 ) 解 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 思想方 去 以抛物线内任意一点为圆心的 量 锄回国 胡福林(江苏省昆山中学) 文献[1]证明了关于圆内圆的一个优美性质： 设点 A( 。， 。)是圆 0： +Y 一“ 上任意一点 ， 过点A作圆内圆D：( ) +(Y ) ===( 、 厶 一 ) ( 。+” <“z)的两条切线，与圆0分别 交于B、C两点，则 圆 D是△ABC的内切圆． 文献[2]对了圆内圆做了进一步探究，并给出了 如下一个推广命题： 设点 A是抛物线Y 一2 (户>0)上任意一点 ，过 点A作圆J：( 一“)。+Y 一(一P+~／ 一二干 ) (为 了方便阅读，这里将原文 中部分字母做 了更换)的两 条切 线 与 抛 物 线 分 别 交 于 B、C两 点 ，则 圆 J是 △ABC的内切圆． 文献[2]为叙述方便，将圆、抛物线内具有上述特 殊性质的圆形象地称之为“三角切圆”．上述推广命题 中“三角切圆”的圆心位于抛物线的对称轴上，我们 自 然要问当圆心为抛物线内任意一点时 ，是否也存在这 样 的“三角切 圆”?经探究 ，笔者得到了如下结论． 定理 如 右 图，已知抛物 线 Y 一2pl『(P>0)，点 J(“， )是抛 物线内任 意一定点 ，过抛 物线上 任一 点 A 作 圆 f：( ～“)。+ (Y 一 6) 一 (r>0)的两条切 线，与 抛物线分别交于 B、C两点．则 当且 ． ． ， ／。 一 ／ O 仅当r一、 一~／ 干 时，圆 ，是z~ABC的内 切圆． 证明：必要性：若圆 J是AABC的内切圆，设 A(券 )、B(券， )、c(易2，弘)c 、 、弘互不相等 ， 当 Y + ≠0时，直线 AB的斜率为是= 2 2 一 ! Y1+-y2’ 所以直线AB的方程为 — =阜 ’ ( 一 )，即2pa"一( t+ )y--y 。一1)_ 当 + z—o时，直线 AB的方程为 』’一 ，即 = Y l yz ，上式依然成立． 所以圆心 ，到直线 AB的距离为 (，一 —I— 2 — p — a — -- =： ( = Y = l ： - ： - ： Y e 二 ) = b ： @ ： ： y ： ~y ～ 2] 一 r ． 、／4 +(Yl+Y2) 同珲 由 BC、CA 与 圆 ，相切 得 l 2pa一( 2+ )6+Y2Y。I 一 ~／4 +( +Y ) I 2pa一( 3+Y1)6+ 3YIl ～ ~／4 +(y + ) 所以有 [2 “一( + 2)6+ 。Y2] =re[4 +( 。-by!) ]，① [2 Ⅱ一( + )6+ -y-] 一 [4 +( + )!]，② [2 “ (弘+ )6+弘 ]。一 [4p +( ： + ) ]，③ 由①一②得 (Y：；一Y1)(b～ 2)[4pa一(2y 。卜Y +Y )6+Y2( 1+ )]一r ( 1～ )(2y 2+ l 4- )， 即 ( 2一b)[4pa (2y!+ +Y： )6+ ?(-vl +Y )]===r (2y2+Yl+ 3)， 整理得 (Y 一『))E4pa+ ：Y。一( 。4- !+ )厶] + ，2( i 6)( 2--b)=r (2y!+ I+LvlI)． ④ 同理，由③ ～②得 (Y 一6)[4pa 4- !Y、； ( ， 十Y2+ )b]4- 3( l—b)( 3 b)一r?(2y 卜 l +Y：)． ⑤ 由④ ⑤得 ( 一 )[4pa+ ⋯( ，+ +弘)／)]+( l 6)( 2--y：{)( 2+ 。--b)一r ( --y． )， 即 4pa+Y2Y3一 (Yl 4-Y!+ ) + (Yl 6)( + ．y3—6)一 r ， 所以 2Y． 一(2b一-y1)(Y2十 3)+2byl+，J h ～ 4pa． ⑥ 将①式展开整理成关于 !的方程 解 题 思想方 去 ． ． 。 ． a ． ． 57 ． 2013年第4期 (上旬 ) 、 一 [( 一b) 一r ] +2[( 1—6)(2pa— 1 b) 一 l r ] 2+(2pa— l6)。一(．y +4p )r ===0， 同理，由③得[( 一6) 一r ] +2[( ～6)(2pa —Y 6)一Yj ]弘+(2pa—Y16) 一( ~4p ) 一0． 所以 Y：、y 是 方程 [(yl—b) 一，． ]Y +2[( 一 『))(2pa— l 6)一 Yl r。] + (2pa— Y1b)。一 ( +4p )， =0的两根． 所 4-Ys一 ，⑦ 。 一 芒 ． ⑧ 将⑦⑧两式分别代人⑥式左右两边，并设 一b —t，即 ．)，l=t+6，得 (2pa b 一 bt) 一 (b+t) 一 4P。r2 Y — — — — — — r — — — ～ 一 (／) 一 )f。一2b(r + 2pa--b )t 一 一 — — — — 二 — — — 二鱼： ：二 ：± ： t ’ (2厶～Y1)( 2+ 。)+2byl+ r 一 b 一4pa 一 (b--t)[一2t(2pa—b 一bt)+2br +2r ￡] 2 一 r2 一 (2bt+ + 6 一4pa)(t 一r ) 一 — — — — 二 — — — ～ 一 ( 一 ) 一2b(r2+2 一6 ) 一，( 一 一4 ) f 一， 所 以(2pa一 ) 一 r。(b。+ 4p。)一 一 r ( 一b。 一 4pa)． 化简并整理可得 ，． 一2(b。+2p。+2pa)r +(b 一 2pa) 一0． 解上式可得 r 一 。+2p +2pa±2、／／ +6 · 瓦 一(、 ±、 ) ． 由点 ，在抛物线内得b <2pa，又由假设圆 是 ／kABC的内切圆知圆 ，在抛物线内，故 r< ，所 以 r一~／ !+2pa ~／户 +6 ． 充分性 ：若 ，一一、／／ 。+2pa ~／户 + ，则由题设 AB、AC与圆 J相切知①③成立 ，从而⑦⑧成立．又由 上面假设及前面证明知⑥式成立 ，所以 [2pa一 (y2+ y )b+ y2y3]。～ ，J [4 。+ (y2 + )!] 一 [2pa一(Y2+Y3)6+(2b—Y】)(Y2+ 3)+2by】 +r 一 ～，l “] ，．。[4p +(．y2+ 3) ] 一 [(6一y1)(y2+y3)+2byl+r 一6 一2pa]。 r：[4p 4-( 2+ly3)。] 一 [( 一b) 一，．。](y。+y。) +2(b—Y )(Y2 + 3)(2byl+ r 一 6。一 2pa)+ (2byl+ r 一 b 一 2pa) 一 4p。r ． 由⑦⑧得 [( 1—6)。一r ]( 2+y3)一2(6一y ) · (2pa— YI6)+ 2yl r2， 所以 [2pa一 ( +Y。)6+Y2 Y3] 一r [4p +(．)' + 。) ] 一 2( 2+Y3)[(b一．y1)(2pa～Y1b)+Y1 r +(b --y1)(2byI+ r 一 6 一 2pa)]+ (2by1+ r 一 b 一 2pa)。 4 r。 一 2(Y +Y。)[(b—Y )(by +r 一b )+Y r ] + (2by，+ r 一 b 一 2pa) 一 4p。r 一 2(1y2+ 3)(2b。Y1+ br 一 b。一 by )+ (2by1+ r。 一 b 一 2pa) 一 4户 r 一 一 2b(y2-t-y3)[( 1--b) 一r ]+(2byl+r 一b。 一 2pa)。一 4p r。 一 4b(Yl— b)(2pa～ Y1b)一 4by1 r + (2by L+ r 一 b。一 2pa) 一 4 ，．。 一 4b(2payl--by +6 Y1一 l r )+ (2byl+ r。～ b。 ～ 2pa) 一 4p r ～ 8pab 一 4byl(2pa一2byl+6。一，J )+46。Y}+(2byI+r 一 b 一 2pa)。一4 ，．。一8pab。 一 [(2by 十r 一b 一 2pa)一 2by ]。一 4 r。 — — 8pab 一 (r 一b 一 2pa) 一 4 。r。～ 8pab。 一 r 一2(6 + 2p + 2pa)r。+ (6 一2pa) 一 0． 即②式成立 ，亦 即直线 BC与圆 J相切． 接下来排除旁切圆的可能． 又设圆 上任意一点为P(Ⅱ+FCOS 0，6+rsin )， 贝Ⅱ(6+rs{n )。一2 (n+rcos ) 一 ，) + r。sin。 + 2r6sin 一2prcos 一 2pa < 6。+ r。+ 2r 。+ 户 ～ 2pa 一 (r+~／6。+ ) 一户 一2pa一0． 所以点 P在抛物线 内，即圆 I在抛物线 内，圆 r 为△ABC的内切圆． 综上 ，命题得证． 由定理可见，以抛物线内任意一点为圆心的“三 角切圆”是唯一确定的． 参考文献 ： [1] 徐道．圆内圆与圆外圆rJ]．数学通报，2011(6)：40—42． [2] 姜美．值得探究的“三角切圆”[J]．数学通讯：下半月， 2O】2(1 2)．38—39．