3.2利用导数研究函数的性质( 极值与最值)

3.2　利用导数研究函数的性质第2课时　导数与函数的极值、最值 最新考纲 考情考向分析 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)． 考查函数的单调性、极值、最值，利用函数的性质求参数范围；与方程、不等式等知识相结合命题，强化函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想的应用意识；题型以解答题为主，一般难度较大.一、基础知识1．函数的单调性（复习）在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．2．函数的极值(1)一般地，求函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤①求f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③考查f′(x)在方程f′(x)＝0的根附近的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．3．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．知识拓展(1)对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．(2)函数的极大值不一定比极小值大．(3)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0点为极值点的必要不充分要条件．二、基本题型1.根据函数图象判断极值【例1-1】设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　)A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)答案　D解析　由题图可知，当x<－2时，f′(x)>0；当－2<x<1时，f′(x)<0；当1<x<2时，f′(x)<0；当x>2时，f′(x)>0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值．【变式1-1】函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)(　　)A．无极大值点、有四个极小值点B．有三个极大值点、一个极小值点C．有两个极大值点、两个极小值点D．有四个极大值点、无极小值点【答案】　C【解析】　导函数的图象与x轴的四个交点都是极值点，第一个与第三个是极大值点，第二个与第四个是极小值点．2.求函数的极值和极值点【例2-1】设函数f(x)＝＋lnx，则(　　)A．x＝为f(x)的极大值点B．x＝为f(x)的极小值点C．x＝2为f(x)的极大值点D．x＝2为f(x)的极小值点【答案】　D【解析】　f′(x)＝－＋＝(x>0)，当0<x<2时，f′(x)<0，当x>2时，f′(x)>0，∴x＝2为f(x)的极小值点．【练习2-1】函数f(x)＝(x2－1)2＋2的极值点是(　　)A．x＝1B．x＝－1C．x＝1或－1或0 D．x＝0答案　C解析　∵f(x)＝x4－2x2＋3，∴由f′(x)＝4x3－4x＝4x(x＋1)(x－1)＝0，得x＝0或x＝1或x＝－1.又当x<－1时，f′(x)<0，当－1<x<0时，f′(x)>0，当0<x<1时，f′(x)<0，当x>1时，f′(x)>0，∴x＝0,1，－1都是f(x)的极值点．3　根据极值或极值点求参数【例题3-1】若函数f(x)＝x3－2cx2＋x有极值点，则实数c的取值范围为________________．答案　∪解析　f′(x)＝3x2－4cx＋1，由f′(x)＝0有两个不同的根，可得Δ＝(－4c)2－12>0，∴c>或c<－.【例题3-2】若函数f(x)＝－x2＋x＋1在区间上有极值点，则实数a的取值范围是(　　)A. B.C. D.答案　C解析　函数f(x)在区间上有极值点等价于f′(x)＝0有2个不相等的实根且在内有根，由f′(x)＝0有2个不相等的实根，得a<－2或a>2.由f′(x)＝0在内有根，得a＝x＋在内有解，又x＋∈，所以2≤a<，综上，a的取值范围是.【练习3-1】设a∈R，若函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，则实数a的取值范围是________．【答案】　(－∞，－1)【解析】　∵y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋a.∵函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，∴方程y′＝ex＋a＝0有大于零的解，∵当x>0时，－ex<－1，∴a＝－ex<－1.【练习3-2】若函数f(x)＝－(1＋2a)x＋2lnx(a>0)在区间内有极大值，则a的取值范围是(　　)A.B．(1，＋∞)C．(1,2) D．(2，＋∞)答案　C解析　f′(x)＝ax－(1＋2a)＋＝(a>0，x>0)，若f(x)在区间内有极大值，即f′(x)＝0在内有解．则f′(x)在区间内先大于0，再小于0，则即解得1<a<2，故选C.【方法 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 】函数极值的两类问题解决方法(1)求函数f(x)极值的一般解题步骤①确定函数的定义域；②求导数f′(x)；③解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；④列 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号．(2)根据函数极值情况求参数的两个要领①列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．②验证：求解后验证根的合理性．4.用导数求函数的最值【例题4-1】函数y＝x＋2cosx在区间上的最大值是__________．【答案】　＋【解析】　∵y′＝1－2sinx，∴当x∈时，y′>0；当x∈时，y′<0.1∴当x＝时，ymax＝＋.【例题4-2】设函数f(x)＝x3－－2x＋5，若对任意的x∈[－1,2]，都有f(x)>a，则实数a的取值范围是________________．答案　解析　由题意知，f′(x)＝3x2－x－2，令f′(x)＝0，得3x2－x－2＝0，解得x＝1或x＝－，又f(1)＝，f＝，f(－1)＝，f(2)＝7，故f(x)min＝，∴a<.【变式4-2】若函数f(x)＝x3＋x2－在区间(a，a＋5)上存在最小值，则实数a的取值范围是(　　)A．[－5,0) B．(－5,0)C．[－3,0) D．(－3,0)答案　C解析　由题意，得f′(x)＝x2＋2x＝x(x＋2)，故f(x)在(－∞，－2)，(0，＋∞)上是增函数，在(－2,0)上是减函数，作出其图象如图所示，令x3＋x2－＝－，得x＝0或x＝－3，则结合图象可知，解得a∈[－3,0]．【例题4-3】已知函数f(x)＝＋klnx，k<，求函数f(x)在上的最大值和最小值．解　f′(x)＝＋＝.①若k＝0，则f′(x)＝－在上恒有f′(x)<0，所以f(x)在上单调递减．②若k≠0，则f′(x)＝＝.(ⅰ)若k<0，则在上恒有<0.所以f(x)在上单调递减，(ⅱ)若k>0，由k<，得>e，则x－<0在上恒成立，所以<0，所以f(x)在上单调递减．综上，当k<时，f(x)在上单调递减，所以f(x)min＝f(e)＝＋k－1，f(x)max＝f＝e－k－1.【变式】本例中若函数为“f(x)＝lnx－x2”，则函数f(x)在上的最大值如何？解　由f(x)＝lnx－x2，则f′(x)＝－x＝，因为当≤x≤e时，令f′(x)>0，得≤x<1；令f′(x)<0，得1<x≤e，所以f(x)在上单调递增，在(1，e)上单调递减，所以f(x)max＝f(1)＝－.【方法总结】求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤(1)求函数在(a，b)内的极值．(2)求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)．(3)将函数f(x)的极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．5.函数极值和最值的综合问题【例题5-1】已知函数f(x)＝(a>0)的导函数y＝f′(x)的两个零点为－3和0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)的极小值为－e3，求f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值．解　(1)f′(x)＝＝.令g(x)＝－ax2＋(2a－b)x＋b－c，因为ex>0，所以y＝f′(x)的零点就是g(x)＝－ax2＋(2a－b)x＋b－c的零点且f′(x)与g(x)符号相同．又因为a>0，所以当－3<x<0时，g(x)>0，即f′(x)>0，当x<－3或x>0时，g(x)<0，即f′(x)<0，所以f(x)的单调递增区间是(－3,0)，单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)．(2)由(1)知，x＝－3是f(x)的极小值点，所以有解得a＝1，b＝5，c＝5，所以f(x)＝.因为f(x)的单调递增区间是(－3,0)，单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)，所以f(0)＝5为函数f(x)的极大值，故f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值取f(－5)和f(0)中的最大者，而f(－5)＝＝5e5>5＝f(0)，所以函数f(x)在区间[－5，＋∞]上的最大值是5e5.