复习专题：双曲线

复习专题：双曲线　　　 Http://www.fhedu.cn 2011年12月活动高一（二）期末复习专题集锦1 双曲线江苏省扬州市第一中学李春龙【知识点归纳】（一）双曲线的概念平面上与两定点距离的差的绝对值为非零常数（小于）的动点轨迹是双曲线（即）（*）。注意：①（*）式中是差的绝对值，在条件下；时为双曲线的一支（含的一支）；时为双曲线的另一支（含的一支）； ②当时，表示两条射线； ③当时，不表示任何图形...

　　　 Http://www.fhedu.cn 2011年12月活动高一（二）期末复习专题集锦1 双曲线江苏省扬州市第一中学李春龙【知识点归纳】（一）双曲线的概念平面上与两定点距离的差的绝对值为非零常数（小于）的动点轨迹是双曲线（即）（*）。注意：①（*）式中是差的绝对值，在条件下；时为双曲线的一支（含的一支）；时为双曲线的另一支（含的一支）； ②当时，表示两条射线； ③当时，不表示任何图形； ④两定点叫做双曲线的焦点，叫做焦距。 #椭圆和双曲线比较：椭圆双曲线定义方程焦点注意：如何有方程确定焦点的位置！（二）双曲线的性质 ①范围：从标准方程，看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线的外侧。即，即双曲线在两条直线的外侧。 ②对称性：双曲线关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。 ③顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线的方程里，对称轴是轴，所以令得，因此双曲线和轴有两个交点，他们是双曲线的顶点。令，没有实根，因此双曲线和y轴没有交点。 1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点），双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。 2）实轴：线段叫做双曲线的实轴，它的长等于叫做双曲线的实半轴长。虚轴：线段叫做双曲线的虚轴，它的长等于叫做双曲线的虚半轴长。 ④渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为双曲线的渐近线。从图上看，双曲线的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近。 ⑤离心率，越大，双曲线的开口就越大，越小，双曲线的开口也就越小，反映了双曲线的开口的大小 ⑥等轴双曲线： 1）定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式：； 2）等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：；（2）渐近线互相垂直。注意以上几个性质与定义式彼此等价。亦即若题目中出现上述其一，即可推知双曲线为等轴双曲线，同时其他几个亦成立。 3）注意到等轴双曲线的特征，则等轴双曲线可以设为：，当时交点在轴，当时焦点在轴上。 #注意与的区别：三个量中不同（互换）相同，还有焦点所在的坐标轴也变了【例题】例1.已知焦点，双曲线上的一点Ｐ到的距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程；变式1.求与椭圆共焦点且过点的双曲线的方程；变式2.已知双曲线的焦点在轴上，并且双曲线上两点坐标分别为，求双曲线的标准方程。【解析】（1）因为双曲线的焦点在轴上，所以设它的标准方程为 EMBED Equation.DSMT4 ， ∵ ，∴ ，∴ 。所以所求双曲线的方程为；变式1椭圆的焦点为，可以设双曲线的方程为，则。又∵过点，∴ 。综上得，，所以。点评：双曲线的定义；方程确定焦点的方法；基本量之间的关系。变式2.因为双曲线的焦点在轴上，所以设所求双曲线的标准方程为 ①； ∵点在双曲线上，∴点的坐标适合方程①。将分别代入方程①中，得方程组：将和看着整体，解得， ∴ 即双曲线的标准方程为。点评：本题只要解得即可得到双曲线的方程，没有必要求出的值；在求解的过程中也可以用换元思想，可能会看的更清楚。例2．已知双曲线的中心在原点，离心率为2，一个焦点F(－2,0) (1)求双曲线方程； (2)设Q是双曲线上一点，且过点F、Q的直线l与y轴交于点M，若|eq \o(MQ,\s\up6(→))|＝2|eq \o(QF,\s\up6(→))|，求直线l的方程．【解析】 (1)由题意可设所求的双曲线方程为 eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)　　则有e＝eq \f(c,a)＝2，c＝2，∴a＝1，则b＝eq \r(3) ∴所求的双曲线方程为x2－eq \f(y2,3)＝1. (2)∵直线l与y轴相交于M且过焦点F(－2,0) ∴l的斜率k一定存在，设为k，则l：y＝k(x＋2) 令x＝0得M(0,2k)　　∵|eq \o(MQ,\s\up6(→))|＝2|eq \o(QF,\s\up6(→))|且M、Q、F共线于l ∴eq \o(MQ,\s\up6(→))＝2eq \o(QF,\s\up6(→))或eq \o(MQ,\s\up6(→))＝－2eq \o(QF,\s\up6(→)) 当eq \o(MQ,\s\up6(→))＝2eq \o(QF,\s\up6(→))时，xQ＝－eq \f(4,3)，yQ＝eq \f(2,3)k ∴Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)，\f(2,3)k))， ∵Q在双曲线x2－eq \f(y2,3)＝1∴eq \f(16,9)－eq \f(4k2,27)＝1，∴k＝±eq \f(\r(21),2)，当eq \o(MQ,\s\up6(→))＝－2eq \o(QF,\s\up6(→))时，同理求得Q(－4，－2k)代入双曲线方程得，16－eq \f(4k2,3)＝1，∴k＝±eq \f(3,2) eq \r(5) 则所求的直线l的方程为：y＝±eq \f(\r(21),2)(x＋2)或y＝±eq \f(3\r(5),2)(x＋2) 例3.已知二次曲线Ck的方程：eq \f(x2,9－k)＋eq \f(y2,4－k)＝1. (1)分别求出方程表示椭圆和双曲线的条件； (2)若双曲线Ck与直线y＝x＋1有公共点且实轴最长，求双曲线方程； (3)m、n为正整数，且m0,4－k>0))，即k<4时，方程表示椭圆．当且仅当(9－k)(4－k)<0，即41）的两条直线l1和l2与轨迹E都只有一个交点，且 ,求h的值。故，即。（2）设，则由知，。将代入得，即，由与E只有一个交点知，，即。同理，由与E只有一个交点知，，消去得，即，从而，即。 3．已知双曲线C的方程为离心率，顶点到渐近线的距离为。（1）求双曲线C的方程； (2)如图，P是双曲线C上一点，A，B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若，求面积的取值范围。【解析】方法一（Ⅰ）由题意知，双曲线C的顶点（0，a）到渐近线，所以所以由所以曲线的方程是（Ⅱ）由（Ⅰ）知双曲线C的两条渐近线方程为设由得P点的坐标为将P点的坐标代入因为又所以记则由.又S（1）=2，当时，面积取到最小值，当时，面积取到最大值所以面积范围是方法二（Ⅰ）由题意知，双曲线C的顶点（0，a）到渐近线，由所以曲线的方程是. （Ⅱ）设直线AB的方程为由题意知由由由得P点的坐标为将P点的坐标代入得设Q为直线AB与y轴的交点，则Q点的坐标为（0，m） =. 当时，面积取到最小值，当时，面积取到最大值所以面积范围是凤凰出版传媒集团　版权所有　　网站地址：南京市湖南路1号B座808室联系电话：025-83657815　　Mail：admin@fhedu.cn _1065183885.unknown _1127651591.unknown _1129435806.unknown _1214049838.unknown _1214053406.unknown _1385129693.unknown _1385130595.unknown _1385272065.unknown _1385273415.unknown _1385273861.unknown _1385272190.unknown _1385130682.unknown _1385129796.unknown _1214053408.unknown _1368986146.unknown _1368986326.unknown _1368986093.unknown _1214053407.unknown _1214053404.unknown _1214053405.unknown _1214053403.unknown _1214049834.unknown _1214049836.unknown _1214049837.unknown _1214049835.unknown _1212148337.unknown _1212148338.unknown _1212148111.unknown _1212148112.unknown _1212148113.unknown _1129435807.unknown _1127754962.unknown _1129191028.unknown _1129191180.unknown _1129390551.unknown _1129191125.unknown _1129191154.unknown _1129191062.unknown _1127755155.unknown _1127755172.unknown _1127754984.unknown _1127755006.unknown _1127755014.unknown _1127754991.unknown _1127754976.unknown _1127653336.unknown _1127666281.unknown _1127713313.unknown _1127713612.unknown _1127713909.unknown _1127714121.unknown _1127754899.unknown _1127714186.unknown _1127713969.unknown _1127713779.unknown _1127713805.unknown _1127713765.unknown _1127713452.unknown _1127713509.unknown _1127713373.unknown _1127670716.unknown _1127670742.unknown _1127667191.unknown _1127670660.unknown _1127666336.unknown _1127666082.unknown _1127666095.unknown _1127666201.unknown _1127665423.unknown _1127665458.unknown _1127665988.unknown _1127666044.unknown _1127665439.unknown _1127665339.unknown _1127665369.unknown _1127665309.unknown _1127651619.unknown _1127653313.unknown _1127651614.unknown _1127634445.unknown _1127649629.unknown _1127651504.unknown _1127651560.unknown _1127651571.unknown _1127651524.unknown _1127651414.unknown _1127651467.unknown _1127651356.unknown _1127649178.unknown _1127649372.unknown _1127649628.unknown _1127649229.unknown _1127649058.unknown _1127649111.unknown _1065184903.unknown _1065187234.unknown _1065187312.unknown _1065187369.unknown _1065187176.unknown _1065184027.unknown _1065183477.unknown _1065183548.unknown _1065183823.unknown _1065183502.unknown _1065183034.unknown _1065183042.unknown _1065182756.unknown _1065182895.unknown

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