漫谈勾股定理

1：2； 学螫掌爹孝 { ； ⋯ Z ⋯⋯ “ 。 ⋯⋯⋯ ‘ 2013年第3强 上 、 较严密的理论系统 和科 学 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 的学科．《几何原本 》 中，用演绎方法证明了勾股定理． (1)欧几里得 的《几何原本 》 中 的证 明． 如图 2，设 △ABC为一个直 角三角形 ，其 中 BAC为 直角． 则可证以 BC为边长的正方形 的 面积等于分别以 BA 和AC为边 长的正方形的面积之和． D L E 图 2 以 BC为边长 作正方 形 BDEC，且 分别 以 BA、 AC为边长作正方形 ABFG 和正方形 ACKH．过 A 作AL平行于BD，交 DE于点L，交 BC于点 M，连接 AD、FC． 因为 BAC 和 BAG 都是 直 角、在一 条直 线 BA上的一个点 A 有两条直线 AC、AG，不在它的同 侧所成的两邻角的和等于两直角 ，于是 CA 和 AG 在 同一条直线上． 同理 BA 与 AH 在同一条直线上． 因为 DBC= FBA，又因为每个角都是直角， 给以上两角各加上 ABc，所以 DBA一 FBC． 因为 DB—BC，AB—FB，又 ABD=== FBC，所 以△ABD △FBC，所 以 AD—FC． 现在 ，平行 四边形 BDLM 的面积等于△ABD 的 面积的 2倍 ，因为它们有同底 BD且在平行线 BD 和 AL之间．又正方形 ABFG的面积是△FBC的面积的 2倍 ，因为它们有 同底 FB且 在平行线 FB 和 GC之 间．故 平 行 四 边 形 BDLM 的 面 积 也 等 于 正 方 形 ABFC,的面积 ． 类似地 ，若 连接 AE、BK，也 能证 明平 行 四边形 CELM 的面积等于正方形ACKH 的面积． 故，整 体 正 方 形 BDEC 的 面 积 等 于 正 方 形 ABFG、ACKH 的面积的和． 而正方形 BDEC是以BC为边长做 出来的 ，正方 形 AlBFG和ACKH 是分别以BA、AC为边长做出来 的．所以，以 BC为边 长的正方形的面积等于分别 以 BA 和 AC为边长的正方形的面积 的和． 所以，BC边 的平方等 于 BA 边 的平 方加上 AC 边 的平方． 西方 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 家以毕达哥拉斯 、欧几里得为代表的一 批伟大的数学家从公理出发，依靠演绎推理创立了令 人惊叹不已的第 流的数学．他们的杰 出工作都收集 在《几何原本》中．《几何原本》建立 了用定义、公理 、定 理证明构成的演绎体系，并用几何证明得出了勾股定 理．公理化体系的建立开始把数学 由计算与测量的技 术转变为论证与推理的科学 ，极大地推动 了近代数学 的迅速发展． (2)赵爽《勾股方圆图注》中的证明． 教师 ：勾股定理在我 国又称“商高定理”．我国数 学史上最先给 出勾股定理严格证 明的是东汉末至 三 国时代的赵爽(即赵君卿)，他对《周髀算经》内的勾股 定理进行了详细注释 ，并利用弦图出入相补原理 (割 补法)巧妙地证明了勾股定理，写成 了《勾股方圆 图 注 》． 如图 3，以弦为边 长得 到的 正方 形 ABDE是 由 4个全 等的 直角三角形再加上中间的小正方 形组成 的．每个直 角三角形的面 1 积为÷ab，中间的小正方形的面 厶 积为(b一“) ，由面积相等 ，可得 4 f@ab 1 4-(b--“) 一f ，化简得n 4-b 一c。． 、 厶 ， 我国古代的数学家赵爽是历史上最早用代数 方 法 ，根据面积相等 ，通过计算证 明勾股定理 的．这与中 国的数学源 自计算 、注重应用分不开．赵爽证明的构 图巧妙 、精致 ，既强调逻辑推理，又注重几何直观 ，是 数与形的完美统一．我们发现赵爽的证 明很美 ，美在 它简单 、明快 、均衡． 2002年 8月 20日一28日，第 24 届 国际数学家大会在北京 召开．大会选 择 了赵爽证 明勾股 定理的几何 图形作 为“2002年国际数学家大会”的会标(图 4)．这个像 旋转的纸风 车的图案，使我 们看到了一个简洁优美的图案在流动． 图4 欣赏角度 4：勾股定理的几种精美的证法． 教师 ：我们发现，赵爽用代数方法证 明勾股定理 的证法非常简明，而古希腊用几何方法证明勾股定理 的证法非常复杂．有没有简明的通过演绎的几何推理 的证法呢?最简单的是用射影定理证明．哪位 同学能 用射影定理证 明? (1)用射影定理证明． 学生 2：在 图 1中，作 CD J+AB，垂 足 为 D，如 图 5，由射影 定 理 ，得 BC = BD ·AB，AC =AD · AB，所 以 BC +AC 一BD ·AB 4-AD ·AB—AB · (BD 4-AD)===AB ． 教师 ：用射影定理证明勾股定理 的方法非常简洁．通过勾股定理的证 ／i＼ 明，我们发现以下两点 ： D B 数 学欧贯 l ⋯ 1％ 她 关长度(图6)，构造这样的图形后，你 ／ 能证 明勾股定理吗? D C (3)用切割线定理证明． 一 、 、 证明勾股定理吗?我们一起来研 ＼ 、 。／ 圆内 蓑 B 教师：圆中的托勒密定理是指 、、、． ＼ 圆内接四边形两条对角线的乘积 “ 、、、 、、 等 于 对 边 乘 积 之 和．如 图 8，作 ‘、、 ⋯ ：～-'D 接 AD、BD．易证四边形 ACBD为矩形 ，故 AC=BD， AD=BC．而 AB—CD，由托勒密定 理，得 AB ·CD =AC·BD+AD ·BC．所 以 AC。+BC =AB ． (4)作三角形 内切 圆证 明． 教师 ：我们构 造 了三角 形 的 外接 圆证 明勾 股定理 ，能否构 造 三角形 的 内切 圆证 明勾 股定 理 C 呢?如 图 9，作 Rt△ABC的 内切圆o0，切点分别 为 D、E、F．设内切圆半径为 r，连接 0D、()E、OF，则 0D j_AB、oE上BC、OFj-AC．请 同学们用面积相等关系 证 明． 学生 5：由 S△ c—S△枷 +S△ +S△删 得 1。6一 1 nr+ 6r+ c，．， 故 ab=(。+b+c)·，．， 且p n6一(n-+-b+c)．a——-~—- O—．～c ， 化简 ，得 “ +b。一c ． 教师 ：此证 明使我们联想到 ，作三角形的旁切圆 能否类似地证明勾股定理呢?如果能证明，简直太完 美了(课外思考)． 学生 6：什么叫三角形的旁切圆? 教师：与三角形一边及另两边的延长线都相切的 圆叫做三角形的旁切圆．一个三角形有三个旁切圆． 欣赏角度 5：人类 文明的代表，不用语言，只用图 形与外星人交流． 教师 ：长期以来，地球人怎样 跟外星人交流是人 们谈论的话题之一．科学家们认为，最好的方法是通 过数学．数学是最具有普遍性的认知媒介物．我们可 以将勾股定理带到其他星球，作为地球人与其他星球 上的“人”进行第一次“谈话”的语言．从这个意义上 ， 可以说勾股定理是传承人类文明的使者，是古代文化 的精华 ，是人类智慧 的结晶．天才数学家高斯 曾经提 议在撒哈拉沙漠上建立一座很大的 勾股定理的图解 ，如图 1O，让外星人 知道 ，宇宙中有不 同于他们的人类． 此构想基于任何具有文明和智慧的 外星种族 ，一 定会认识 和理解 勾股 定理．虽然名 称不 同，但实质一 样． 图l0 我们设想 ，与外星人沟通的工具能否用 电波对外太空 不断地传送勾股数呢?因为形与数是人们认识事物 的两种基本的认识模式． 欣赏角度 6：勾股定理的各种推广 、发展． 教师 ：将勾 股定理推 广 ，看看能得 到哪些 结论? 『 孝攀 警黟考 。 。 、； ⋯ 2013霉镩3强 i镪、 ； 将图 lO中的正方形变换 为相似 的正多边形 ，你可以 得 出什么结论? 学生 7：推广 1：直角三角形斜边上的一个正多边 形 ，其面积为两直角边上两个与之相似的正多边形面 积之 和． 教师 ：将图 10中的正方形变换为相似的多边形， 你可以得出什么结论? 学生 8：推广 2：直角三角形斜 边上的一个多边 形，其面积为两直角边上两个与之相似 的多边形面积 之和 ． 教师：将 图 1O中的正方形变换 为以三边为直径 的半 圆时，你可以得 l叶J什么结论 ? 学生 9：推广 3：以直角三角形 的三边为直径作半 圆，则以斜边为直径所作半圆的面积等于 以两直角边 为直径所作两半圆的面积之和． 教师 ：勾股定理的推广 1、推广 2、推广 3成立 的 依据是什么? 学生 1o：相似多边形的面积的比等于相似比的 平方 ，相似圆的面积的比等于相似 比的平方． 教师：在内接于一个半 圆的直 角三角形的边上 ，作两个月牙形 ， 则两块月牙形 的面积(图 11中的 面积 1、面积 2)和等于直角三角形 B 图ll ABC的面积吗(课堂上学生深入思考)? 学生 11：是相等 的．由勾股定理 推广 3知 ，半 圆 ADC的面积加半 圆CEB的面积 等于半 圆ACB的面 积．等式两边同时减去面积 3、面积 4的两块弓形部分 面积即得结论． 教师：此命题系公元前 460年至公元前 380年位 于巧斯岛的希波克拉底发现并证 明的．他可能相信这 种图形可以用来解决化圆为方的问题 ，但没有成功 ， 也不可能成功．因为化圆为方的问题是几何作 图三大 不 可能 问题之 一 ． 教师 ：勾 股定理 的应用 可以超越原来 的几何领 域．在笛卡儿直角坐标系 中，根据勾股定理可以推导 出两点间的距离公式．在立体几何 中，有如下推广 ： 推广 1：以直角三角形的三边为对应棱作正 四面 体 ，则斜边上的正四面体的表面积等于直角边上两个 正四面体表面积之和(将正 四面体换 成正六面体 、正 八面体 、正十二面体 、正二十面体结论仍然成立)． 推广 2：以直角三 角形 的j边 为直径分别作球 ， 则斜边上的球 的表面积等 于两直角边上所作两球表 面积之和． 推广 3：在三条侧棱两两垂直的三棱锥的四个表 面中，锐角三角形的面积的平方等于其他三个直角三 角形的面积的平方之和． 欣赏角度 7：勾股数 的研究． 教师：勾股定理 中，两直角边 a、b和斜边 r之 间 有这样的关系：n +b。一C ，且 n、b、c都是正整数，我 们把 n、b、C叫做一组勾股数 ，又叫做勾股数组．也就 是说 ，满足不定方程 n +b 一C 的每一组正整数解都 是勾股数组．对勾股数组的研究是对勾股定理研究的 延伸．中外古代数学家对勾股数组 的研究取得 了许 多 成果．我们知道 ，最简单的勾股数 是 3、4、5，它早已被 刻在巴比伦的泥板上了．在我国西汉 时期 的《九章算 术 》一书中，谈到勾股弦的一些整数关系： 3 + 4 一 5。，5 + 12。： 13。，7 + 24 = 25 ，8。 + 15 一 17。，20。+21。一29 ． 它们说明，下列五组正整数 ： 3、4、5；5、12、13；7、24、25；8、15、17；20、21、29适 合方程 “ +b 一C ．因此，它们均为勾股数组． 我们能否发现这几组勾股数的奥秘吗? 通过观察 上面等式 ，我们发现，等式左边两项幂 的底数 ，一个为奇数，另一个为偶数 ，等式右边的幂的 底数为奇数．我们可以先 分解偶数变成乘积的形式 ， 然后拆奇数 ，凑与偶数分解 的数字的联系．上面五个 等式可以写成下面的形式 ： (2 一 1 ) + (2×2× 1)。一 (2 + 1 ) ， (3 一 2。)。+ (2× 3×2)。7----(3 + 2 )。， (4。一 3 ) + (2 X 4×3) 一 (4 +3 ) ， (4 一 1 )。+ (2×4× 1) ： (4 -t-1 ) 。 (5。一 2 ) -t-(2× 5×2) 一 (5 + 2 ) ， 猜想 ：( 一 )。+(2mn)。一(m +”。) ．此等式 容易证明． 故，当 研、 为正整数，且 > 时 ，m。一 。、2ran、 。+ 。为一组勾股数组．一般地 ，当 m、”、是为正整 数，且 m>7"1时，k(m。一 。)、2kmn、k(m。+” )均为任 意的一组勾股数组．它给出了不定方程 “ +b。一c0正 整数解的完全解答． 欣赏角度 8：否定的推广 ：费马大定理． 教师 ：勾股定理的一个推广是当项数不变，次数 升高的问题．我们设想，有没有三个正整数 n、b 满 足“。+b。一C。，a +b 一一，⋯?一般地，有没有正整 数 “、b、c、”，且 ”≥3，满足 口 +b 一C 呢? 不存在正整数 “、b、C、7"／，满足 n”+ 一C”(”≥3)． 这个命题就是著名的费马大定理．在 1637年 ，此问题 -彀 荨歇赛 被数学家费马发现，并给 出了否定的结论．他是怎 么 发现的呢?让我们一道追寻历史的足迹．费马在阅读 丢番图《算术》拉丁文译本时，曾在第 11卷第 8命题 旁写道 ：“将一个立方数分成两个立方数之和 ，或将一 个四次幂分成两个 四次幂之和，或者一般地将一个高 于二次的幂分成两个 同次幂之和 ，这是不可能的．关 于此，我确信 已发现了一 种美妙 的证 法 ，可惜这里空 白的地方太小，写不下．”费马没有 写下证明，由于他 是业余的著名数学家，对数学贡献巨大，由此激发了 许多数学家攻克这一猜想的兴趣． 1993年 6月 ，英 国数学家怀尔斯证 明了：对有理 数域上的一大类椭 圆曲线 ，“谷 山一志村猜想”成立．由 于他在 报告 软件系统测试报告下载sgs报告如何下载关于路面塌陷情况报告535n,sgs报告怎么下载竣工报告下载 中表 明了弗雷 曲线恰 好属于他所说的这 一 大类椭 圆曲线 ，也 就表 明了他最终证 明了“费马大 定理”．但专家对他 的证 明审查时发现有漏洞．怀尔斯 和泰勒合作，用了近一年时间进行补救，彻底修补了 漏洞 ，于 1994年 9月圆满证 明了“费马大定理”．怀尔 斯用 8年 的潜心研究 ，终于解决 了困扰数学家 358年 之久的谜．由于怀 尔斯 在研究 费马大定理 方面 的成 就 ，他获得 1996年度沃尔夫奖和 1998年国际数学家 大会颁发 的唯一一枚菲尔兹奖特别贡献奖． 3 课堂小结 教师：今 天我们从 8种角度欣 赏研究 了勾 股定 理．我们从中体验 到多角度研究几何 问题 的价值．勾 股定理是历史上第一个把“数与形”联系起来 ，把几何 和代数联 系起来 的定理．勾股定理 的发现、验证及应 用的过程蕴涵了丰富的文化价值．在东西方的古代几 何体系中，勾股定理所 占的地位不 尽相同．勾股定理 的几何证明与代数证明都是人类文明的一部分，它们 的数学思想都弥足珍贵． 勾股定理还有很多推广 ，希望 同学们根据 自己的 兴趣 ，深入思考 ，发现新 的结论．也 可以去图书馆、阅 览室查找相关文献 阅读或上网搜索，获取学习所需要 的 材料 关于××同志的政审材料调查表环保先进个人材料国家普通话测试材料农民专业合作社注销四查四问剖析材料 ． 4 “数学欣赏”选修课作业 (1)可 以构造出斜三角形任意两边上的平行四边 形的面积的和等于第三边上的平行四边形的面积吗? 如何构造? (亚历 山大里亚的帕普斯 ，是公元前 300年 的一 位希腊数学家，他将勾股定理直角边和斜边上的正方 形的面积关系，推广到可以构造斜三角形三边上 的平 中学数学教学参考 2013年第3期 (上旬 行四边形面积之间的关系) (2)证明余弦定理：三角形中任何一边的平方等 于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余 弦 乘积的二倍． (3)勾股定理在空间的推广还有哪些结论呢? (注：本文得到国际欧亚科学院的院士成 员、曾任 国际数学教育委 员会执行委 员的著名数学 家张奠宙 教授的精心指导 ，在此深表感谢) 参考文献 ： [1] 张奠宙，柴俊．欣赏数学的真、善、美EJ]．中学数学教学 参考 ：上旬 ，2O10(1／2)：3-7． E27 沈康身．历史数学名题赏析[M]．上海：上海教育 出版 社 ，2002． [33 《数学辞海》编辑委员会．数学辞海EM]．太原：山西教育 出版社 ，2002． [-43 [美]T·帕帕斯．数学趣 闻集锦EM]．张远南，张昶 ，译． 上海 ：上海 教育 出版社 ，1998． Es] 蔡宗熹．千古第一定理一～ 勾股定理EM]．北京：高等教 育 出版社 ，2009． E63 欧几里得．几何原本[M]．兰纪正，朱恩宽，译．西安：陕 西科学技术出版社 ，2003． 主持人点评 ： 若要评选最 美数 学定 理 ，得 票 最 高的 大概非 勾股 定理 莫 属．我们 可以用 8个字概括其 美：秀外 慧 中，文理兼 备．其 中含 有四个维度：外表直观之秀，内涵深刻之慧，文化底蕴之浓，理 性思考之精．试看汪杰 良老师的文章 ，从 8个不 同的 角度 欣 赏 勾股定理之 美，也是 从以上四个维度进行的数 学欣 赏． 首先是直观之 关 ：赵 爽之 图和 与外 星人 作 无文 字 交流之 图 ，简洁明快 ，赏心悦 目．其次是 内涵之 美 ：条件仅仅 是 直角三 角形 ，却有 直角边平 方之和 等 于斜边 的平 方 ；它还 是几 何 、代 数 、三角交汇之 中心点 ，细 细琢 磨 ，体 现 了和 谐之 妙 、智 慧之 光．第三是人文之美，勾股定理在数学历史长河中，依 附于不 同的文化 ，进行 过 大量的证 明，显 示 了人 类 文明 的共 同追 求． 2002年在北京举行的国际数学家大会 以赵爽图作为会标，实 行 了古代和现代 的数 学 妙 对接．最后 ，则是 理性 之 关．好的 数 学一定是具有拓 展 、变形 、升 华 的发 展 通道．勾股 定理 的触 角伸向勾股数研究，以至联 系到 2O世 纪末才解 决的费马大 定 理 ． 值得研 究的是 ，外观 之 美，内涵之 美 ，人 文之 美，理性 之 美 ，是 不是 也是欣赏其他数 学成果的 四个基本 维度 呢? 晚近的教学改革，只注意学习过程的前半段，如创设情 境 、自主探 究 ，等等．其 实学 习过程还 有更 重要 的后 半段 ，包括 巩 固、反 思、 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 、升华 和欣 赏．一 个数 学成果 不但 学会 了、弄 懂了、理解了、反思了，升华为数学思想方法了，尤其是能够欣 赏其 美了，这才是一个 完整的思维过程．在 复习课上 ，教 材的 “本章 小结”里 ，我 们应 当多多进行数学反恩和欣 赏，不再限 于 综合解题和干 巴巴的逻辑框 图． ④ )