椭圆讲解+性质+习
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
(一)定义部分（重点掌握）
一．椭圆基本定义（必须掌握）
1.定义：①平面内一个动点到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|，即
)，这个动点的轨迹叫椭圆(这两个定点叫焦点)．
②点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e（0
b>0）为半径作两个圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过点A作AN⊥Ox，垂足为N，过点B作BN⊥AN，垂足为M，求当半径OA绕O旋转时点M的轨迹的参数方程。
参数。
说明
关于失联党员情况说明岗位说明总经理岗位说明书会计岗位说明书行政主管岗位说明书
：<1> 对上述方程（1）消参即
<2>由以上消参过程可知将椭圆的普通方程进行三角变形即得参数方程。
五．直线与椭圆位置关系（必须掌握，重点难点）：
（1）相离
②求椭圆上动点P（x，y）到直线距离的最大值和最小值，（法一，参数方程法；法二，数形结合，求平行线间距离，作l'∥l且l'与椭圆相切）
③关于直线的对称椭圆。
（2）相切
①弦长公式：
（二）性质部分（了解掌握）
1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.
2. PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.
3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.
4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.
5. 若
在椭圆
上，则过
的椭圆的切线方程是
.
6. 若
在椭圆
外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是
.
7. 椭圆
(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点
，则椭圆的焦点角形的面积为
.
8. 椭圆
（a＞b＞0）的焦半径公式：
,
(
,
EMBED Equation.DSMT4 ).
9. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.
10. 过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.
11. AB是椭圆
的不平行于对称轴的弦，M
为AB的中点，则
，
即
。
12. 若
在椭圆
内，则被Po所平分的中点弦的方程是
.
13. 若
在椭圆
内，则过Po的弦中点的轨迹方程是
.
14. 椭圆
（a＞b＞o）的两个顶点为
,
，与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是
.
15. 过椭圆
(a＞0, b＞0)上任一点
任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且
（常数）.
16. 若P为椭圆
（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点,
,
，则
.
17. 设椭圆
（a＞b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF1F2中，记
,
,
，则有
.
18. 若椭圆
（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当0＜e≤
时，可在椭圆上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.
19. P为椭圆
（a＞b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则
,当且仅当
三点共线时，等号成立.
20. 椭圆
与直线
有公共点的充要条件是
.
21. 已知椭圆
（a＞b＞0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且
.（1）
;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为
;（3）
的最小值是
.
22. 过椭圆
（a＞b＞0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则
.
23. 已知椭圆
（ a＞b＞0）
,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点
, 则
.
24. 设P点是椭圆
（ a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记
，则(1)
.(2)
.
25. 设A、B是椭圆
（ a＞b＞0）的长轴两端点，P是椭圆上的一点，
,
,
，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)
.(2)
.(3)
.
26. 已知椭圆
（ a＞b＞0）的右准线
与x轴相交于点
，过椭圆右焦点
的直线与椭圆相交于A、B两点,点
在右准线
上，且
轴，则直线AC经过线段EF 的中点.
27. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.
28. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.
29. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).
（注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）
30. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.
31. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.
（三）习题部分（必要练习）
练习一
1．椭圆
的焦点坐标为
（A）(0, ±3) （B）(±3, 0) （C）(0, ±5) （D）(±4, 0)
2．在方程中，下列a, b, c全部正确的一项是
（A）a=100, b=64, c=36 （B）a=10, b=6, c=8 （C）a=10, b=8, c=6 （D）a=100, c=64, b=36
3．已知a=4, b=1，焦点在x轴上的椭圆方程是
（A）
（B）
（C） （D）
4．已知焦点坐标为(0, －4), (0, 4)，且a=6的椭圆方程是
（A）
（B） （C）
（D）
5．若椭圆
上一点P到焦点F1的距离等于6，则点P到另一个焦点F2的距离是
（A）4 （B）194 （C）94 （D）14
6．已知F1, F2是定点，| F1 F2|=8, 动点M满足|M F1|+|M F2|=8，则点M的轨迹是
（A）椭圆 （B）直线 （C）圆 （D）线段
7．若y2－lga·x2=－a表示焦点在x轴上的椭圆，则a的取值范围是 .
8．当a+b=10, c=2时的椭圆的标准方程是 .
9．已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段PP’，则线段PP’的中点M的轨迹方程为 .
10．经过点M(, －2), N(－2, 1)的椭圆的标准方程是 .
11．椭圆的两焦点为F1(－4, 0), F2(4, 0)，点P在椭圆上，已知△PF1F2的面积的最大值为12，求此椭圆的方程。
练习二
1．过点(3, －2)且与椭圆4x2+9y2=36有相同焦点的椭圆的方程是
（A）
（B）
（C） （D）
2．若椭圆a2x2－
=1的一个焦点是(－2, 0)，则a=
（A）
（B）
（C）
（D）
3．若△ABC顶点B, C的坐标分别为(－4, 0), (4, 0)，AC, AB边上的中线长之和为30，则△ABC的重心G的轨迹方程为
（A）
（B）
（C）
（D）
4．点P为椭圆
上一点，以点P以及焦点F1, F2为顶点的三角形的面积为1，则点P的坐标是
（A）(±
, 1) （B）(
, ±1) （C）(
, 1) （D）(±
, ±1)
5．化简方程
=10为不含根式的形式是
（A）
（B） （C）
（D）
6．椭圆
的焦点坐标是
（A）(±7, 0) （B）(0, ±7) （C）(±,0) （D）(0, ±)
7．过椭圆4x2+2y2=1的一个焦点F1的弦AB与另一个焦点F2围成的三角形△ABF2的周长是 .
8．P为椭圆
上的一点，F1和F2是其焦点，若∠F1PF2=60°，则△F1PF2的面积为 .
9．椭圆(a>b>0)的半焦距为c，若直线y=2x与椭圆的一个交点的横坐标为c，则椭圆的离心率为 .
练习三
1．方程Ax2+By2=C表示椭圆的条件是
（A）A, B同号且A≠B （B）A, B同号且C与异号
（C）A, B, C同号且A≠B （D）不可能表示椭圆
2．已知椭圆方程为
中，F1, F2分别为它的两个焦点，则下列说法正确的有
①焦点在x轴上，其坐标为(±7, 0)；② 若椭圆上有一点P到F1的距离为10，则P到F2的距离为4；③焦点在y轴上，其坐标为(0, ±2)；④ a=49, b=9, c=40，
（A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个
3．如果椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则其离心率为
（A） （B） （C） （D）
4．若点P到两定点F1(－2, 0), F2(2, 0)的距离之和为4，则点P的轨迹是
（A）椭圆 （B）直线 （C）线段 （D）两点
5．设椭圆的标准方程为
，若其焦点在x轴上，则k的取值范围是
（A）k>3 （B）30)，在交点处切线互相垂直，则R等于
（A）5 （B）4 （C）3 （D）2
7．如果对圆周x2+(y–1)2=1上的任意一点P(x, y)，不等式x+y–c≥0恒成立，则c的取值范围是 。
8．圆的方程为(k+1)x2+(k+1)y2–x–ky=0，当k≠–1时，该圆恒过两定点，则两定点的坐标分别为 。
9．圆C1: x2+y2–6x+8y=0与C2: x2+y2+b=0没有公共点，则b的取值范围是 。
10．自点A(–3, 3)发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2+y2–4x–4y+7=0相切，则光线l所在的直线方程是 。
11．过圆x2+y2–8x+4y+7=0内一点(5, –3)的最短弦所在的直线方程是 ；最长的弦所在的直线方程是 。
12．一个圆和已知圆x2+y2–2x=0相外切，并且与直线l: x+y=0相切于点M(3, –)，求该圆的方程。
13．已知两定圆⊙O1: (x–1)2+(y–1)2=1, ⊙O2: (x+5)2+(y+3)2=4，动圆P(圆心、半径都在变化)恒将两定圆的周长平分，试求动圆圆心P的轨迹方程。
练习五
1．设a, b, c分别表示同一椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距，则a, b, c的大小关系是
（A）a>b>c>0 （B）a>c>b>0 （C）a>c>0, a>b>0 （D）c>a>0, c>b>0
2．椭圆的对称轴为坐标轴，若长、短轴之和为18，焦距为6，那么椭圆的方程为
（A）
（B）
（C）
或
（D）
3．已知P为椭圆
上一点，P到一条准线的距离为P到相应焦点的距离之比为
（A）
（B）
（C）
EMBED Equation.3 （D）
EMBED Equation.3
4．椭圆的两个焦点三等分它的准线间的距离，则椭圆的离心率为
（A）
（B）
（C）
EMBED Equation.3 （D）
EMBED Equation.3
5．在椭圆上取三点，其横坐标满足x1+x3=2x2，三点顺次与某一焦点连接的线段长是r1, r2, r3，则有
（A）r1, r2, r3成等差数列 （B）r1, r2, r3成等比数列
（C）
成等差数列 （D）
成等比数列
6．椭圆
的准线方程是
（A）x=±
（B）y=±
（C）x=±
（D）y=±
7．经过点P(－3, 0), Q(0, －2)的椭圆的标准方程是 .
8．对于椭圆C1: 9x2+y2=36与椭圆C2:
，更接近于圆的一个是 .
9．椭圆上的点P(x0, y0)到左焦点的距离是r= .
10．已知定点A(－2, )，F是椭圆
的右焦点，在椭圆上求一点M，使|AM|+2|MF|取得最小值。
练习六
1．若方程
表示焦点在y轴上的椭圆，则下列关系成立的是
（A）
（B）
（C）
（D）
2．曲线
与
(k<9)有相同的
（A）短轴 （B）焦点 （C）准线 （D）离心率
3．椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距分别为a, b, c，则其焦点到相应准线的距离P是
（A）
（B）
（C） （D）
4．椭圆
上一点P到两焦点距离之和与该点到两准线的距离之和的比是
（A） （B） （C） （D）随P点位置不同而有变化
5．椭圆(a>b>0)的左焦点F到过顶点A(－a, 0), B(0, b)的直线的距离等于
，则椭圆的离心率为
（A） （B） （C）
（D）
6．设F1(－c, 0), F2(c, 0)是椭圆(a>b>0)的两个焦点，P是以|F1F2|为直径的圆与椭圆的一个交点，且∠PF1F2=5∠PF2F1，则该椭圆的离心率为
（A） （B） （C） （D）
7．中心在原点，准线方程为y=±4，离心率为的椭圆方程是 .
8．若椭圆
的离心率为e=，则k的值等于 .
9．若椭圆的一短轴端点与两焦点连线成120°角，则该椭圆的离心率为 .
10．椭圆
的准线方程为 .
练习七
1．离心率为，长轴长为6的椭圆的标准方程是
（A）
（B）
或
（C）
（D）
或
2．椭圆
上有n个不同的点P1, P2, P3,……, Pn，椭圆的右焦点为F，数列{|PnF|}是公差大于
的等差数列，则n的最大值为 （A）199 （B）200 （C）198 （D）201
3．点P是长轴在x轴上的椭圆上的点，F1, F2分别为椭圆的两个焦点，椭圆的半焦距为c，则|PF1|·|PF2|的最大值与最小值之差一定是
（A）1 （B）a2 （C）b2 （D）c2
4．一个圆心在椭圆右焦点F2，且过椭圆的中心O(0, 0)，该圆与椭圆交于点P，设F1是椭圆的左焦点，直线PF1恰和圆相切于点P，则椭圆的离心率是
（A）－1 （B）2－ （C） （D）
5．椭圆短轴的两端点为B1, B2，过其左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，若|F1B2|是|OF1|和|B1B2|的比例中项(O为中心)，则
等于
（A） （B） （C） （D）
6．如图，已知椭圆中心在原点，F是焦点，A为顶点，准线l交x轴于点B，点P, Q在椭圆上，且PD⊥l于D，QF⊥AO, 则椭圆的离心率是①
；②
；③
；④
；⑤
，其中正确的个数是
（A）1个 （B）3个 （C）4个 （D）5个
7．点P与定点(1, 0)的距离和它到直线x=5的距离的比是，则P的轨迹方程为 .
8．椭圆(b>a>0)的准线方程是 ；离心率是 。
9．椭圆
上一点P与椭圆两焦点F1, F2的连线的夹角为直角，则Rt△PF1F2的面积为 .
10．已知椭圆的短半轴长为1，离心率e满足0b>0)长轴的右端点为A，若椭圆上存在一点P，使∠APO=90°，求此椭圆的离心率的取值范围。
练习八
1．方程Ax2+Ay2+Dx+Ey+F=0(A≠0)表示圆的充要条件是
（A）D2+E2–4F>0 （B）D2+E2–4F<0 （C）D2+E2–4AF>0 （D）D2+E2–4AF<0
2．已知圆的方程是x2+y2–2x+6y+8=0，则通过圆心的一条直线方程是
（A）2x–y–1=0 （B）2x+y+1=0 （C）2x–y+1=0 （D）2x+y–1=0
3．圆x2+y2=16上的点到直线x–y=3的距离的最大值是
（A）
EMBED Equation.3 （B）4–
EMBED Equation.3 （C）4+
EMBED Equation.3 （D）0
4．已知圆C和圆C’关于点(3, 2)成中心对称，若圆C的方程是x2+y2=4，则圆C’的方程是
（A）(x–4)2+(y–6)2=4 （B）(x+4)2+(y+6)2=4 （C）(x–6)2+(y–4)2=4 （D）(x–6)2+(y+4)2=4
5．已知圆x2+y2=4关于直线l对称的圆的方程为(x+3)2+(y–3)2=4，则直线l的方程为
（A）y=x+2 （B）y=x+3 （C）y=–x+3 （D）y=–x–3
6．设M={(x, y)| y=
, y≠0}, N={(x, y)| y=x+b}，若M∩N≠
，则b的取值范围是
（A）–3
≤b≤3
（B）–3≤b≤3
（C）0≤b≤3
（D）–30)关于直线y=2x对称，则D与E的关系式为 .
8．两定点O(0, 0)和A(3, 0)，动点P到点O的距离与它到点A的距离的比是
，则点P的轨迹方程是 __________________________ .
9．圆的参数方程为
，化成圆的一般方程是 ；圆心是 。
10．以A(2, 2), B(5, 3), C(3, –1)为顶点的三角形的外接圆的方程为 .
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浙公网安备 33021202002483